Inhoud vanuit de straal

Een cilinder heeft een straal van $3$ cm en een hoogte van $10$ cm. Bereken de inhoud uitgedrukt in $\pi$ en daarna met $\pi \approx 3{,}14$.

Schrijf de formule op: $V = \pi r^2 h$ = Formule klaar

Kwadrateer de straal: $r^2 = 3^2 = 9$ = $r^2 = 9$

Vermenigvuldig met de hoogte: $V = \pi \times 9 \times 10 = 90\pi$ = $V = 90\pi$ cm³ (exact)

Gebruik $\pi \approx 3{,}14$: $90 \times 3{,}14 = 282{,}6$ = $V \approx 282{,}6$ cm³

Answer: $V = 90\pi$ cm³, dat is ongeveer $282{,}6$ cm³

Let op: de diameter is gegeven

Een blik heeft een diameter van $8$ cm en een hoogte van $12$ cm. Bereken de inhoud met $\pi \approx 3{,}14$, afgerond op hele cm³.

Bepaal de straal uit de diameter: $r = 8 \div 2 = 4$ = $r = 4$ cm

Kwadrateer de straal: $4^2 = 16$ = $r^2 = 16$

Vermenigvuldig met de hoogte: $16 \times 12 = 192$ = $V = 192\pi$ cm³

Vermenigvuldig met $3{,}14$ en rond af: $192 \times 3{,}14 = 602{,}88 \approx 603$ = $V \approx 603$ cm³

Answer: Het blik bevat ongeveer $603$ cm³, dus ongeveer $603$ mL

Hoeveel liter past er in een watertank?

Een cilindervormige watertank heeft een straal van $50$ cm en een hoogte van $120$ cm. Hoeveel liter past erin? Gebruik $\pi \approx 3{,}14$.

Kwadrateer de straal: $50^2 = 2500$ = $r^2 = 2500$

Vermenigvuldig met de hoogte: $2500 \times 120 = 300000$ = $V = 300000\pi$ cm³

Gebruik $\pi \approx 3{,}14$: $300000 \times 3{,}14 = 942000$ = $V \approx 942000$ cm³

Reken om naar liters ($1000$ cm³ $= 1$ L): $942000 \div 1000 = 942$ = $942$ L

Answer: Er past ongeveer $942$ liter in de tank

De hoogte berekenen

Een cilinder heeft een inhoud van $471$ cm³ en een straal van $5$ cm. Hoe hoog is hij? Gebruik $\pi \approx 3{,}14$.

Bereken de oppervlakte van het grondvlak: $B = 3{,}14 \times 5^2 = 3{,}14 \times 25 = 78{,}5$ = $B = 78{,}5$ cm²

Gebruik $V = B \times h$: $471 = 78{,}5 \times h$ = Vergelijking opgesteld

Deel de inhoud door het grondvlak: $h = 471 \div 78{,}5 = 6$ = $h = 6$ cm

Controleer: $78{,}5 \times 6 = 471$ = Klopt

Answer: De hoogte is $6$ cm

De straal berekenen

Een cilinder is $20$ cm hoog en heeft een inhoud van $1004{,}8$ cm³. Wat is de straal? Gebruik $\pi \approx 3{,}14$.

Vul de bekende waarden in de formule in: $1004{,}8 = 3{,}14 \times r^2 \times 20$ = Vergelijking opgesteld

Vermenigvuldig $\pi$ met de hoogte: $3{,}14 \times 20 = 62{,}8$ = $1004{,}8 = 62{,}8 \times r^2$

Deel om $r^2$ te vinden: $r^2 = 1004{,}8 \div 62{,}8 = 16$ = $r^2 = 16$

Neem de wortel: $r = \sqrt{16} = 4$ = $r = 4$ cm

Answer: De straal is $4$ cm (de diameter is dus $8$ cm)

Mistake: De diameter gebruiken in plaats van de straal

Why: De formule kwadrateert de straal. Kwadrateer je de diameter, dan is het antwoord 4 keer te groot. Voor $d = 10$ cm en $h = 5$ cm is $\pi \times 10^2 \times 5 = 500\pi$ fout.

Correct: Deel eerst de diameter door twee: $r = 5$, dus $V = \pi \times 5^2 \times 5 = 125\pi$ cm³.

Mistake: De straal verdubbelen in plaats van kwadrateren

Why: $r^2$ betekent $r \times r$, niet $r \times 2$. Voor $r = 3$ is $3^2 = 9$, niet $6$.

Correct: Vermenigvuldig de straal altijd met zichzelf: $r^2 = 3 \times 3 = 9$.

Mistake: Bij het omrekenen naar liters door 100 delen in plaats van door 1000

Why: Een liter is een kubus met ribben van $10$ cm, dus er past $10 \times 10 \times 10 = 1000$ cm³ in, niet $100$.

Correct: $942000$ cm³ $\div 1000 = 942$ L. Onthoud: $1$ cm³ $= 1$ mL.

Mistake: Te vroeg afronden

Why: Als je het grondvlak afrondt voordat je met de hoogte vermenigvuldigt, wordt de fout groter. Voor $r = 2{,}5$ cm en $h = 10$ cm geeft het afronden van $B = 19{,}625$ naar $20$ een inhoud van $200$ cm³.

Correct: Houd alle cijfers tot het einde: $19{,}625 \times 10 = 196{,}25$ cm³, en rond alleen het eindantwoord af.

Drinkblikjes

Frisdrankmerken ontwerpen blikjes zo dat er een vaste hoeveelheid in past, zoals 330 mL. De inhoudsformule vertelt hoe hoog en hoe breed het blikje moet zijn.

Een blikje met straal $3{,}3$ cm en hoogte $10$ cm bevat ongeveer $3{,}14 \times 3{,}3^2 \times 10 \approx 342$ cm³, genoeg voor $330$ mL plus wat lucht.

Regentonnen

In de tuin wordt regenwater vaak opgevangen in cilindervormige tonnen. De inhoud vertelt hoeveel liter je kunt bewaren voor droge weken.

Een ton met straal $25$ cm en hoogte $80$ cm bevat $3{,}14 \times 625 \times 80 = 157000$ cm³, dat is $157$ L.

Opblaasbadjes

Voordat je een rond opblaasbadje vult, is het handig om te weten hoeveel water je nodig hebt. De hoogte is hier de diepte van het water, niet de hoogte van de rand.

Een badje met straal $1{,}5$ m, gevuld tot $0{,}2$ m, bevat $3{,}14 \times 2{,}25 \times 0{,}2 = 1{,}413$ m³, dat is $1413$ L.

Q: Waarom staat er $\pi r^2$ in de formule?

A: Omdat $\pi r^2$ de oppervlakte van het cirkelvormige grondvlak is. De inhoud van elke figuur die op een prisma lijkt is grondvlak keer hoogte, en een cilinder is als een prisma met een cirkel als grondvlak.

Q: Wanneer laat ik het antwoord uitgedrukt in $\pi$ staan?

A: Als de opgave een exact antwoord vraagt of zegt dat je het antwoord in $\pi$ moet geven. Anders reken je met $\pi \approx 3{,}14$ (of de $\pi$-toets van je rekenmachine) en rond je af zoals gevraagd.

Q: En als de cilinder op zijn kant ligt?

A: Dan verandert er niets. De hoogte is altijd de afstand tussen de twee cirkelvormige grondvlakken, dus bij een liggende buis of deegroller is de hoogte de lengte.

Q: Wat gebeurt er met de inhoud als ik de straal verdubbel?

A: De inhoud wordt 4 keer zo groot, omdat de straal gekwadrateerd wordt: $(2r)^2 = 4r^2$. Verdubbel je alleen de hoogte, dan verdubbelt de inhoud.