De poorttabellen lezen

De ingangen zijn $A = 1$ en $B = 0$. Bepaal de uitgang van een EN-, OF-, XOR-, NAND- en NOR-poort.

EN-poort: EN heeft twee enen nodig, maar $B = 0$ = EN: $0$

OF-poort: OF heeft minstens één 1 nodig, en $A = 1$ = OF: $1$

XOR-poort: De ingangen $1$ en $0$ zijn verschillend = XOR: $1$

NAND-poort: NAND is het omgekeerde van EN: EN gaf $0$, dus omkeren = NAND: $1$

NOR-poort: NOR is het omgekeerde van OF: OF gaf $1$, dus omkeren = NOR: $0$

Answer: EN $= 0$, OF $= 1$, XOR $= 1$, NAND $= 1$, NOR $= 0$. NAND en NOR zijn altijd het omgekeerde van EN en OF.

EN gevolgd door NIET

$A$ en $B$ gaan een EN-poort in, en de uitgang daarvan gaat een NIET-poort in. Bepaal de uitgang $Y$ voor alle vier de ingangsrijen. Welke enkele poort doet hetzelfde werk?

De ingangsrijen opschrijven: Begin met $0, 0$: de rijen zijn $00$, $01$, $10$, $11$ = 4 rijen

Uitgang van de EN-poort: EN is alleen 1 als beide ingangen 1 zijn = EN: $0, 0, 0, 1$

Uitgang van de NIET-poort: Keer elke waarde van de EN-kolom om = $Y$: $1, 1, 1, 0$

Vergelijken met de poorttabel: De kolom $1, 1, 1, 0$ is de NAND-kolom = $Y = \overline{A \cdot B}$

Answer: De uitgang is $1, 1, 1, 0$, dus EN gevolgd door NIET gedraagt zich precies als een NAND-poort. Daar komt de naam NIET-EN vandaan.

Een schakeling met drie poorten volgen

$A$ en $B$ gaan een OF-poort in. $B$ en $C$ gaan een EN-poort in. De twee uitgangen gaan een XOR-poort in, die $Y$ geeft. Bepaal $Y$ voor $A = 0$, $B = 1$, $C = 0$.

Eerste poort: OF van $A$ en $B$: $0 \lor 1$: minstens één ingang is 1 = OF-uitgang $= 1$

Tweede poort: EN van $B$ en $C$: $1 \land 0$: niet beide ingangen zijn 1 = EN-uitgang $= 0$

Laatste poort: XOR van de twee uitgangen: De XOR-poort krijgt $1$ en $0$, en die zijn verschillend = $Y = 1$

Controleren met de expressie: $Y = (A \lor B) \oplus (B \land C) = 1 \oplus 0$ = $Y = 1$

Answer: $Y = 1$. De laatste poort ziet $A$, $B$ en $C$ nooit rechtstreeks: hij ziet alleen de uitgangen van de eerste twee poorten.

Van schakeling naar booleaanse expressie

$A$ gaat door een NIET-poort. De uitgang daarvan en $B$ gaan een EN-poort in. Die uitgang en $C$ gaan een OF-poort in, die $Y$ geeft. Schrijf de booleaanse expressie van de schakeling op en bepaal $Y$ voor $A = 1$, $B = 1$, $C = 0$.

De uitgang van de NIET-poort benoemen: De NIET-poort keert $A$ om = $\neg A$

De uitgang van de EN-poort benoemen: De ingangen zijn $\neg A$ en $B$ = $\neg A \land B$

De uitgang van de OF-poort benoemen: De ingangen zijn $\neg A \land B$ en $C$ = $Y = (\neg A \land B) \lor C$

Uitrekenen voor $A = 1$, $B = 1$, $C = 0$: $\neg A = 0$, dan $0 \land 1 = 0$, dan $0 \lor 0 = 0$ = $Y = 0$

Answer: $Y = (\neg A \land B) \lor C$, in de techniek geschreven als $Y = \overline{A} \cdot B + C$. Voor $A = 1$, $B = 1$, $C = 0$ is de uitgang $Y = 0$.

De halve opteller

Een computer telt twee binaire cijfers $A$ en $B$ op. Het resultaat heeft een somcijfer $S$ en een overdrachtscijfer $C$ (bijvoorbeeld $1 + 1 = 10$ binair: $C = 1$, $S = 0$). Welke poorten maken $S$ en $C$?

Alle vier de optellingen binair opschrijven: $0 + 0 = 00$, $0 + 1 = 01$, $1 + 0 = 01$, $1 + 1 = 10$ = Resultaten: 00, 01, 01, 10

De somkolom $S$ aflezen (rechtercijfer): $S$: $0, 1, 1, 0$, dus alleen 1 als de ingangen verschillend zijn = $S = A \oplus B$ (XOR)

De overdrachtskolom $C$ aflezen (linkercijfer): $C$: $0, 0, 0, 1$, dus alleen 1 als beide ingangen 1 zijn = $C = A \land B$ (EN)

$1 + 1$ controleren: $S = 1 \oplus 1 = 0$ en $C = 1 \land 1 = 1$, dus het resultaat is binair $10$ = $10_2 = 2$ ✓

Answer: $S = A \oplus B$ en $C = A \land B$. Een XOR-poort en een EN-poort vormen samen een **halve opteller**, de eerste bouwsteen van elke rekenmachine en elke computer.

Mistake: Denken dat een OF-poort $0$ geeft als beide ingangen $1$ zijn

Why: Dat is de XOR-poort. OF is 1 als minstens één ingang 1 is, en daar hoort ook het geval bij dat beide 1 zijn.

Correct: OF: $1 \lor 1 = 1$. XOR: $1 \oplus 1 = 0$. Alleen XOR eist dat de ingangen verschillend zijn.

Mistake: $A + B$ lezen als een gewone optelling en $1 + 1 = 2$ schrijven

Why: In de poortnotatie betekent $+$ OF, en de uitgang van een poort kan alleen 0 of 1 zijn.

Correct: Bij poorten geldt $1 + 1 = 1$ (OF). De waarde 2 komt alleen voor als je binaire getallen optelt, en dan schrijf je hem als $10$ met een overdrachtscijfer.

Mistake: NAND behandelen als NIET A EN NIET B, dus als $\overline{A} \cdot \overline{B}$

Why: NAND keert de uitgang van EN om, niet de ingangen. Voor $A = 1$, $B = 0$: NAND geeft $\overline{1 \cdot 0} = 1$, maar $\overline{1} \cdot \overline{0} = 0 \cdot 1 = 0$.

Correct: NAND $= \overline{A \cdot B}$: eerst EN, dan NIET. De streep staat boven het hele product.

Mistake: De oorspronkelijke ingangen in de laatste poort van een schakeling stoppen

Why: In een schakeling krijgt elke poort alleen de draden die ermee verbonden zijn. De laatste poort krijgt meestal de uitgangen van eerdere poorten, niet A, B en C.

Correct: Werk van de ingangen naar de uitgang, schrijf de uitgang van elke poort ernaast en gebruik die waarden voor de volgende poort.

Alarmsystemen

Een alarm in huis is een kleine logische schakeling: sensoren geven 1 of 0, poorten beslissen of de sirene een 1 krijgt.

Met de inschakelaar $A$, de deursensor $D$ en de raamsensor $W$ gaat het alarm af als $Y = A \land (D \lor W) = 1$.

Optellen in een chip

Elke optelling van een computer is opgebouwd uit halve en volledige optellers die uit poorten bestaan.

Een halve opteller berekent het somcijfer $S = A \oplus B$ en het overdrachtscijfer $C = A \land B$ van twee binaire cijfers.

Chips bouwen uit NAND-poorten

Chipmakers houden van NAND-poorten, omdat je elke andere poort alleen met NAND-poorten kunt bouwen.

Verbind beide ingangen van een NAND-poort met hetzelfde signaal $A$: de uitgang is $\overline{A \cdot A} = \overline{A}$, dus hij werkt als een NIET-poort.

Q: Waarom gebruiken poorten 1 en 0 in plaats van waar en onwaar?

A: In een chip bestaan alleen spanningen. Een hoge spanning staat voor 1 (waar) en een lage voor 0 (onwaar). Met maar twee niveaus zijn schakelingen snel en betrouwbaar, want ook een iets zwakker signaal wordt nog duidelijk als 1 gelezen.

Q: Wat is het verschil tussen OF en XOR?

A: Ze verschillen maar in één rij: als beide ingangen 1 zijn. OF geeft $1$ (minstens één staat aan), XOR geeft $0$ (de ingangen zijn niet verschillend). XOR is de poort van het een of het ander, maar niet allebei.

Q: Waarom zijn NAND-poorten zo populair?

A: Elke andere poort kun je alleen met NAND-poorten bouwen. Een NAND met twee verbonden ingangen is bijvoorbeeld een NIET-poort. Zo kan een fabriek chips maken met één soort poort. De algebra daarachter zie je in de les Booleaanse algebra.

Q: Kan ik poorten controleren met gewoon rekenen?

A: Ja, met 0 en 1: EN is $A \times B$, NIET is $1 - A$, OF is $A + B - A \times B$ en XOR is $A + B - 2 \times A \times B$. OF voor $1, 1$ is bijvoorbeeld $1 + 1 - 1 = 1$. Probeer het in de rekenmachine.