Waarheidstabellen

Een **waarheidstabel** geeft **elke mogelijke combinatie** van waarheidswaarden van de variabelen in een uitdrukking en laat in elke rij de waarde van de hele uitdrukking zien. **Hoeveel rijen?** Elke variabele kan W (waar) of O (onwaar) zijn, dus elke nieuwe variabele verdubbelt het aantal rijen: $$\text{rijen} = 2^n \quad (n = \text{aantal variabelen})$$ 2 variabelen hebben dus $2^2 = 4$ rijen nodig en 3 variabelen $2^3 = 8$ rijen. **Een tabel opstellen in 4 stappen:** 1. Tel de variabelen en schrijf $2^n$ lege rijen. 2. Vul de kolommen van de variabelen in een vaste volgorde: de eerste kolom is voor de helft W en dan voor de helft O; elke volgende kolom wisselt twee keer zo vaak; de laatste kolom wisselt W, O, W, O. 3. Voeg voor elk deel van de uitdrukking een **hulpkolom** toe, het binnenste deel eerst (een NIET bij één variabele, daarna de haakjes). 4. Combineer de hulpkolommen tot de eindkolom. **Voorbeeld:** $P \land \neg Q$ | $P$ | $Q$ | $\neg Q$ | $P \land \neg Q$ | |:---:|:---:|:---:|:---:| | W | W | O | O | | W | O | W | **W** | | O | W | O | O | | O | O | W | O | De eindkolom vertelt alles: deze uitdrukking is in precies één rij waar, namelijk als $P$ waar is en $Q$ onwaar. **De eindkolom lezen:** - Alleen W: de uitdrukking is een **tautologie** (altijd waar). - Alleen O: het is een **contradictie** (altijd onwaar). - Twee uitdrukkingen met **dezelfde eindkolom in elke rij** zijn **logisch equivalent**.

Een tabel met twee variabelen

Stel de waarheidstabel op voor $P \lor \neg Q$.

Tel de rijen: Er zijn 2 variabelen, $P$ en $Q$, dus we hebben $2^2 = 4$ rijen nodig = 4 rijen

Vul de kolommen van de variabelen: $P$: W, W, O, O (half W, half O). $Q$: W, O, W, O (afwisselend) = Alle 4 combinaties komen één keer voor

Voeg de hulpkolom $\neg Q$ toe: Draai elke waarde van $Q$ om: W, O, W, O wordt O, W, O, W = $\neg Q$: O, W, O, W

Combineer met OF: Rij voor rij: W OF O = W, W OF W = W, O OF O = O, O OF W = W = $P \lor \neg Q$: W, W, O, W

Answer: De eindkolom is W, W, O, W. De uitdrukking is alleen onwaar in rij 3, waar $P$ onwaar is en $Q$ waar.

Drie variabelen klaarzetten

Vul de kolommen van de variabelen van een waarheidstabel voor $P$, $Q$ en $R$.

Tel de rijen: 3 variabelen, dus $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ rijen = 8 rijen

Vul kolom $P$: De helft van 8 is 4: vier keer W, dan vier keer O = $P$: W, W, W, W, O, O, O, O

Vul kolom $Q$: Wissel twee keer zo vaak, in blokken van 2 = $Q$: W, W, O, O, W, W, O, O

Vul kolom $R$: De laatste kolom wisselt in blokken van 1 = $R$: W, O, W, O, W, O, W, O

Answer: De 8 rijen zijn WWW, WWO, WOW, WOO, OWW, OWO, OOW, OOO. Elke combinatie komt precies één keer voor en er ontbreekt er geen.

Een uitdrukking met drie variabelen

Stel de waarheidstabel op voor $(P \land Q) \lor \neg R$. In hoeveel rijen is de uitdrukking waar?

Zet 8 rijen klaar: Gebruik de volgorde uit het vorige voorbeeld: $P$ in blokken van 4, $Q$ in blokken van 2, $R$ afwisselend = 8 rijen

Hulpkolom $P \land Q$: EN is alleen waar als $P$ en $Q$ allebei waar zijn: rijen 1 en 2 = $P \land Q$: W, W, O, O, O, O, O, O

Hulpkolom $\neg R$: Draai $R$ om: W, O, W, O, W, O, W, O wordt O, W, O, W, O, W, O, W = $\neg R$: O, W, O, W, O, W, O, W

Combineer met OF: Een rij is waar als minstens één hulpkolom W heeft: rijen 1, 2, 4, 6, 8 = Eindkolom: W, W, O, W, O, W, O, W

Tel de ware rijen: Tel de W in de eindkolom = 5 rijen

Answer: De uitdrukking is waar in 5 van de 8 rijen en onwaar in de rijen 3, 5 en 7.

Tautologie, contradictie of geen van beide?

Deel $P \lor \neg P$, $P \land \neg P$ en $(P \land Q) \lor \neg P$ in.

Bepaal $\neg P$: Met één variabele zijn er $2^1 = 2$ rijen. $P$: W, O, dus $\neg P$: O, W = $\neg P$: O, W

Controleer $P \lor \neg P$: W OF O = W en O OF W = W = Alleen W: tautologie

Controleer $P \land \neg P$: W EN O = O en O EN W = O = Alleen O: contradictie

Controleer $(P \land Q) \lor \neg P$: 4 rijen. $P \land Q$: W, O, O, O. $\neg P$: O, O, W, W. OF: W, O, W, W = Gemengd: geen van beide

Answer: $P \lor \neg P$ is een tautologie, $P \land \neg P$ is een contradictie en $(P \land Q) \lor \neg P$ is geen van beide, omdat de uitdrukking in rij 2 onwaar is.

Equivalentie controleren (De Morgan)

Zijn $\neg(P \land Q)$ en $\neg P \lor \neg Q$ equivalent? En $\neg(P \land Q)$ en $\neg P \land \neg Q$?

Eindkolom van $\neg(P \land Q)$: $P \land Q$: W, O, O, O. Draai die om = O, W, W, W

Eindkolom van $\neg P \lor \neg Q$: $\neg P$: O, O, W, W. $\neg Q$: O, W, O, W. OF rij voor rij = O, W, W, W

Vergelijk elke rij: O = O, W = W, W = W, W = W = Gelijk in alle 4 rijen: equivalent

Eindkolom van $\neg P \land \neg Q$: $\neg P$: O, O, W, W EN $\neg Q$: O, W, O, W = O, O, O, W: anders in de rijen 2 en 3

Answer: $\neg(P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q$ (een van de wetten van De Morgan). Maar $\neg(P \land Q)$ en $\neg P \land \neg Q$ zijn niet equivalent: één afwijkende rij is genoeg.

Een waarheidstabel is de betrouwbaarste manier om een logische uitspraak te controleren, omdat ze geen enkel geval overslaat: - **Programmeren**: voordat een voorwaarde als (lid OF kortingscode) EN NIET geblokkeerd live gaat, controleren testers elke combinatie van invoer - **Elektronica**: ingenieurs ontwerpen schakelingen met waarheidstabellen en vervangen een ingewikkelde schakeling door een eenvoudigere, goedkopere die hetzelfde doet - **Beveiliging en alarmen**: een alarm met 4 sensoren heeft $2^4 = 16$ mogelijke toestanden, en in elke toestand moet het goed reageren - **Argumenten en discussies**: een waarheidstabel laat zien of twee zinnen echt hetzelfde zeggen of alleen op elkaar lijken - **Puzzels en spellen**: logische puzzels los je op door rijen te schrappen die niet waar kunnen zijn Je weet al hoe EN, OF en NIET elk afzonderlijk werken. Met waarheidstabellen kun je ze combineren tot elke uitdrukking en toch zeker zijn van het antwoord.

Mistake: Te weinig rijen schrijven, bijvoorbeeld 6 rijen voor 3 variabelen

Why: Het aantal rijen is niet $2 \times n$. Elke variabele verdubbelt het aantal combinaties, dus 3 variabelen geven $2 \times 2 \times 2 = 8$ rijen.

Correct: Gebruik altijd $2^n$ rijen: 4 voor 2 variabelen, 8 voor 3 variabelen, 16 voor 4 variabelen.

Mistake: De kolommen van de variabelen in een willekeurige volgorde invullen

Why: Zonder systeem schrijf je makkelijk dezelfde combinatie twee keer op en vergeet je een andere. De tabel geeft dan een verkeerd oordeel.

Correct: Volg het vaste patroon: eerste kolom in blokken van de helft van de rijen, elke volgende kolom in blokken die half zo lang zijn, laatste kolom afwisselend W, O.

Mistake: $\neg P \land Q$ behandelen alsof het $\neg(P \land Q)$ is

Why: Zonder haakjes hoort NIET alleen bij de variabele direct erna. De versie met haakjes draait de uitkomst van de hele EN om.

Correct: Maak een hulpkolom voor precies datgene waar NIET bij hoort: alleen $\neg P$, of eerst $P \land Q$ en daarna de ontkenning daarvan.

Mistake: Twee uitdrukkingen equivalent noemen na het controleren van maar een paar rijen

Why: Twee uitdrukkingen kunnen in meerdere rijen overeenkomen en toch in één rij verschillen. $\neg(P \land Q)$ en $\neg P \land \neg Q$ komen overeen in de rijen 1 en 4, maar niet in de rijen 2 en 3.

Correct: Vergelijk de eindkolommen in elke afzonderlijke rij. Equivalent betekent gelijk in alle $2^n$ rijen.

Alarmsystemen

Beveiligingsingenieurs zetten elke toestand van de sensoren op een rij, zodat ze zeker weten dat het alarm in elk geval goed reageert.

Een alarm met 3 deursensoren heeft $2^3 = 8$ toestanden, van alle deuren dicht tot alle deuren open.

Software testen

Programmeurs testen een voorwaarde met elke combinatie van invoer, en dat is precies een waarheidstabel.

Een inlogregel (juist wachtwoord EN NIET geblokkeerd) heeft $2^2 = 4$ testgevallen nodig om volledig gecontroleerd te zijn.

Schakelingen vereenvoudigen

Als twee schakelingen dezelfde waarheidstabel hebben, kunnen ingenieurs de schakeling met minder of goedkopere onderdelen gebruiken.

Met de wetten van De Morgan kan een ontwerper een NIET-EN vervangen door een OF van twee keer NIET, zonder te veranderen wat de schakeling doet.

Een waarheidstabel geeft elke combinatie van waarheidswaarden en de waarde van de uitdrukking in elke rij

Met $n$ variabelen heeft de tabel $2^n$ rijen: 4 bij 2 variabelen, 8 bij 3 variabelen

Vul de kolommen van de variabelen in een vaste volgorde: eerst blokken van de helft van de rijen, de laatste kolom afwisselend W, O

Gebruik hulpkolommen voor elk deel van de uitdrukking, het binnenste deel eerst

Alleen W in de eindkolom betekent een tautologie, alleen O betekent een contradictie

Twee uitdrukkingen zijn equivalent als hun eindkolommen in elke rij overeenkomen

Q: Waarom verdubbelt elke nieuwe variabele het aantal rijen?

A: Elke bestaande rij kun je voortzetten met de nieuwe variabele op W of op O. Elke rij splitst zich dus in tweeën: 2 rijen worden 4, 4 worden 8, enzovoort, en dat geeft $2^n$.

Q: Maakt de volgorde van de rijen uit?

A: Elke volgorde is goed, zolang elke combinatie precies één keer voorkomt. De standaardvolgorde (beginnend met alles W) maakt het makkelijk om tabellen te controleren en te vergelijken. Sommige boeken beginnen juist met onwaar; de rijen zijn hetzelfde, alleen in omgekeerde volgorde. De interactieve tabellen in deze les gebruiken de standaardvolgorde.

Q: Hoe heet een uitdrukking die geen tautologie en geen contradictie is?

A: Die heet een **contingentie**: de waarde hangt af van de invoer. De meeste alledaagse uitdrukkingen, zoals $P \land Q$, zijn contingenties.

Q: Heb ik altijd hulpkolommen nodig?

A: Ze zijn niet verplicht, maar ze voorkomen de meeste fouten. Met oefening kun je kleine stappen in je hoofd samenvoegen, maar bij 3 variabelen of haakjes binnen haakjes zijn hulpkolommen de veiligste manier.

Presentatie afsluiten

Waarheidstabellen

1 / 14

Logica & Verzamelingen / Booleaanse logica

Waarheidstabellen

Leer stap voor stap een waarheidstabel opstellen voor een samengestelde uitdrukking en gebruik die om tautologieën, contradicties en equivalente uitdrukkingen te vinden.

Gemiddeld25 min

Gebruik pijltjestoetsen of spatiebalk om te navigeren