Tuinhuisje: balk met piramidedak

Een tuinhuisje heeft een onderbouw in de vorm van een balk van $4$ m lang, $3$ m breed en $2{,}5$ m hoog. Daarop staat een dak in de vorm van een piramide met hetzelfde rechthoekige grondvlak van $4$ m bij $3$ m en een hoogte van $1{,}5$ m. Wat is de totale inhoud van het tuinhuisje?

Benoem de delen: Balk ($4 \times 3 \times 2{,}5$) + piramide (grondvlak $4 \times 3$, hoogte $1{,}5$) = Twee delen aan elkaar

Inhoud van de balk: $V_1 = 4 \times 3 \times 2{,}5 = 30$ = $30$ m³

Oppervlakte van het grondvlak van de piramide: $B = 4 \times 3 = 12$ = $12$ m²

Inhoud van de piramide: $V_2 = \frac{1}{3} \times 12 \times 1{,}5 = 6$ = $6$ m³

Tel de delen op: $V = 30 + 6 = 36$ = $36$ m³

Answer: Het tuinhuisje heeft een inhoud van $36$ m³.

Geslepen potlood: cilinder met kegel

Een modelpotlood is een cilinder met straal $3$ cm en hoogte $10$ cm. Aan één uiteinde zit een kegel met dezelfde straal van $3$ cm en een hoogte van $4$ cm. Bereken de inhoud. Gebruik $\pi \approx 3{,}14$ en rond af op één decimaal.

Benoem de delen: Cilinder ($r = 3$, $h = 10$) + kegel ($r = 3$, $h = 4$). De totale lengte van $14$ cm komt in GEEN van de formules voor. = Twee delen aan elkaar

Cilinder met $\pi$: $V_1 = \pi \times 3^2 \times 10 = 90\pi$ = $90\pi$ cm³

Kegel met $\pi$: $V_2 = \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 4 = 12\pi$ = $12\pi$ cm³

Tel op en vermenigvuldig één keer met $3{,}14$: $90\pi + 12\pi = 102\pi \approx 102 \times 3{,}14 = 320{,}28$ = $\approx 320{,}3$ cm³

Answer: Het potlood heeft een inhoud van $102\pi \approx 320{,}3$ cm³.

Graansilo: cilinder met halve bol

Een graansilo is een cilinder met straal $2$ m en hoogte $6$ m. Het dak is een halve bol met dezelfde straal van $2$ m. Hoeveel graan past er in de volle silo? Gebruik $\pi \approx 3{,}14$ en rond af op één decimaal.

Benoem de delen: Cilinder ($r = 2$, $h = 6$) + halve bol ($r = 2$) = Twee delen aan elkaar

Cilinder: $V_1 = \pi \times 2^2 \times 6 = 24\pi$ = $24\pi$ m³

Halve bol: de helft van een bol: $V_2 = \frac{2}{3} \times \pi \times 2^3 = \frac{16}{3}\pi$ = $\frac{16}{3}\pi$ m³

Tel op met $\pi$: $24\pi + \frac{16}{3}\pi = \frac{72}{3}\pi + \frac{16}{3}\pi = \frac{88}{3}\pi$ = $\frac{88}{3}\pi$ m³

Gebruik $\pi \approx 3{,}14$ en rond aan het eind af: $\frac{88 \times 3{,}14}{3} = \frac{276{,}32}{3} \approx 92{,}11$ = $\approx 92{,}1$ m³

Answer: In de silo past ongeveer $92{,}1$ m³ graan.

IJshoorntje met een bolletje

Een kegel met hoogte $10$ cm en straal $3$ cm is gevuld met ijs, en daarop ligt een bolletje in de vorm van een halve bol met straal $3$ cm. Hoeveel milliliter ijs is dat? Gebruik $\pi \approx 3{,}14$ en rond af op een geheel getal.

Benoem de delen: Kegel ($r = 3$, $h = 10$) + halve bol ($r = 3$) = Twee delen aan elkaar

Kegel: $V_1 = \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 10 = 30\pi$ = $30\pi$ cm³

Halve bol: $V_2 = \frac{2}{3} \times \pi \times 3^3 = 18\pi$ = $18\pi$ cm³

Tel op en gebruik $3{,}14$: $30\pi + 18\pi = 48\pi \approx 48 \times 3{,}14 = 150{,}72$ = $\approx 150{,}72$ cm³

Reken om naar milliliter: $1$ cm³ $= 1$ mL, dus $150{,}72$ cm³ $= 150{,}72$ mL = $\approx 151$ mL

Answer: Het is ongeveer $151$ mL ijs.

Holle buis: een cilinder aftrekken

Een betonnen buis is $100$ cm lang. De buitenstraal is $5$ cm en het gat in het midden heeft een straal van $4$ cm. Hoeveel beton zit er in de buis? Gebruik $\pi \approx 3{,}14$.

Beschrijf het lichaam: Grote cilinder ($r = 5$, $h = 100$) waar een kleinere cilinder ($r = 4$, $h = 100$) uit is gehaald = Aftrekken

Buitenste cilinder: $V_{\text{buiten}} = \pi \times 5^2 \times 100 = 2500\pi$ = $2500\pi$ cm³

Gat (binnenste cilinder): $V_{\text{gat}} = \pi \times 4^2 \times 100 = 1600\pi$ = $1600\pi$ cm³

Trek af en gebruik $3{,}14$: $2500\pi - 1600\pi = 900\pi \approx 900 \times 3{,}14 = 2826$ = $2826$ cm³

Answer: In de buis zit ongeveer $2826$ cm³ beton, dat is ongeveer $2{,}8$ L.

Mistake: De totale hoogte voor elk deel gebruiken (een potlood van $14$ cm berekend als een cilinder met hoogte $14$ plus een kegel met hoogte $4$)

Why: Elk deel heeft zijn eigen hoogte. De totale hoogte hoort bij het hele voorwerp, niet bij één deel, dus het stuk van de kegel wordt dubbel geteld.

Correct: Verdeel de hoogte: cilinder $h = 10$, kegel $h = 4$. Controleer of de hoogtes van de delen samen de totale hoogte zijn: $10 + 4 = 14$.

Mistake: De formule van een hele bol gebruiken voor een koepel of een bolletje ijs

Why: Een koepel, een bolletje op een hoorntje of het ronde uiteinde van een silo is maar een halve bol. Met $\frac{4}{3}\pi r^3$ verdubbel je dat deel.

Correct: Een halve bol heeft $\frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$. Twee halve bollen (de twee uiteinden van een capsule) vormen samen een hele bol.

Mistake: Bij een buis eerst de stralen aftrekken: $\pi (5 - 4)^2 \times 100 = 100\pi$

Why: De inhoud hangt af van $r^2$, dus je mag de stralen niet aftrekken voordat je kwadrateert. Het verschil van de inhouden is niet de inhoud van het verschil.

Correct: Trek hele inhouden af: $\pi \times 5^2 \times 100 - \pi \times 4^2 \times 100 = \pi (25 - 16) \times 100 = 900\pi$.

Mistake: Elk deel afronden voordat je optelt

Why: Kleine afrondfouten in elk deel tellen op, en het eindantwoord kan in het laatste cijfer fout zijn.

Correct: Laat elk deel met $\pi$ staan (of houd alle decimalen), tel op of trek af en rond één keer aan het eind af op het gevraagde aantal decimalen.

Tanks en capsules

Tanks voor gas, water of melk zijn vaak cilinders met aan elk uiteinde een halve bol, omdat ronde uiteinden beter tegen druk kunnen dan platte. De twee halve bollen vormen samen een hele bol.

Een medicijncapsule met straal $3$ mm en een cilinder van $4$ mm in het midden heeft inhoud $\pi \times 3^2 \times 4 + \frac{4}{3}\pi \times 3^3 = 36\pi + 36\pi = 72\pi \approx 226{,}08$ mm³.

Betonnen plantenbakken

Plantenbakken voor de tuin worden vaak gegoten als een betonblok met een gat voor de aarde. Het beton dat nodig is, is de inhoud van het blok min de inhoud van het gat.

Een blok van $8$ cm bij $8$ cm bij $5$ cm met een cilindervormig gat met straal $1$ cm over de hele hoogte gebruikt $320 - \pi \times 1^2 \times 5 \approx 304{,}3$ cm³ materiaal.

Modelraketten

De romp van een modelraket is een cilinder met een kegelvormige neus. Ontwerpers gebruiken de inhoud om de ruimte binnenin voor onderdelen te plannen en om te schatten hoe zwaar een massief model wordt.

Een raket met straal $4$ cm, een cilinder van $15$ cm en een kegelneus van $6$ cm heeft inhoud $240\pi + 32\pi = 272\pi \approx 854{,}08$ cm³.

Q: Hoe weet ik of ik moet optellen of aftrekken?

A: Vraag je af waaruit het lichaam bestaat. Als twee stukken aan elkaar vastzitten (een kegel op een cilinder), tel je op. Als er iets uit is gesneden of leeg is (een gat, de binnenkant van een buis), trek je het lege deel af van het grotere lichaam.

Q: Er is geen plaatje. Hoe stel ik me de vorm voor?

A: Lees de beschrijving rustig en maak een snelle schets. Schrijf elk deel op met zijn eigen getallen, bijvoorbeeld: cilinder $r = 2$, $h = 6$; halve bol $r = 2$. Zodra de delen op een rij staan, wordt het probleem twee kleine problemen.

Q: Moet ik $\pi \approx 3{,}14$ of de $\pi$-toets gebruiken?

A: Gebruik wat de vraag zegt. Deze les gebruikt $3{,}14$. De $\pi$-toets geeft een iets groter, nauwkeuriger antwoord (bijvoorbeeld $102\pi$ is $320{,}28$ met $3{,}14$ en $320{,}44$ met de toets). Als de vraag zegt dat je het antwoord met $\pi$ moet laten staan, schrijf je zoiets als $102\pi$.

Q: Tel ik het platte vlak mee waar de twee delen elkaar raken?

A: Voor de inhoud niet. Het vlak waar twee delen samenkomen heeft geen dikte, dus het voegt geen inhoud toe. Het telt alleen bij de oppervlakte, en dat is een andere les (Oppervlakte van samengestelde vormen).