Inhoud van een bal

Een bal heeft een straal van $3$ cm. Bereken de inhoud uitgedrukt in $\pi$, en daarna met $\pi \approx 3{,}14$, afgerond op honderdsten.

Schrijf de formule op: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ = Formule klaar

Neem de straal tot de derde macht: $r^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$ = $r^3 = 27$

Vermenigvuldig met $\frac{4}{3}$: $\frac{4}{3} \times 27 = \frac{108}{3} = 36$ = $V = 36\pi$ cm³

Vervang $\pi$ door $3{,}14$: $36 \times 3{,}14 = 113{,}04$ = $V \approx 113{,}04$ cm³

Answer: De inhoud is $36\pi$ cm³, dat is ongeveer $113{,}04$ cm³.

Beginnen bij de diameter

Een wereldbol heeft een diameter van $12$ cm. Bereken de inhoud uitgedrukt in $\pi$, en daarna met $\pi \approx 3{,}14$, afgerond op honderdsten.

Bepaal de straal (de helft van de diameter): $r = 12 \div 2 = 6$ = $r = 6$ cm

Neem de straal tot de derde macht: $6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216$ = $r^3 = 216$

Vermenigvuldig met $\frac{4}{3}$: $216 \div 3 = 72$, daarna $72 \times 4 = 288$ = $V = 288\pi$ cm³

Vervang $\pi$ door $3{,}14$: $288 \times 3{,}14 = 904{,}32$ = $V \approx 904{,}32$ cm³

Answer: De wereldbol heeft een inhoud van $288\pi$ cm³, ongeveer $904{,}32$ cm³. Als je $12$ als straal gebruikt, krijg je een inhoud die $8$ keer te groot is!

Inhoud van een halve bol

Een kom heeft de vorm van een halve bol met een binnenstraal van $6$ cm. Hoeveel soep past erin? Reken met $\pi \approx 3{,}14$ en rond af op honderdsten.

Schrijf de formule voor de halve bol op (de helft van een bol): $V = \frac{2}{3}\pi r^3$ = Formule klaar

Neem de straal tot de derde macht: $6^3 = 216$ = $r^3 = 216$

Vermenigvuldig met $\frac{2}{3}$: $216 \div 3 = 72$, daarna $72 \times 2 = 144$ = $V = 144\pi$ cm³

Vervang $\pi$ door $3{,}14$ en reken om naar mL ($1$ cm³ $= 1$ mL): $144 \times 3{,}14 = 452{,}16$ = $V \approx 452{,}16$ cm³ $\approx 452$ mL

Answer: In de kom past $144\pi$ cm³, ongeveer $452{,}16$ cm³, dus zo'n $452$ mL soep. Controle: dat is precies de helft van de wereldbol uit voorbeeld 2 ($288\pi \div 2 = 144\pi$).

De straal vinden uit de inhoud

Een bol heeft een inhoud van $4500\pi$ cm³. Hoe groot is de straal?

Stel de formule gelijk aan de inhoud: $\frac{4}{3}\pi r^3 = 4500\pi$ = Vergelijking klaar

Deel beide kanten door $\pi$: $\frac{4}{3} r^3 = 4500$ = $\pi$ is weg

Vermenigvuldig beide kanten met $\frac{3}{4}$: $r^3 = 4500 \times \frac{3}{4} = 3375$ = $r^3 = 3375$

Neem de derdemachtswortel (welk getal drie keer met zichzelf vermenigvuldigd geeft $3375$?): $15 \times 15 \times 15 = 3375$ = $r = 15$ cm

Answer: De straal is $15$ cm. Controle: $\frac{4}{3} \times 15^3 = \frac{4}{3} \times 3375 = 4500$, dus $V = 4500\pi$ cm³.

Archimedes: een bol in een cilinder

Een bal met straal $3$ cm past precies in een blik: het blik heeft straal $3$ cm en hoogte $6$ cm. Welk deel van het blik vult de bal?

Inhoud van het blik (cilinder): $V = \pi r^2 h$: $\pi \times 3^2 \times 6 = \pi \times 9 \times 6$ = $V_{\text{blik}} = 54\pi$ cm³

Inhoud van de bal: $\frac{4}{3} \times 27 = 36$ = $V_{\text{bal}} = 36\pi$ cm³

Vergelijk de twee inhouden: $\frac{36\pi}{54\pi} = \frac{36}{54} = \frac{2}{3}$ = De bal vult $\frac{2}{3}$ van het blik

Answer: De bal vult $\frac{2}{3}$ van het blik en $\frac{1}{3}$ (hier $18\pi$ cm³) blijft leeg. Dit geldt voor elke bol in de cilinder die er precies omheen past: de ontdekking van Archimedes.

Mistake: De diameter gebruiken in plaats van de straal

Why: De formule heeft de straal nodig. Een bol met een diameter van $10$ cm heeft een straal van $5$ cm. Met $10$ wordt $r^3$ gelijk aan $1000$ in plaats van $125$, dus het antwoord is $8$ keer te groot.

Correct: Halveer altijd eerst de diameter: $r = \frac{d}{2}$. Neem daarna $r$ tot de derde macht.

Mistake: De straal kwadrateren in plaats van tot de derde macht nemen

Why: De oppervlakte van een cirkel gebruikt $r^2$, dus je schrijft makkelijk uit gewoonte $r^2$. Maar inhoud is driedimensionaal en heeft drie factoren $r$ nodig.

Correct: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, dus voor $r = 3$: $r^3 = 27$, niet $9$. De eenheid is cm³, niet cm².

Mistake: Bij een halve bol de straal halveren in plaats van de inhoud

Why: Een halve bol heeft dezelfde straal als de hele bol. Alleen de inhoud wordt gehalveerd. Als je de straal halveert, wordt de inhoud $8$ keer kleiner, niet $2$ keer.

Correct: Halve bol: houd $r$ en gebruik $V = \frac{2}{3}\pi r^3$ (de helft van $\frac{4}{3}\pi r^3$).

Mistake: Door $3$ delen in plaats van de derdemachtswortel nemen om $r$ te vinden

Why: Als je bij $r^3 = 216$ uitkomt, is de straal niet $216 \div 3 = 72$. $r^3$ betekent $r \times r \times r$, dus je zoekt het getal dat drie keer met zichzelf vermenigvuldigd $216$ geeft.

Correct: $r = \sqrt[3]{216} = 6$, want $6 \times 6 \times 6 = 216$. Leer de derdemachten $1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000$.

Sportballen

Ballenmakers gebruiken de formule van de bol om te weten hoeveel lucht een bal bevat en hoeveel materiaal er binnenin nodig is.

Een tennisbal heeft een diameter van ongeveer $6{,}6$ cm, dus $r = 3{,}3$ cm. De inhoud is ongeveer $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 3{,}3^3 \approx 150$ cm³.

Planeten en de ruimte

Planeten zijn bijna perfecte bollen. Omdat de straal tot de derde macht staat, heeft een planeet met een grotere straal een veel, veel grotere inhoud.

De straal van de aarde is ongeveer $6371$ km, dus de inhoud is ongeveer $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 6371^3 \approx 1{,}08 \times 10^{12}$ km³ (meer dan duizend miljard kubieke kilometer).

IJsbolletjes en zeepbellen

Een ijsschep maakt bolletjes die allemaal even groot zijn, en een zeepbel is een dun vliesje rond een bol lucht. Allebei zijn het inhouden van bollen.

Een zeepbel met straal $5$ cm bevat ongeveer $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 125 \approx 523{,}33$ cm³ lucht, ongeveer een halve liter.

Q: Waar komt de $\frac{4}{3}$ vandaan?

A: Uit de ontdekking van Archimedes. De cilinder die precies om een bol past, heeft straal $r$ en hoogte $2r$, dus zijn inhoud is $\pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$. De bol vult daar $\frac{2}{3}$ van: $\frac{2}{3} \times 2\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Q: Moet ik het antwoord in $\pi$ laten staan of met $3{,}14$ rekenen?

A: Doe wat de opgave vraagt. Een antwoord als $36\pi$ cm³ is exact. Met $3{,}14$ krijg je een benadering als decimaal getal ($113{,}04$ cm³). Met de $\pi$-toets van je rekenmachine is de uitkomst iets anders ($113{,}10$ cm³), dus zeg altijd welke waarde van $\pi$ je gebruikt en hoe je hebt afgerond.

Q: Hoe vind ik de straal als ik de inhoud ken?

A: Draai de formule stap voor stap terug: deel de inhoud door $\pi$, vermenigvuldig met $\frac{3}{4}$ om $r^3$ te krijgen en neem dan de derdemachtswortel. Voor $V = 288\pi$: $288 \times \frac{3}{4} = 216$ en $\sqrt[3]{216} = 6$, dus $r = 6$.

Q: Als ik de straal verdubbel, verdubbelt de inhoud dan ook?

A: Nee, die wordt $8$ keer zo groot, omdat $2^3 = 8$. Als je de straal verdrievoudigt, wordt de inhoud $27$ keer zo groot ($3^3 = 27$). Daarom past er in een strandbal zoveel meer lucht dan in een tennisbal.