Hoeken bij twee evenwijdige lijnen

De lijnen $AB$ en $CD$ zijn evenwijdig. De punten $A$ en $C$ liggen links, $B$ en $D$ rechts. Een snijlijn snijdt $AB$ in $E$ en $CD$ in $F$, en $\angle AEF = 65^\circ$. Bereken $\angle EFD$ en $\angle CFE$ en geef bij elke stap een reden.

Het hoekenpaar herkennen: $\angle AEF$ en $\angle EFD$ liggen allebei tussen de evenwijdige lijnen, aan verschillende kanten van de snijlijn = Het zijn Z-hoeken

De stelling over evenwijdige lijnen toepassen: Z-hoeken bij evenwijdige lijnen zijn gelijk, dus $\angle EFD = \angle AEF$ = $\angle EFD = 65^\circ$

De gestrekte hoek bij $F$ gebruiken: $\angle CFE$ en $\angle EFD$ vormen samen de gestrekte hoek $CFD$: $\angle CFE = 180^\circ - 65^\circ$ = $\angle CFE = 115^\circ$ (nevenhoeken)

Answer: $\angle EFD = 65^\circ$ (Z-hoeken) en $\angle CFE = 115^\circ$ (nevenhoeken). Controle: $\angle AEF + \angle CFE = 180^\circ$, want binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn zijn samen $180^\circ$.

De hoekensom van een driehoek bewijzen

Bewijs dat de hoeken van elke driehoek $ABC$ samen $180^\circ$ zijn. Teken door $A$ de lijn $DE$ evenwijdig aan $BC$, met $D$ aan de kant van $B$ en $E$ aan de kant van $C$.

Bewering 1: de gestrekte hoek bij $A$: $D$, $A$ en $E$ liggen op één lijn, dus $\angle DAB + \angle BAC + \angle CAE = 180^\circ$ = Reden: hoeken op een rechte lijn

Bewering 2: snijlijn $AB$: $DE \parallel BC$ en $AB$ snijdt beide lijnen, dus $\angle DAB = \angle ABC$ = Reden: Z-hoeken

Bewering 3: snijlijn $AC$: Ook $AC$ snijdt beide evenwijdige lijnen, dus $\angle CAE = \angle ACB$ = Reden: Z-hoeken

Bewering 4: substitueren: Vervang $\angle DAB$ en $\angle CAE$ in bewering 1 met behulp van beweringen 2 en 3 = $\angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^\circ$

Answer: De evenwijdige lijn legt de drie hoeken van de driehoek naast elkaar in de gestrekte hoek bij $A$, dus ze zijn in elke driehoek samen $180^\circ$. QED

ZZZ en overeenkomstige delen in een vlieger

In vierhoek $ABCD$ geldt $AB = AD$ en $CB = CD$. Bewijs dat de diagonaal $AC$ de hoek $\angle BAD$ middendoor deelt. Bereken daarna $\angle BAC$ als $\angle BAD = 70^\circ$.

De paren zijden opsommen: $AB = AD$ (gegeven), $CB = CD$ (gegeven), $AC = AC$ (reflexieve eigenschap) = Drie paren gelijke zijden

De congruentie van de driehoeken bewijzen: Koppel de hoekpunten $A \to A$, $B \to D$, $C \to C$ = $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ (ZZZ)

Overeenkomstige delen gebruiken: $\angle BAC$ en $\angle DAC$ zijn overeenkomstige hoeken van de congruente driehoeken = $\angle BAC = \angle DAC$ (overeenkomstige delen)

Concluderen en rekenen: Twee gelijke helften betekenen dat $AC$ de bissectrice van $\angle BAD$ is: $\angle BAC = 70^\circ \div 2$ = $\angle BAC = 35^\circ$

Answer: $AC$ is de bissectrice van $\angle BAD$ (ZZZ, daarna overeenkomstige delen), en $\angle BAC = \angle DAC = 35^\circ$.

Basishoeken van een gelijkbenige driehoek

Gegeven: $AB = AC$ in $\triangle ABC$. Te bewijzen: $\angle B = \angle C$. Bereken daarna de basishoeken als $\angle A = 40^\circ$.

Een hulplijn tekenen: Teken de bissectrice van $\angle BAC$, die $BC$ snijdt in $D$. Dan geldt $\angle BAD = \angle CAD$ = Reden: definitie van bissectrice

De delen voor ZHZ verzamelen: $AB = AC$ (gegeven), $\angle BAD = \angle CAD$ (stap 1), $AD = AD$ (reflexieve eigenschap) = Twee zijden en de ingesloten hoek

De congruentie bewijzen: De hoek bij $A$ ligt tussen de zijden $AB$, $AD$ en tussen $AC$, $AD$ = $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ (ZHZ)

Overeenkomstige delen gebruiken: $\angle B$ en $\angle C$ zijn overeenkomstige hoeken = $\angle B = \angle C$ (overeenkomstige delen)

Rekenen met $\angle A = 40^\circ$: $\angle B + \angle C = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$, en de twee hoeken zijn gelijk = $\angle B = \angle C = 70^\circ$

Answer: De basishoeken van een gelijkbenige driehoek zijn gelijk. Met $\angle A = 40^\circ$ is elke basishoek $70^\circ$. De overeenkomstige delen geven ook $BD = CD$, dus $D$ is het midden van $BC$.

Evenwijdige lijnen, HZH en een midden

De lijnstukken $AE$ en $BD$ snijden elkaar in $C$. Er geldt $AB \parallel DE$, en $C$ is het midden van $AE$. Bewijs dat $C$ ook het midden van $BD$ is. Bereken daarna $\angle CDE$ als $\angle BAC = 50^\circ$ en $\angle ACB = 70^\circ$.

Hoeken bij $A$ en $E$: $AB \parallel DE$, en $AE$ is een snijlijn = $\angle BAC = \angle DEC$ (Z-hoeken)

Zijden bij $C$: $C$ is het midden van $AE$ = $AC = EC$ (definitie van midden)

Hoeken bij $C$: $\angle ACB$ en $\angle ECD$ liggen tegenover elkaar = $\angle ACB = \angle ECD$ (overstaande hoeken)

Congruentie en overeenkomstige delen: De zijde $AC$ ligt tussen de hoeken bij $A$ en $C$, dus $\triangle ABC \cong \triangle EDC$ (HZH) = $BC = DC$ (overeenkomstige delen), dus $C$ is het midden van $BD$

De hoek berekenen: $\angle CDE = \angle CBA = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ$ (overeenkomstige delen en hoekensom) = $\angle CDE = 60^\circ$

Answer: $C$ is het midden van $BD$ (HZH, daarna overeenkomstige delen), en $\angle CDE = 60^\circ$.

Mistake: HHH (drie gelijke hoeken) gebruiken om te bewijzen dat driehoeken congruent zijn

Why: Gelijke hoeken geven alleen dezelfde vorm: een kleine en een grote gelijkzijdige driehoek hebben dezelfde hoeken, maar zijn niet congruent. Twee zijden en een hoek die er niet tussen ligt, zijn in het algemeen ook niet genoeg, omdat er twee verschillende driehoeken kunnen passen.

Correct: Gebruik alleen ZZZ, ZHZ, HZH of ZHH, en controleer bij ZHZ dat de hoek tussen de twee zijden ligt.

Mistake: Overeenkomstige delen gebruiken voordat de congruentie bewezen is

Why: Deze reden mag pas na een regel die zegt dat de driehoeken congruent zijn. Anders gaat het bewijs uit van wat het wil aantonen.

Correct: Eerst een regel zoals $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ (ZHZ), daarna de bijbehorende zijden of hoeken met de reden overeenkomstige delen.

Mistake: Hoekstellingen voor evenwijdige lijnen gebruiken terwijl de lijnen niet evenwijdig zijn, of zeggen dat binnenhoeken aan dezelfde kant gelijk zijn

Why: Z-hoeken en F-hoeken zijn alleen gelijk bij evenwijdige lijnen. Binnenhoeken aan dezelfde kant zijn niet gelijk, ze zijn samen $180^\circ$.

Correct: Controleer dat de lijnen als evenwijdig gegeven zijn ($AB \parallel CD$) en noem het paar precies: Z-hoeken (gelijk), F-hoeken (gelijk) of binnenhoeken aan dezelfde kant (samen $180^\circ$).

Mistake: De hoekpunten in een congruentie in de verkeerde volgorde schrijven

Why: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ betekent $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$. Een verkeerde volgorde koppelt zijden en hoeken die niet bij elkaar horen.

Correct: Koppel de hoekpunten volgens de gelijke delen. In voorbeeld 5 is de juiste bewering $\triangle ABC \cong \triangle EDC$, niet $\triangle ABC \cong \triangle DEC$.

Dakspanten

Timmerlieden bouwen dakspanten als gelijkbenige driehoeken: twee even lange spantbenen komen samen in de nok, dus beide dakvlakken hebben dezelfde helling.

Een spant met een hoek van $100^\circ$ in de nok heeft basishoeken van $(180^\circ - 100^\circ) \div 2 = 40^\circ$.

Een vijver opmeten

Landmeters meten afstanden die je niet kunt aflopen met congruente driehoeken, met hetzelfde ZHZ-bewijs als in deze les.

Om de breedte $AB$ van een vijver te vinden, loop je van $A$ naar een punt $C$ en dezelfde afstand verder naar $D$. Daarna loop je van $B$ via $C$ dezelfde afstand verder naar $E$. Dan geldt $\triangle ACB \cong \triangle DCE$ (ZHZ), dus $DE = AB$ (overeenkomstige delen).

Stadsplattegronden

Evenwijdige straten die door een schuine laan worden gekruist, vormen het patroon van evenwijdige lijnen en een snijlijn, dat stedenbouwers gebruiken om hoeken en kruisingen te ontwerpen.

Als een schuine laan met een straat een hoek van $58^\circ$ maakt, maakt hij met elke evenwijdige straat dezelfde F-hoek van $58^\circ$.

Q: Wat betekent CPCTC in Engelse boeken?

A: Corresponding Parts of Congruent Triangles are Congruent, dus: overeenkomstige delen van congruente driehoeken zijn gelijk. Het is de reden die je schrijft nadat je hebt bewezen dat twee driehoeken congruent zijn, als je daaruit een zijde of hoek afleidt.

Q: Waarom zijn twee zijden en een willekeurige hoek niet genoeg?

A: Als de hoek niet tussen de twee zijden ligt, kan de derde zijde soms in twee verschillende standen draaien, en dan ontstaan er twee verschillende driehoeken. Daarom garanderen die gegevens in het algemeen geen congruentie.

Q: Wat is het verschil tussen HZH en ZHH?

A: Bij HZH ligt de bekende zijde tussen de twee hoeken, bij ZHH niet. Allebei werken ze: twee hoeken leggen de derde vast (hoekensom $180^\circ$), dus ZHH kun je altijd terugbrengen tot HZH.

Q: Hoe vind ik de juiste driehoeken?

A: Kijk naar het lijnstuk of de hoek waarvan je de gelijkheid moet bewijzen en zoek twee driehoeken waarin die zit. Markeer alles wat je weet: gegeven delen, overstaande hoeken, een gemeenschappelijke zijde. Kom je uit op ZZZ, ZHZ, HZH of ZHH, sluit dan af met de overeenkomstige delen.