Een vergelijking oplossen als bewijs

**Gegeven:** $3x + 5 = 20$. **Te bewijzen:** $x = 5$. Schrijf het bewijs in twee kolommen.

Schrijf het gegeven als bewering 1: Bewering: $3x + 5 = 20$ = Reden: gegeven

Trek aan beide kanten 5 af: $3x + 5 - 5 = 20 - 5$, dus bewering: $3x = 15$ = Reden: eigenschap van gelijkheid (aftrekken)

Deel beide kanten door 3: $\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}$, dus bewering: $x = 5$ = Reden: eigenschap van gelijkheid (delen)

Controleer of de laatste bewering de te bewijzen bewering is: Bewering 3 is $x = 5$, precies wat we moesten bewijzen = Het bewijs is klaar

Answer: 1. $3x + 5 = 20$ (gegeven); 2. $3x = 15$ (eigenschap van gelijkheid, aftrekken); 3. $x = 5$ (eigenschap van gelijkheid, delen).

Ontbrekende redenen invullen

**Gegeven:** $2(x - 4) = 10$. **Te bewijzen:** $x = 9$. De beweringen zijn 1. $2(x - 4) = 10$, 2. $2x - 8 = 10$, 3. $2x = 18$, 4. $x = 9$. Zoek de reden bij elke bewering.

Bewering 1 is de beginsituatie: $2(x - 4) = 10$ kregen we gegeven = Reden 1: gegeven

Vergelijk bewering 1 en 2: $2(x - 4)$ werd $2x - 8$: de 2 is met elke term tussen de haakjes vermenigvuldigd = Reden 2: distributieve eigenschap

Vergelijk bewering 2 en 3: $2x - 8 + 8 = 10 + 8$: aan beide kanten is 8 opgeteld = Reden 3: eigenschap van gelijkheid (optellen)

Vergelijk bewering 3 en 4: $\frac{2x}{2} = \frac{18}{2}$: beide kanten zijn door 2 gedeeld = Reden 4: eigenschap van gelijkheid (delen)

Answer: Gegeven, distributieve eigenschap, eigenschap van gelijkheid (optellen), eigenschap van gelijkheid (delen). Controle: $2(9 - 4) = 2 \cdot 5 = 10$.

Een bewijs met lijnstukken

De punten $A$, $B$, $C$, $D$ liggen in deze volgorde op een lijn. **Gegeven:** $AB = CD$. **Te bewijzen:** $AC = BD$.

Begin met het gegeven: Bewering: $AB = CD$ = Reden: gegeven

Schrijf op dat $BC$ gelijk is aan zichzelf: Bewering: $BC = BC$ = Reden: reflexieve eigenschap

Tel $BC$ op bij beide kanten van bewering 1: Bewering: $AB + BC = CD + BC$ = Reden: eigenschap van gelijkheid (optellen)

Gebruik aan beide kanten het optellen van lijnstukken: Bewering: $AB + BC = AC$ en $BC + CD = BD$ = Reden: optellen van lijnstukken (postulaat)

Vervang beide sommen in bewering 3: Bewering: $AC = BD$ = Reden: substitutie

Answer: $AC = BD$. Controle met getallen: als $AB = CD = 4$ en $BC = 7$, dan is $AC = 11$ en $BD = 11$.

Supplementaire hoeken

**Gegeven:** $\angle 1$ en $\angle 2$ zijn supplementair, $m\angle 1 = 65^\circ$. **Te bewijzen:** $m\angle 2 = 115^\circ$.

Schrijf het gegeven op: Bewering: $\angle 1$ en $\angle 2$ zijn supplementair, $m\angle 1 = 65^\circ$ = Reden: gegeven

Gebruik wat supplementair betekent: Bewering: $m\angle 1 + m\angle 2 = 180^\circ$ = Reden: definitie van supplementaire hoeken

Vul $65^\circ$ in voor $m\angle 1$: Bewering: $65^\circ + m\angle 2 = 180^\circ$ = Reden: substitutie

Trek aan beide kanten $65^\circ$ af: Bewering: $m\angle 2 = 115^\circ$ = Reden: eigenschap van gelijkheid (aftrekken)

Answer: $m\angle 2 = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$, en elke stap heeft zijn reden.

De stelling van de overstaande hoeken bewijzen

Twee lijnen snijden elkaar en vormen na elkaar $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$, dus $\angle 1$ en $\angle 3$ zijn overstaande hoeken. **Gegeven:** $\angle 1$ en $\angle 2$ zijn nevenhoeken, en ook $\angle 2$ en $\angle 3$. **Te bewijzen:** $m\angle 1 = m\angle 3$.

Schrijf het gegeven op: Bewering: $\angle 1, \angle 2$ en $\angle 2, \angle 3$ zijn nevenhoeken = Reden: gegeven

Nevenhoeken vormen samen een gestrekte hoek: Bewering: $m\angle 1 + m\angle 2 = 180^\circ$ en $m\angle 2 + m\angle 3 = 180^\circ$ = Reden: nevenhoeken zijn supplementair

Beide sommen zijn $180^\circ$, dus ze zijn aan elkaar gelijk: Bewering: $m\angle 1 + m\angle 2 = m\angle 2 + m\angle 3$ = Reden: substitutie

Trek aan beide kanten $m\angle 2$ af: Bewering: $m\angle 1 = m\angle 3$ = Reden: eigenschap van gelijkheid (aftrekken)

Answer: Overstaande hoeken zijn altijd even groot. Vanaf nu mag je dit als reden gebruiken: stelling van de overstaande hoeken.

Mistake: Opschrijven wat je deed in plaats van een reden, bijvoorbeeld "ik heb de 5 naar de andere kant gebracht"

Why: Een reden moet een regel noemen die iedereen accepteert. Een getal "naar de andere kant brengen" is geen regel en verbergt wat er echt gebeurde.

Correct: Noem de eigenschap: van $3x + 5 = 20$ naar $3x = 15$ is de eigenschap van gelijkheid (aftrekken), want aan beide kanten is 5 afgetrokken.

Mistake: Delen kiezen in plaats van vermenigvuldigen bij $\frac{x}{4} = 3$ naar $x = 12$

Why: De stap maakt een deling ongedaan, maar wat je echt doet is beide kanten met 4 vermenigvuldigen.

Correct: Vraag je af wat je met beide kanten deed. $\frac{x}{4} \cdot 4 = 3 \cdot 4$ is de eigenschap van gelijkheid (vermenigvuldigen).

Mistake: De te bewijzen bewering als reden of als bewering 1 gebruiken

Why: De te bewijzen bewering is het doel. Als je haar gebruikt voordat je er bent, draait het bewijs in een cirkel en bewijst het niets.

Correct: Bewering 1 is altijd gegeven informatie. De te bewijzen bewering komt maar één keer voor, als laatste bewering.

Mistake: Twee stappen in één rij doen met één reden

Why: Van $2(x - 4) = 10$ meteen naar $2x = 18$ gebruikt twee verschillende eigenschappen, dus één reden is niet genoeg.

Correct: Eén stap per rij: eerst $2x - 8 = 10$ (distributieve eigenschap), dan $2x = 18$ (eigenschap van gelijkheid, optellen).

Code regel voor regel controleren

Programmeurs tonen aan dat een berekening klopt door elke regel te verantwoorden, net als de rijen van een bewijs in twee kolommen.

Een programma lost $4x - 7 = 21$ op. Een reviewer controleert elke regel: 7 optellen (eigenschap van gelijkheid, optellen), dan door 4 delen (eigenschap van gelijkheid, delen).

Een plankdrager maken

Timmerlieden gebruiken het optellen van hoeken wanneer een schuine steun de rechte hoek tussen muur en plank verdeelt.

De muur en de plank ontmoeten elkaar onder $90^\circ$. Een steun verdeelt die hoek in twee hoeken die samen $90^\circ$ zijn.

Afstanden op een rechte weg

Op een rechte weg volgen de afstanden tussen plaatsen het optellen van lijnstukken, zodat je een ontbrekende afstand kunt bewijzen.

Als plaats $B$ tussen de plaatsen $A$ en $C$ ligt, dan is $AB + BC = AC$.

Q: Is een bewijs in twee kolommen iets anders dan een vergelijking oplossen?

A: De stappen zijn hetzelfde. Het verschil is dat je in een bewijs bij elke stap de reden schrijft, dus je laat niet alleen het antwoord zien maar ook waarom elke stap is toegestaan.

Q: Hoe weet ik welke reden ik moet schrijven?

A: Vergelijk de nieuwe bewering met de vorige en vraag je af wat er veranderd is. Is er aan beide kanten iets opgeteld? Zijn haakjes uitgewerkt? Is een waarde ingevuld in plaats van een andere? De verandering vertelt je de reden.

Q: Wat is het verschil tussen substitutie en de transitieve eigenschap?

A: De transitieve eigenschap werkt met drie gelijke dingen: als $a = b$ en $b = c$, dan $a = c$. Substitutie is algemener: je vervangt een grootheid in elke bewering door een gelijke grootheid, bijvoorbeeld $65^\circ$ in plaats van $m\angle 1$. Veel docenten accepteren allebei als allebei passen.

Q: Kan een bewijs meerdere juiste versies hebben?

A: Ja. Soms kun je de stappen in een andere volgorde zetten of een andere eigenschap gebruiken. Een bewijs is juist zolang elke bewering uit eerdere volgt en elke reden geldig is.