En als de kegel scheef staat (een scheve kegel)?

De formule werkt nog steeds, zolang $h$ de loodrechte hoogte is van de top tot het vlak van het grondvlak. Een scheve kegel met hetzelfde grondvlak en dezelfde loodrechte hoogte heeft dezelfde inhoud als een rechte.

Wanneer laat ik het antwoord uitgedrukt in $\pi$ staan?

Als de opgave om een exact antwoord vraagt of zegt "uitgedrukt in $\pi$", schrijf het dan als bijvoorbeeld $48\pi$ cm³. Heb je een getal nodig voor een echte situatie, vermenigvuldig dan met $3{,}14$ (of gebruik de $\pi$-toets) en rond af zoals de opgave vraagt.

Hoe vind ik de hoogte als ik alleen de schuine hoogte ken?

De straal, de hoogte en de schuine hoogte vormen een rechthoekige driehoek met de schuine hoogte als schuine zijde. Dus $h = \sqrt{l^2 - r^2}$. Voor $r = 5$ en $l = 13$: $h = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.

Leermiddelen

Inhoud van kegels

Leer de formule voor de inhoud van een kegel V = (1/3)πr²h, waarom een kegel een derde van een cilinder bevat en hoe je de loodrechte hoogte gebruikt.

Gemiddeld25 minLes

Werkblad om te printen

Definitie

Een kegel is een ruimtefiguur met een plat, cirkelvormig grondvlak dat smaller wordt tot één punt, de top. Denk aan een ijshoorntje, een feesthoedje of een pylon op de weg.

De formule voor de inhoud

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h

Waarbij:

$r$ = straal van het cirkelvormige grondvlak
$h$ = hoogte, de loodrechte afstand van de top recht naar beneden tot het middelpunt van het grondvlak
$\pi r^2$ = de oppervlakte van het grondvlak (in veel Nederlandse boeken $G$ genoemd)

Waarom een derde?

In de les over cilinders heb je

V = \pi r^2 h

geleerd. Neem een cilinder en een kegel met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte. Als je de kegel met water vult en dat in de cilinder giet, heb je precies 3 volle kegels nodig om de cilinder te vullen. De kegel bevat dus een derde van de cilinder:

V_{\text{kegel}} = \frac{1}{3} \times V_{\text{cilinder}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h

Let op: de hoogte

h

is niet de schuine hoogte

l

(de lengte langs de schuine zijkant). De straal, de hoogte en de schuine hoogte vormen een rechthoekige driehoek, dus

l^2 = r^2 + h^2

Probeer het meteen

Met welke formule bereken je de inhoud van een kegel met straal

r

en hoogte

h

Uitgewerkte voorbeelden

Een ijshoorntje heeft een straal van 3 cm en een hoogte van 10 cm. Bereken de inhoud uitgedrukt in $\pi$ , en daarna met $\pi \approx 3{,}14$ , afgerond op tienden.

Schrijf de formule op

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ → Formule klaar

Kwadrateer de straal

$r^2 = 3^2 = 9$ → $r^2 = 9$

Vermenigvuldig met de hoogte en deel door 3

$\frac{1}{3} \times 9 \times 10 = \frac{90}{3} = 30$ → $V = 30\pi$ cm³

Gebruik $\pi \approx 3{,}14$

$30 \times 3{,}14 = 94{,}2$ → $V \approx 94{,}2$ cm³

Antwoord: Het hoorntje bevat precies $30\pi$ cm³, dat is ongeveer $94{,}2$ cm³ ijs (zonder het bolletje erbovenop!).

Veelgemaakte fouten

De $\frac{1}{3}$ vergeten en $V = \pi r^2 h$ gebruiken

Waarom het fout is: Dat is de formule van de cilinder. Een kegel met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte bevat maar een derde daarvan, dus het antwoord wordt 3 keer te groot.

Correct: Schrijf altijd $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ en deel door 3. Voor $r = 3$ , $h = 10$ : $\frac{1}{3}\pi \times 9 \times 10 = 30\pi$ , niet $90\pi$ .

De diameter gebruiken in plaats van de straal

Waarom het fout is: De straal is de helft van de diameter. Als je de diameter kwadrateert, wordt het antwoord 4 keer te groot.

Correct: Staat de diameter in de opgave, halveer die dan eerst: een diameter van 8 cm betekent $r = 4$ cm en $r^2 = 16$ , niet $64$ .

De schuine hoogte als hoogte gebruiken

Waarom het fout is: De schuine hoogte loopt langs de schuine zijkant en is daarom altijd langer dan de loodrechte hoogte. Daarmee wordt de inhoud te groot.

Correct: De hoogte loopt recht van de top naar het middelpunt van het grondvlak. Ken je alleen de schuine hoogte $l$ , bereken $h$ dan met $h^2 = l^2 - r^2$ .

Het antwoord in vierkante eenheden geven, zoals cm²

Waarom het fout is: Inhoud is driedimensionaal: $r \times r \times h$ vermenigvuldigt drie lengtes.

Correct: Inhoud staat altijd in kubieke eenheden: cm³, m³, in³. Onthoud dat $1$ cm³ $= 1$ mL.

Interactieve visualisatie

3D Vormen viewer

Kies vorm

Rotatie X (20°)

Rotatie Y (30°)

Straal (3)

Hoogte (10)

Vlakken

Ribben

Hoekpunten

Volume

V = ⅓πr²h

V = ⅓π · 3² · 10 = 30π ≈ 94,25

94,25 cm³

Oppervlakte

SA = πr² + πrl

SA = π · 3² + π · 3 · 10,44 ≈ 126,67

126,67 cm²

l = √(3² + 10²) ≈ 10,44

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Met welke formule bereken je de inhoud van een kegel met straal $r$ en hoogte $h$ ?

Waarom het belangrijk is

Kegels zijn overal om je heen, en hun inhoud beantwoordt echte vragen:

Eten: hoeveel ijs past er in een hoorntje? Hoeveel popcorn kan er in een papieren puntzak?
Keuken en garage: hoeveel vloeistof staat er in een trechter voordat die wegloopt?
Bouw: hoeveel kubieke meter zand, grind of strooizout ligt er in een kegelvormige hoop?
Industrie: graansilo's en stortbakken hebben vaak een kegelvormige bodem, dus ingenieurs hebben de inhoud van een kegel nodig om hun capaciteit te kennen.
Natuur: vulkanen en mierenhopen zijn ongeveer kegelvormig, daarom schatten wetenschappers hun inhoud met deze formule.

De regel van een derde komt terug in de les over piramides. Als je hem hier leert, krijg je twee formules voor de prijs van één!

Toepassingen in de echte wereld

In de ijssalon

IJssalons kiezen de maat en prijs van hun hoorntjes op basis van hoeveel ijs erin past.

Voorbeeld:

Een klein hoorntje met straal 2 cm en hoogte 9 cm bevat $\frac{1}{3}\pi \times 4 \times 9 = 12\pi \approx 37{,}68$ cm³.

1Probeer het zelf

Een groot ijshoorntje heeft een straal van 3 cm en een hoogte van 12 cm. De ijssalon vult het tot aan de rand.

Hoeveel kubieke centimeter ijs past erin? Gebruik 3,14 voor $\pi$ .

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $\frac{1}{3} \times 3{,}14 \times 3^2 \times 12$ :

Papieren bekertjes bij de waterkoeler

Veel waterkoelers op kantoor gebruiken kegelvormige papieren bekertjes. Ze zijn goedkoop te maken en makkelijk te stapelen.

Voorbeeld:

Een kegelvormig papieren bekertje met straal 3 cm en hoogte 10 cm bevat $30\pi \approx 94{,}2$ cm³, dat is ongeveer $94$ mL water.

2Probeer het zelf

Een kegelvormig papieren bekertje heeft een straal van 4 cm en een hoogte van 9 cm.

Hoeveel milliliter water kan erin? Gebruik 3,14 voor $\pi$ (1 cm³ = 1 mL).

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $\frac{1}{3} \times 3{,}14 \times 4^2 \times 9$ :

Hopen zand en strooizout

Als zand, grind of strooizout van bovenaf wordt gestort, ontstaat er een kegel. Bouwvakkers en wegendiensten schatten met de kegelformule hoeveel materiaal er in een hoop ligt.

Voorbeeld:

Een zandhoop met straal 3 m en hoogte 2 m bevat $6\pi \approx 18{,}84$ m³ zand.

3Probeer het zelf

Een hoop strooizout voor de winter vormt een kegel met een diameter van 10 m en een hoogte van 3 m.

Hoeveel kubieke meter zout ligt er in de hoop? Gebruik 3,14 voor $\pi$ .

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Halveer de diameter en bereken dan $\frac{1}{3} \times 3{,}14 \times r^2 \times 3$ :

Belangrijke punten

1De inhoud van een kegel is $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ , een derde van grondvlak maal hoogte
2Een kegel bevat precies een derde van een cilinder met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte
3Gebruik de straal, niet de diameter: halveer de diameter voordat je kwadrateert
4De hoogte $h$ is de loodrechte hoogte, niet de schuine hoogte; ken je de schuine hoogte $l$ , gebruik dan $h^2 = l^2 - r^2$
5Geef exacte antwoorden uitgedrukt in $\pi$ (zoals $30\pi$ cm³) of benaderingen met $\pi \approx 3{,}14$ , afgerond zoals de opgave vraagt
6Voor een ontbrekende hoogte gebruik je $h = \frac{3V}{\pi r^2}$ ; voor een ontbrekende straal gebruik je $r^2 = \frac{3V}{\pi h}$ en neem je de wortel

Veelgestelde vragen

Een kegel wordt naar boven steeds smaller, dus het grootste deel van de inhoud zit dicht bij het grondvlak. Je kunt het testen met water of rijst: drie volle kegels vullen een cilinder met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte. Later, bij integraalrekening, kun je bewijzen dat de factor precies

\frac{1}{3}

is. Piramides volgen dezelfde regel van een derde.

Woordenlijst

Kegel: Een ruimtefiguur met een cirkelvormig grondvlak en een gebogen zijvlak dat samenkomt in één punt, de top
Top: Het puntige uiteinde van een kegel
Straal: De afstand van het middelpunt van het cirkelvormige grondvlak tot de rand, de helft van de diameter
Hoogte (loodrechte hoogte): De rechte afstand van de top tot het middelpunt van het grondvlak, loodrecht op het grondvlak
Schuine hoogte: De afstand van de top tot de rand van het grondvlak langs de schuine zijkant; $l^2 = r^2 + h^2$
Uitgedrukt in $\pi$: Een exact antwoord waarin het symbool $\pi$ blijft staan, zoals $30\pi$ cm³, in plaats van een afgerond decimaal getal

Formulekaart

Inhoud van kegels

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h

Een derde van de oppervlakte van het grondvlak ($\pi r^2$) maal de loodrechte hoogte

Kegel en cilinder

V_{\text{kegel}} = \frac{1}{3} V_{\text{cilinder}}

Hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte: drie kegels vullen één cilinder

Ontbrekende hoogte

h = \frac{3V}{\pi r^2}

Vermenigvuldig de inhoud met 3 en deel door de oppervlakte van het grondvlak

Hoogte uit de schuine hoogte

h = \sqrt{l^2 - r^2}

Stelling van Pythagoras in de rechthoekige driehoek met $r$, $h$ en $l$

Meer over dit onderwerp

Definitie

De formule voor de inhoud

Waarom een derde?

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

3D Vormen viewer

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

In de ijssalon

Papieren bekertjes bij de waterkoeler

Hopen zand en strooizout

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Inhoud van kegels

Kegel en cilinder

Ontbrekende hoogte

Hoogte uit de schuine hoogte

Meer over dit onderwerp

Introductie tot volume

Metrische volume-eenheden (mL, L)

Inhoud van balken

Imperiale inhoudsmaten (cup, pint, gallon)