Omgekeerde en inverse
De omgekeerde maken
Origineel: Als een figuur een vierkant is, dan heeft ze vier zijden. Schrijf de omgekeerde op en bepaal of die waar is.
Hypothese en conclusie bepalen: $p$: een figuur is een vierkant. $q$: ze heeft vier zijden. = Origineel: $p \to q$ (waar)
De twee delen verwisselen: $q \to p$: Als een figuur vier zijden heeft, dan is ze een vierkant. = Dit is de omgekeerde
Een tegenvoorbeeld zoeken: Een rechthoek van 5 cm bij 3 cm heeft vier zijden, maar is geen vierkant. = De omgekeerde is onwaar
Answer: Omgekeerde: Als een figuur vier zijden heeft, dan is ze een vierkant. Die is onwaar, want een rechthoek van 5 cm bij 3 cm is een tegenvoorbeeld.
De inverse maken
Origineel: Als een getal deelbaar is door 4, dan is het even. Schrijf de inverse op en test die met het getal 6.
De hypothese ontkennen: niet $p$: een getal is niet deelbaar door 4 = $\neg p$
De conclusie ontkennen: niet $q$: het is niet even = $\neg q$
De inverse opschrijven: Als een getal niet deelbaar is door 4, dan is het niet even. = $\neg p \to \neg q$
Testen met 6: $6 \div 4 = 1{,}5$, dus 6 is niet deelbaar door 4, maar $6 \div 2 = 3$, dus 6 is even. = De inverse is onwaar
Answer: Inverse: Als een getal niet deelbaar is door 4, dan is het niet even. Die is onwaar: 6 is niet deelbaar door 4 en toch even.
Eén tegenvoorbeeld voor allebei
Origineel: Als $x = 3$, dan $x^2 = 9$. Bepaal de waarheidswaarde van het origineel, de omgekeerde en de inverse.
Het origineel controleren: Als $x = 3$, dan $x^2 = 3 \times 3 = 9$. = Origineel: waar
De omgekeerde opschrijven en testen: Als $x^2 = 9$, dan $x = 3$. Probeer $x = -3$: $(-3)^2 = 9$, maar $-3 \neq 3$. = Omgekeerde: onwaar
De inverse opschrijven en testen: Als $x \neq 3$, dan $x^2 \neq 9$. Probeer $x = -3$: $-3 \neq 3$, maar $(-3)^2 = 9$. = Inverse: onwaar
Vergelijken: Hetzelfde getal $-3$ weerlegt de omgekeerde en de inverse. = Omgekeerde en inverse komen overeen
Answer: Het origineel is waar, terwijl de omgekeerde en de inverse allebei onwaar zijn. Het tegenvoorbeeld $x = -3$ werkt voor allebei.
Als beide richtingen waar zijn
Origineel: Als een hoek $90^\circ$ meet, dan is het een rechte hoek. Kun je er een equivalentie van maken?
Het origineel controleren: Elke hoek van $90^\circ$ is per definitie een rechte hoek. = Origineel: waar
De omgekeerde opschrijven: Als een hoek een rechte hoek is, dan meet hij $90^\circ$. = Omgekeerde: $q \to p$
De omgekeerde controleren: Elke rechte hoek meet precies $90^\circ$. Er is geen tegenvoorbeeld. = Omgekeerde: waar
Beide richtingen combineren: $p \to q$ en $q \to p$ zijn allebei waar, dus $p \leftrightarrow q$. = Equivalentie
Answer: Ja: Een hoek is een rechte hoek dan en slechts dan als hij $90^\circ$ meet.
Onwaar origineel, ware omgekeerde
Origineel: Als een getal een veelvoud van 3 is, dan is het een veelvoud van 6. Bepaal de waarheidswaarden van het origineel, de omgekeerde en de inverse.
Het origineel testen: 9 is een veelvoud van 3, maar $9 \div 6 = 1{,}5$. = Origineel: onwaar
De omgekeerde testen: Als een getal een veelvoud van 6 is, dan is het een veelvoud van 3. Elk veelvoud van 6 is $6k = 3 \times 2k$. = Omgekeerde: waar
De inverse testen: Als een getal geen veelvoud van 3 is, dan is het geen veelvoud van 6. Een veelvoud van 6 zou ook een veelvoud van 3 zijn, dus dit gaat nooit mis. = Inverse: waar
Een conclusie trekken: De waarheidswaarde van het origineel zegt niets over de omgekeerde. = Elke bewering moet je controleren
Answer: Het origineel is onwaar (tegenvoorbeeld 9), terwijl de omgekeerde en de inverse allebei waar zijn.
Mistake: Aannemen dat de omgekeerde waar is omdat het origineel waar is
Why: Door hypothese en conclusie te verwisselen ontstaat een nieuwe bewering met een eigen waarheidswaarde. Als $x = 3$, dan $x^2 = 9$ is waar, maar als $x^2 = 9$, dan $x = 3$ is onwaar.
Correct: Test de omgekeerde altijd apart en zoek een tegenvoorbeeld, hier $x = -3$.
Mistake: De omgekeerde en de inverse door elkaar halen
Why: Ze worden allebei uit dezelfde twee delen gemaakt, dus ze lijken op elkaar. De omgekeerde verandert de volgorde, de inverse voegt twee ontkenningen toe.
Correct: Omgekeerde = verwisselen: $q \to p$. Inverse = beide ontkennen: $\neg p \to \neg q$.
Mistake: Maar één deel ontkennen bij het maken van de inverse
Why: $\neg p \to q$ schrijven (als geen vierkant, dan vier zijden) is niet de inverse. Dat is een heel andere bewering.
Correct: Zet niet voor de hypothese **en** voor de conclusie: als geen vierkant, dan niet vier zijden.
Mistake: Eén voorbeeld dat klopt gebruiken als bewijs dat de omgekeerde waar is
Why: Bij als $x^2 = 9$, dan $x = 3$ klopt het voorbeeld $x = 3$, maar $x = -3$ niet. Voorbeelden die kloppen bewijzen nooit een algemene bewering.
Correct: Eén tegenvoorbeeld bewijst dat een bewering onwaar is. Om te bewijzen dat ze waar is, heb je een redenering nodig die elk geval dekt.
Acties in de webwinkel
Winkels formuleren regels als als-dan-beweringen. Klanten lezen ze vaak andersom, en dat is precies de omgekeerde.
Regel: Als je bestelling boven 50 € ligt, dan is de verzending gratis. Omgekeerde: Als de verzending gratis is, dan lag je bestelling boven 50 €. Ook een ledencode kan gratis verzending geven, dus de omgekeerde kan onwaar zijn.
Regels in computerprogramma's controleren
Programmeurs schrijven voorwaarden zoals als n deelbaar is door 6, dan is n even. Zo'n voorwaarde omdraaien is een klassieke fout.
Een programma accepteert alleen getallen die deelbaar zijn door 6 en markeert ze als even. Een programmeur draait de controle om en accepteert elk even getal als deelbaar door 6. Het getal 8 glipt er per ongeluk door.
Goede definities
Woordenboeken en wiskundeboeken schrijven definities die in beide richtingen werken. Een definitie is een equivalentie, een dan-en-slechts-dan-als-bewering.
Een driehoek is rechthoekig dan en slechts dan als hij een hoek van $90^\circ$ heeft. Elke rechthoekige driehoek heeft een hoek van $90^\circ$, en elke driehoek met een hoek van $90^\circ$ is rechthoekig.
Een als-dan-bewering heeft de vorm $p \to q$: als $p$, dan $q$
De omgekeerde verwisselt de delen: $q \to p$
De inverse ontkent beide delen: $\neg p \to \neg q$
Een ware bewering kan een onware omgekeerde en een onware inverse hebben, bijvoorbeeld als $x = 3$, dan $x^2 = 9$
De omgekeerde en de inverse hebben altijd dezelfde waarheidswaarde, en één tegenvoorbeeld is genoeg om een bewering te weerleggen
Als een bewering en haar omgekeerde allebei waar zijn, vormen ze een equivalentie $p \leftrightarrow q$ (dan en slechts dan als)
Q: Als het origineel waar is, kan de omgekeerde dan ook waar zijn?
A: Soms. Als een hoek $90^\circ$ meet, dan is het een rechte hoek, en ook de omgekeerde is waar. Maar je moet haar altijd apart controleren, ze volgt nooit vanzelf.
Q: Waarom hebben de omgekeerde en de inverse altijd dezelfde waarheidswaarde?
A: Kijk naar de waarheidstabel: de kolommen van $q \to p$ en $\neg p \to \neg q$ zijn in alle vier de rijen gelijk. In de volgende les zie je waarom: elk van de twee is de contrapositie van de andere.
Q: Wat betekent dan en slechts dan als?
A: Het betekent dat beide richtingen waar zijn: $p \to q$ en $q \to p$. We schrijven $p \leftrightarrow q$. Bijvoorbeeld: $x + 4 = 10$ dan en slechts dan als $x = 6$.
Q: Hoeveel tegenvoorbeelden heb ik nodig?
A: Maar één. Eén geval waarin de hypothese waar is en de conclusie onwaar, laat zien dat de hele bewering onwaar is.
Omgekeerde en inverse
1 / 14
Omgekeerde en inverse
Leer hoe je de omgekeerde en de inverse van een als-dan-bewering maakt en waarom een ware bewering een onware omgekeerde kan hebben.