De roostermethode: wie heeft welk huisdier?

Lena, Marco en Nina hebben elk een ander huisdier: een kat, een hond of een papegaai. Hint 1: Marco is allergisch voor dieren met een vacht. Hint 2: Lena heeft de hond niet. Wie heeft welk huisdier?

Teken een $3 \times 3$-rooster: Rijen: Lena, Marco, Nina. Kolommen: kat, hond, papegaai. Dat zijn $3 \times 3 = 9$ vakjes, en elke rij en elke kolom krijgt precies één ✓. = Een leeg rooster met 9 vakjes

Gebruik hint 1: Katten en honden hebben een vacht, dus zet ✗ in Marco's vakje bij kat en bij hond. In zijn rij blijft alleen de papegaai over. = Marco ✓ papegaai

Maak de kolom papegaai af: Maar één persoon heeft de papegaai, dus zet ✗ voor Lena en voor Nina in de kolom papegaai. = Lena en Nina: ✗ papegaai

Gebruik hint 2: Lena heeft nu ✗ bij de hond en ✗ bij de papegaai, dus in haar rij blijft alleen de kat over. = Lena ✓ kat

Vul het laatste vakje in: In Nina's rij blijft alleen de hond over, en de kolom hond heeft nog geen ✓. = Nina ✓ hond

Answer: Lena heeft de kat, Marco de papegaai en Nina de hond. Controle: de papegaai heeft geen vacht, en Lena heeft de hond niet, dus beide hints kloppen.

Ridders en schurken

Op een eiland is iedereen ofwel een **ridder**, die altijd de waarheid spreekt, ofwel een **schurk**, die altijd liegt. Je ontmoet A en B. A zegt: "Wij zijn allebei schurken." Wat zijn A en B?

Geval 1: stel dat A een ridder is: Dan is de uitspraak van A waar, dus is A een schurk. Maar we hadden aangenomen dat A een ridder is. = Tegenspraak, dus A is geen ridder

Geval 2: A is een schurk: Dan is de uitspraak van A onwaar, dus het is niet zo dat ze allebei schurken zijn. = Minstens een van de twee is een ridder

Bepaal B: A is een schurk, dus de ridder moet B zijn. = B is een ridder

Controleer het antwoord: A, een schurk, zei iets wat niet klopt (ze zijn niet allebei schurken). Precies zo praat een schurk. = Alles klopt

Answer: A is een schurk en B is een ridder. De belangrijkste observatie: een ridder kan nooit zeggen "Ik ben een schurk", daarom viel het eerste geval meteen af.

In de rij

Ana, Ben, Cleo, Dan en Eva staan in een rij, op de plaatsen $1$ (vooraan) tot en met $5$ (achteraan). Hint 1: Cleo staat op plaats $3$. Hint 2: Dan staat direct achter Ben. Hint 3: Eva staat niet aan een van de uiteinden. Hint 4: Ana staat ergens voor Eva. Op welke plaats staat Dan?

Zet eerst de persoon met een vaste plaats neer: Cleo staat op plaats $3$, dus de plaatsen $1$, $2$, $4$ en $5$ blijven over. = Cleo: $3$

Zet de mogelijkheden voor Eva op een rij: Eva staat niet op $1$ of $5$, en $3$ is bezet. = Eva staat op $2$ of $4$

Geval: Eva op $4$: Over zijn $1$, $2$ en $5$. Ben en Dan hebben twee plaatsen naast elkaar nodig, dus $1$ en $2$. Ana krijgt $5$ en staat dan achter Eva, in strijd met hint 4. = Tegenspraak

Geval: Eva op $2$: Ana moet voor haar staan, dus Ana staat op $1$. Ben en Dan nemen $4$ en $5$, met Dan direct achter Ben. = Ben: $4$, Dan: $5$

Answer: De volgorde is Ana, Eva, Cleo, Ben, Dan, dus Dan staat op plaats $5$. Alle vier de hints kloppen en het andere geval viel af, dus dit is de enige oplossing.

Een getallenpuzzel

Ik ben een getal van twee cijfers. De som van mijn cijfers is $11$, en mijn tientallencijfer is $3$ groter dan mijn eenhedencijfer. Welk getal ben ik?

Schrijf alle getallen van twee cijfers met cijfersom $11$ op: $29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92$ = 8 kandidaten

Test de tweede hint bij elke kandidaat: Tientallencijfer min eenhedencijfer: $2 - 9 = -7$, $3 - 8 = -5$, $4 - 7 = -3$, $5 - 6 = -1$, $6 - 5 = 1$, $7 - 4 = 3$, $8 - 3 = 5$, $9 - 2 = 7$ = Alleen $74$ geeft $3$

Controleer met algebra: Noem het eenhedencijfer $u$, dan is het tientallencijfer $u + 3$. Dus $u + (u + 3) = 11$, zodat $2u = 8$ en $u = 4$. = Tientallen $7$, eenheden $4$

Answer: Het getal is $74$: $7 + 4 = 11$ en $7 - 4 = 3$. Kandidaten opschrijven en wegstrepen is een zekere methode als de lijst kort is.

De wolf, de geit en de kool

Een boer moet een wolf, een geit en een kool naar de overkant van een rivier brengen. In de boot passen alleen de boer en één van de drie. Als ze alleen samen blijven, eet de wolf de geit op en eet de geit de kool op. Wat is het kleinste aantal oversteken? (Elke enkele tocht telt als één oversteek.)

Vind de enige veilige eerste zet: Neemt hij de wolf mee, dan blijft de geit bij de kool. Neemt hij de kool mee, dan blijft de wolf bij de geit. Alleen de geit kan als eerste mee. = Oversteek 1: geit naar de overkant

Terugvaren en de wolf halen: Oversteek 2: de boer vaart alleen terug. Oversteek 3: de boer brengt de wolf naar de overkant. = Wolf en geit aan de overkant

De sleutelzet: de geit terugbrengen: De wolf mag niet alleen bij de geit blijven, dus bij oversteek 4 neemt de boer de geit weer mee terug. = Oversteek 4: geit terug

De kool overbrengen: Oversteek 5: de boer brengt de kool naar de overkant (de wolf eet geen kool). Oversteek 6: de boer vaart alleen terug. = Wolf en kool aan de overkant

Afmaken: Oversteek 7: de boer brengt de geit naar de overkant. = Iedereen is aan de overkant

Answer: Het kleinste aantal is $7$ oversteken. Drie vrachten en twee terugtochten zouden $5$ zijn, maar de geit mag nooit bij de wolf of de kool blijven, dus moet ze één keer terug, en dat kost twee extra oversteken.

Mistake: Een ✓ in het rooster zetten maar de rest van die rij en kolom niet wegstrepen

Why: Elke persoon heeft precies één ding en elk ding heeft precies één eigenaar. Ontbrekende ✗ verbergen de volgende conclusie.

Correct: Elke keer dat je een ✓ zet, zet je meteen ✗ in alle andere vakjes van die rij en die kolom.

Mistake: "Direct achter" lezen als "ergens achter"

Why: "Dan staat direct achter Ben" betekent twee plaatsen naast elkaar, terwijl "Ana staat ergens voor Eva" een gat toelaat. Wie die verwart, krijgt foute of extra oplossingen.

Correct: Onderstreep woorden als direct, naast, ergens, niet en alleen, en gebruik elke hint precies zoals hij er staat.

Mistake: Geloven wat iemand zegt in een puzzel met ridders en schurken

Why: De uitspraak kan van een schurk komen. Wie haar als waar aanneemt, kijkt maar naar een van de twee gevallen.

Correct: Test voor elke spreker beide gevallen: ridder (de uitspraak is waar) en schurk (de uitspraak is onwaar). Houd alleen het geval zonder tegenspraak over.

Mistake: Heen-en-terugtochten tellen in plaats van oversteken

Why: Een heen-en-terugtocht is twee oversteken. Wie de oplossing met de wolf, de geit en de kool telt als $3$ heen-en-terugtochten plus een laatste tocht, zegt $4$ in plaats van $7$.

Correct: Tel elke enkele tocht apart, en lees goed wat de vraag precies vraagt.

Roosters en planning

Scholen, sportcompetities en luchtvaartmaatschappijen maken hun roosters door enorme roosterpuzzels op te lossen: elke gebeurtenis heeft precies één tijdstip nodig, en de regels zijn de hints.

Een school met $3$ toetsen en $3$ toetsdagen vult een $3 \times 3$-rooster in, precies zoals bij het koppelen van personen en huisdieren.

Een valse munt vinden

Kwaliteitscontrole en speurwerk gebruiken hetzelfde idee als logische puzzels: verdeel de mogelijkheden in groepen en sluit hele groepen tegelijk uit.

Met een balans vertelt één weging van $3$ munten tegen $3$ munten je in welke van drie groepen een lichtere valse munt zit.

Een veerpont plannen

Oversteekpuzzels zijn echt werk voor wie veerponten en pendelbussen regelt: die tellen elke enkele tocht, want elke tocht kost brandstof en tijd.

Een boot die terug moet voor meer passagiers maakt $2$ oversteken per heen-en-terugtocht, plus één laatste oversteek zonder terugweg.

Q: Wat als ik twee antwoorden vind die bij alle hints passen?

A: Dan is er een hint verkeerd gelezen, of de puzzel is slecht gemaakt. Een goede puzzel heeft precies één oplossing. Lees elke hint opnieuw, vooral woorden als direct, niet en alleen, en test beide antwoorden nog eens met elke hint.

Q: Waar moet ik beginnen?

A: Begin met een hint die een vast feit geeft ("Cleo staat op plaats $3$") of die de meeste mogelijkheden uitsluit. Vaste feiten vullen het rooster het snelst, en elke nieuwe ✓ levert weer nieuwe ✗ op.

Q: Is gevallen onderscheiden niet gewoon gokken?

A: Nee. Een gok houd je zonder te controleren. Bij gevallen onderscheiden volg je elk geval tot het einde en gooi je elk geval weg dat tot een tegenspraak leidt. Blijft er maar één geval over, dan heb je bewezen dat dat het antwoord is.

Q: Waarom kan niemand op het eiland zeggen "Ik ben een schurk"?

A: Een ridder die dat zegt, zou liegen, en ridders liegen nooit. Een schurk die dat zegt, zou de waarheid spreken, en dat doen schurken nooit. Die zin is dus voor iedereen op het eiland onmogelijk.