Symmetrieassen van een rechthoek

Een rechthoek is $6$ cm bij $4$ cm. Hoeveel symmetrieassen heeft hij?

Vouw hem van boven naar beneden: De vouwlijn gaat door de middens van de twee korte zijden. Beide helften zijn $6$ cm bij $2$ cm en passen op elkaar. = 1 symmetrieas

Vouw hem van links naar rechts: De vouwlijn gaat door de middens van de twee lange zijden. Beide helften zijn $3$ cm bij $4$ cm en passen op elkaar. = 2e symmetrieas

Test een diagonaal: Bij het vouwen langs een diagonaal klapt een driehoek om, maar de hoekpunten vallen niet op elkaar omdat $6 \neq 4$. = Een diagonaal is GEEN symmetrieas

Answer: De rechthoek heeft $2$ symmetrieassen, allebei door de middens van overstaande zijden. De diagonalen zijn geen symmetrieassen.

Draaisymmetrie van een regelmatige vijfhoek

Bepaal de orde van draaisymmetrie en de kleinste draaihoek van een regelmatige vijfhoek.

Tel de standen: Elk hoekpunt kan naar de plaats van het volgende schuiven en de vijfhoek ziet er hetzelfde uit. Er zijn $5$ hoekpunten. = Orde $5$

Gebruik de formule: $\text{kleinste hoek} = \frac{360°}{5}$ = $72°$

Controleer met de volledige draai: $5 \times 72° = 360°$ = Vijf draaiingen van $72°$ maken één volledige draai

Answer: Een regelmatige vijfhoek heeft draaisymmetrie van orde $5$ met een kleinste draaihoek van $72°$.

Alle symmetrie van een regelmatige achthoek

Een stopbord is een regelmatige achthoek. Beschrijf al zijn symmetrieassen en zijn draaisymmetrie.

Tel de assen door overstaande hoekpunten: $8$ hoekpunten vormen $\frac{8}{2} = 4$ paren overstaande hoekpunten. = $4$ assen

Tel de assen door de middens van overstaande zijden: $8$ zijden vormen $\frac{8}{2} = 4$ paren overstaande zijden. = $4$ assen

Tel ze op: $4 + 4 = 8$, evenveel als het aantal zijden = $8$ symmetrieassen

Bepaal orde en kleinste hoek: Orde $8$, kleinste hoek $\frac{360°}{8} = 45°$ = $45°$

Controleer op puntsymmetrie: $180° = 4 \times 45°$, dus een halve draai past ook = Puntsymmetrie: ja

Answer: Een regelmatige achthoek heeft $8$ symmetrieassen, draaisymmetrie van orde $8$ (kleinste hoek $45°$) en is puntsymmetrisch.

Een parallellogram: draaien zonder vouwen

Heeft een parallellogram (dat geen rechthoek en geen ruit is) lijnsymmetrie? Heeft het draaisymmetrie?

Probeer te vouwen door de middens van twee overstaande zijden: De schuine zijden hellen dezelfde kant op, dus na het vouwen kruisen ze elkaar in plaats van op elkaar te passen. = Geen symmetrieas

Probeer te vouwen langs een diagonaal: De twee driehoeken zijn congruent, maar het vouwen klapt er één om, dus de hoekpunten vallen niet op elkaar. = Geen symmetrieas

Draai het $180°$ om het snijpunt van de diagonalen: De diagonalen delen elkaar middendoor, dus elk hoekpunt komt op het overstaande hoekpunt. = Het past na een halve draai

Geef orde en puntsymmetrie: Het past na $180°$ en na $360°$: $\frac{360°}{180°} = 2$ = Orde $2$, puntsymmetrisch

Answer: Een parallellogram heeft $0$ symmetrieassen maar draaisymmetrie van orde $2$, het is dus puntsymmetrisch.

Terugrekenen vanuit de hoek

Een regelmatige veelhoek past na een draaiing van $40°$ op zichzelf, en $40°$ is de kleinste zulke hoek. Hoeveel zijden en hoeveel symmetrieassen heeft hij?

Bepaal de orde: $\text{orde} = \frac{360°}{40°} = 9$ = Orde $9$

Bepaal het aantal zijden: Bij een regelmatige veelhoek is de orde gelijk aan het aantal zijden = $9$ zijden (een negenhoek)

Bepaal de symmetrieassen: Een regelmatige veelhoek heeft evenveel assen als zijden = $9$ assen

Beschrijf de assen: $9$ is oneven, dus elke as gaat door een hoekpunt en het midden van de overstaande zijde = Geen as verbindt twee hoekpunten

Answer: Het is een regelmatige negenhoek: $9$ zijden, $9$ symmetrieassen (elk door een hoekpunt en het midden van de overstaande zijde), orde $9$.

Mistake: De diagonalen van een rechthoek als symmetrieassen tellen

Why: Een diagonaal verdeelt de rechthoek in twee congruente driehoeken, maar dat is niet genoeg: de helften moeten elkaars spiegelbeeld zijn ten opzichte van de lijn.

Correct: Doe de vouwtest. Gevouwen langs een diagonaal vallen de hoekpunten van een rechthoek niet op elkaar, dus hij heeft maar $2$ symmetrieassen.

Mistake: De hoek opschrijven in plaats van de orde (zeggen dat een vierkant orde $90$ heeft)

Why: De orde en de kleinste hoek zijn twee verschillende getallen die bij elkaar horen.

Correct: De orde telt hoe vaak de figuur in één volledige draai past ($4$ bij een vierkant); de hoek is $\frac{360°}{\text{orde}} = 90°$.

Mistake: Denken dat elke figuur met draaisymmetrie ook lijnsymmetrie heeft

Why: Veel bekende symmetrische figuren hebben allebei, dus neemt men aan dat ze altijd samen voorkomen.

Correct: Een parallellogram heeft orde $2$ maar $0$ symmetrieassen. Controleer vouwen en draaien altijd apart.

Mistake: Elke symmetrieas van een veelhoek met een even aantal zijden dubbel tellen

Why: Een as door twee overstaande hoekpunten raakt twee hoekpunten en wordt daarom aan beide uiteinden geteld.

Correct: Tel paren: een regelmatige zeshoek heeft $3$ assen door overstaande hoekpunten en $3$ door overstaande middens, $6$ in totaal.

Verkeersborden

Een stopbord is een regelmatige achthoek. Door zijn symmetrie herken je het makkelijk, ook schuin van opzij of als het een beetje gedraaid is.

Het bord „voorrang verlenen” is een gelijkzijdige driehoek: $3$ symmetrieassen en orde $3$, dus het past na $\frac{360°}{3} = 120°$ op zichzelf.

Wieldoppen en wielen

Wielontwerpers verdelen gelijke spaken op gelijke afstand. Dan heeft het wiel draaisymmetrie en blijft het in balans als het draait.

Een wiel met $4$ gelijke spaken heeft orde $4$: het ziet er na elke $\frac{360°}{4} = 90°$ hetzelfde uit.

Sneeuwvlokken

IJskristallen groeien in zes richtingen, daarom heeft een sneeuwvlok $6$ symmetrieassen en draaisymmetrie van orde $6$, net als een regelmatige zeshoek.

Een sneeuwvlok past na $\frac{360°}{6} = 60°$ op zichzelf, en omdat $6$ even is, is ze ook puntsymmetrisch.

Q: Waarom zeggen we orde 1 en niet orde 0?

A: Elke figuur past na een volledige draai van $360°$ weer op zichzelf, dus het aantal is minstens $1$. Orde $1$ betekent dat alleen die volledige draai past, met andere woorden: de figuur heeft geen draaisymmetrie.

Q: Is puntsymmetrie hetzelfde als draaisymmetrie?

A: Puntsymmetrie is een speciaal geval van draaisymmetrie: een halve draai ($180°$) past. Figuren met orde $2$, $4$ of $6$ hebben het. Een gelijkzijdige driehoek (orde $3$) heeft draaisymmetrie maar is niet puntsymmetrisch.

Q: Is het aantal assen altijd gelijk aan de orde?

A: Bij een veelhoek met minstens één symmetrieas wel: het vierkant heeft $4$ en $4$, de vlieger $1$ en $1$. Een veelhoek zonder assen kan toch draaisymmetrie hebben, zoals het parallellogram met orde $2$.

Q: Hoeveel symmetrieassen heeft een cirkel?

A: Oneindig veel: elke lijn door het middelpunt is een symmetrieas, en een cirkel past na een draaiing over elke hoek op zichzelf. Een cirkel is geen veelhoek, daarom staat hij niet in de tabel.