Van twee kolommen naar een alinea

Een bewijs in twee kolommen laat zien: gegeven $3x + 5 = 20$, te bewijzen $x = 5$. De regels zijn (1) $3x + 5 = 20$, gegeven; (2) $3x = 15$, eigenschap van gelijkheid (aftrekken); (3) $x = 5$, eigenschap van gelijkheid (delen). Schrijf het om naar een bewijs in alineavorm.

Maak van de eerste regel een openingszin: Regel 1 is het gegeven, dus de alinea begint met: *Gegeven is dat $3x + 5 = 20$.* = Openingszin geschreven

Verbind regel 2 met zijn reden: *Als we aan beide kanten 5 aftrekken, krijgen we volgens de eigenschap van gelijkheid (aftrekken) $3x = 15$.* = $3x = 15$

Verbind regel 3 met zijn reden: *Als we beide kanten door 3 delen, krijgen we volgens de eigenschap van gelijkheid (delen) $x = 5$.* = $x = 5$

Schrijf de conclusie op: *Dus $x = 5$.* Het woord dus markeert de conclusie, de laatste regel van de tabel. = Bewijs in alineavorm klaar

Answer: Gegeven is dat $3x + 5 = 20$. Als we aan beide kanten 5 aftrekken, krijgen we volgens de eigenschap van gelijkheid (aftrekken) $3x = 15$. Als we beide kanten door 3 delen, krijgen we volgens de eigenschap van gelijkheid (delen) $x = 5$. Dus $x = 5$. QED

De som van twee oneven getallen is even

Schrijf een bewijs in alineavorm: als $a$ en $b$ oneven gehele getallen zijn, dan is $a + b$ even.

Geef de objecten verschillende letters: Stel dat $a$ en $b$ oneven gehele getallen zijn. Omdat ze oneven zijn, is $a = 2m + 1$ en $b = 2n + 1$ voor zekere gehele getallen $m$ en $n$. = $a = 2m + 1$, $b = 2n + 1$

Tel op en vereenvoudig: Dus $a + b = (2m + 1) + (2n + 1) = 2m + 2n + 2$. = $a + b = 2m + 2n + 2$

Haal 2 buiten haakjes: Hieruit volgt dat $a + b = 2(m + n + 1)$. = $a + b = 2(m + n + 1)$

Geef de reden voor de conclusie: Omdat $m + n + 1$ een geheel getal is (een som van gehele getallen), is $a + b$ twee keer een geheel getal en dus even volgens de definitie van een even getal. = $a + b$ is even

Answer: Stel dat $a$ en $b$ oneven gehele getallen zijn. Omdat ze oneven zijn, is $a = 2m + 1$ en $b = 2n + 1$ voor zekere gehele getallen $m$ en $n$. Dan is $a + b = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1)$. Omdat $m + n + 1$ een geheel getal is, is $a + b$ even volgens de definitie van een even getal. QED

Drie opeenvolgende gehele getallen

Bewijs in alineavorm: de som van drie willekeurige opeenvolgende gehele getallen is deelbaar door 3. Controleer het resultaat daarna met $14 + 15 + 16$.

Geef de drie getallen een naam: Noem het kleinste getal $n$. Omdat de getallen opeenvolgend zijn, zijn de andere twee $n + 1$ en $n + 2$. = $n$, $n + 1$, $n + 2$

Tel ze op: Hun som is $n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3$. = $3n + 3$

Haal buiten haakjes en concludeer: Dus de som is gelijk aan $3(n + 1)$. Omdat $n + 1$ een geheel getal is, is de som drie keer een geheel getal en daarom deelbaar door 3. = Som $= 3(n + 1)$

Controleer met een voorbeeld (geen deel van het bewijs): Voor $14, 15, 16$ is $n = 14$, dus de som moet $3 \times 15 = 45$ zijn. Inderdaad is $14 + 15 + 16 = 45$. = $45 = 3 \times 15$

Answer: Noem de getallen $n$, $n + 1$ en $n + 2$. Hun som is $3n + 3 = 3(n + 1)$, en aangezien $n + 1$ een geheel getal is, is de som deelbaar door 3. Extra feit uit het bewijs: de som is altijd drie keer het middelste getal. QED

Overstaande hoeken zijn gelijk

Twee lijnen snijden elkaar en vormen vier hoeken $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$, $\angle 4$, op volgorde rond het snijpunt, dus $\angle 1$ en $\angle 3$ zijn overstaande hoeken. Schrijf een bewijs in alineavorm dat $\angle 1 = \angle 3$ (de les Bewijzen in twee kolommen bewijst dezelfde stelling als tabel).

Gebruik het eerste paar nevenhoeken: Omdat $\angle 1$ en $\angle 2$ samen een gestrekte hoek vormen, zijn het nevenhoeken, dus $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$. = $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$

Gebruik het tweede paar nevenhoeken: Evenzo vormen $\angle 2$ en $\angle 3$ een gestrekte hoek, dus $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$. = $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$

Combineer de twee vergelijkingen: Beide sommen zijn $180^\circ$, dus door substitutie geldt $\angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3$. = $\angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3$

Trek af en concludeer: Als we aan beide kanten $\angle 2$ aftrekken (eigenschap van gelijkheid (aftrekken)), krijgen we $\angle 1 = \angle 3$. Controle: als $\angle 1 = 65^\circ$, dan is $\angle 2 = 115^\circ$ en $\angle 3 = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$. = $\angle 1 = \angle 3$

Answer: Hoek 1 en hoek 2 zijn nevenhoeken, dus $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$. Hoek 2 en hoek 3 zijn ook nevenhoeken, dus $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$. Door substitutie geldt $\angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3$, en na aftrekken van $\angle 2$ volgt $\angle 1 = \angle 3$. Dus overstaande hoeken zijn gelijk. QED

Het gat vinden

Een leerling wil bewijzen: het product van een even geheel getal en een willekeurig geheel getal is even. De leerling schrijft: *Stel $a = 2k$ en $b = 2k$. Dan is $ab = 4k^2 = 2(2k^2)$, dus $ab$ is even.* Vind de gaten en herstel het bewijs.

Lees wat de bewering echt zegt: De bewering gaat over een even getal $a$ en een **willekeurig** geheel getal $b$, dat oneven en verschillend van $a$ mag zijn. = $b$ kan elk geheel getal zijn

Controleer elke zin: Met $b = 2k$ worden twee dingen aangenomen die nooit gegeven waren: dat $b$ even is en dat $b = a$ (dezelfde letter $k$). Het bewijs dekt alleen producten als $6 \times 6$, niet $6 \times 7$. = Gat: $b = 2k$ is niet onderbouwd

Herstel het begin: Stel dat $a$ even is en $b$ een willekeurig geheel getal. Omdat $a$ even is, is $a = 2k$ voor een zeker geheel getal $k$. Over $b$ wordt niets aangenomen. = $a = 2k$, $b$ willekeurig

Maak het af met redenen: Dan is $ab = 2kb = 2(kb)$. Omdat $kb$ een geheel getal is (een product van gehele getallen), is $ab$ per definitie even. Controle: $6 \times 7 = 42 = 2 \times 21$. = $ab = 2(kb)$ is even

Answer: Het oorspronkelijke bewijs heeft een gat: het neemt stilzwijgend aan dat $b$ even is en gelijk aan $a$. Correct bewijs in alineavorm: stel dat $a$ even is en $b$ een willekeurig geheel getal. Omdat $a$ even is, is $a = 2k$ voor een zeker geheel getal $k$. Dan is $ab = 2(kb)$, en aangezien $kb$ een geheel getal is, is $ab$ even. QED

Mistake: Een rij vergelijkingen zonder woorden opschrijven

Why: Een lijst als $a = 2m + 1$, $a + b = 2(m + n + 1)$ zegt niet waar elke regel vandaan komt of wat hij bewijst. De lezer moet de redenen raden.

Correct: Koppel aan elke bewering een reden (*Omdat $a$ oneven is, is $a = 2m + 1$...*) en sluit af met een zin die de conclusie uitspreekt.

Mistake: Dezelfde letter gebruiken voor twee verschillende getallen

Why: Wie $a = 2k + 1$ en $b = 2k + 1$ schrijft, dwingt $a = b$ af. Het bewijs dekt dan alleen sommen als $7 + 7$.

Correct: Geef elk object een eigen variabele: $a = 2m + 1$ en $b = 2n + 1$.

Mistake: Bewijzen met voorbeelden

Why: $3 + 5 = 8$ en $7 + 9 = 16$ zijn even, maar een paar voorbeelden kunnen nooit alle oneven getallen dekken.

Correct: Gebruik variabelen die voor elk mogelijk geval staan. Voorbeelden zijn alleen nuttig als controle na het bewijs.

Mistake: De conclusie als reden gebruiken

Why: Wie schrijft *Omdat $a + b$ even is, is het gelijk aan $2(m + n + 1)$*, neemt precies aan wat bewezen moet worden (cirkelredenering).

Correct: De woorden omdat en aangezien mogen alleen verwijzen naar feiten die je al hebt: het gegeven, definities, eigenschappen of eerdere zinnen.

Kalenderpuzzels

Drie dagen naast elkaar in een rij van de kalender zijn opeenvolgende gehele getallen, dus het bewijs uit deze les verklaart een bekende getallentruc.

Kies 12, 13 en 14: de som is $39 = 3 \times 13$, drie keer de middelste dag.

Scharen en kruisende wegen

Waar twee rechte voorwerpen elkaar kruisen, zoals de bladen van een schaar, twee wegen of de balken van een dakspant, kun je met de stelling over overstaande hoeken één hoek meten en meteen de overstaande hoek kennen.

Als de bladen van een open schaar een hoek van $35^\circ$ maken, dan maken de handvatten ook een hoek van $35^\circ$.

Per twee verpakken

Winkels en magazijnen verpakken artikelen vaak per twee. Het bewijs dat een even getal keer een willekeurig geheel getal even is, vertelt je wanneer een rooster van voorwerpen zonder rest in paren te verdelen is.

Een bakplaat met 8 rijen van 7 koekjes bevat $56 = 2 \times 28$ koekjes, die dus 28 zakjes van twee vullen.

Q: Is een bewijs in alineavorm minder streng dan een bewijs in twee kolommen?

A: Nee. Beide vormen bevatten dezelfde logica. Een bewijs in alineavorm is alleen anders opgemaakt: elke bewering heeft nog steeds een reden nodig, die staat alleen in de zin in plaats van in een tweede kolom.

Q: Hoe lang moet een bewijs in alineavorm zijn?

A: Lang genoeg zodat een klasgenoot elke stap kan volgen zonder te vragen waarom. Voor de bewijzen in deze les zijn 3 tot 6 zinnen gebruikelijk. Eenvoudige algebra, zoals 2 buiten haakjes halen, heeft geen eigen zin nodig.

Q: Mag ik voorbeelden gebruiken in een bewijs in alineavorm?

A: Alleen als controle, duidelijk gescheiden van het bewijs. Een zin als *bijvoorbeeld $3 + 5 = 8$* laat het idee zien, maar het bewijs zelf moet werken met variabelen die elk geval dekken.

Q: Welk signaalwoord moet ik gebruiken?

A: Gebruik omdat of aangezien voor een reden, en dus, daarom of hieruit volgt dat voor een nieuwe bewering. Wissel af zodat de alinea natuurlijk leest, maar zorg dat elke bewering in haar zin een reden heeft.