Een rest bepalen

Bereken $47 \bmod 6$.

Zoek het grootste veelvoud van 6 dat niet groter is dan 47: $6 \times 7 = 42$, terwijl $6 \times 8 = 48$ al te groot is = $42$

Schrijf 47 als quotiënt keer 6 plus rest: $47 = 7 \times 6 + 5$ = rest $5$

Controleer dat de rest tussen 0 en 5 ligt: $0 \leq 5 \leq 5$, dus het is een geldige rest = $47 \bmod 6 = 5$

Answer: $47 \bmod 6 = 5$, dus $47 \equiv 5 \pmod{6}$. Het quotiënt $7$ hoort niet bij het antwoord.

100 uur op een klok

Het is 9 uur. Waar wijst de uurwijzer over 100 uur?

Haal de volle rondes weg: één ronde van de klok is 12 uur: $100 = 8 \times 12 + 4$, en 8 volle rondes veranderen niets = $100 \bmod 12 = 4$

Tel de overgebleven uren op bij de start: $9 + 4 = 13$ = $13$

Herleid opnieuw, want op de wijzerplaat staat geen 13: $13 = 1 \times 12 + 1$ = $13 \bmod 12 = 1$

Answer: De wijzer wijst naar 1. In één regel: $9 + 100 = 109 = 9 \times 12 + 1$, dus $109 \equiv 1 \pmod{12}$.

Eerst herleiden, dan vermenigvuldigen

Bereken $(38 \times 27) \bmod 5$ zonder de grote getallen te vermenigvuldigen.

Herleid elke factor modulo 5: $38 = 7 \times 5 + 3$ en $27 = 5 \times 5 + 2$ = $38 \equiv 3$ en $27 \equiv 2 \pmod{5}$

Vermenigvuldig de resten: $3 \times 2 = 6$ = $6$

Herleid het product: $6 = 1 \times 5 + 1$ = $1$

Controleer met het volledige product: $38 \times 27 = 1026 = 205 \times 5 + 1$ = dezelfde rest $1$

Answer: $(38 \times 27) \bmod 5 = 1$. Door eerst te herleiden was $3 \times 2$ genoeg.

Terug in de kalender

Vandaag is het woensdag. Welke dag van de week was het 30 dagen geleden? Nummer de dagen maandag $= 0$, dinsdag $= 1$ enzovoort tot zondag $= 6$.

Geef vandaag zijn nummer: maandag $= 0$, dinsdag $= 1$, woensdag $= 2$ = $2$

Terug in de tijd betekent aftrekken: $2 - 30 = -28$ = $-28$

Bepaal de rest 0 tot en met 6 van het negatieve getal: $-28 = (-4) \times 7 + 0$ = $-28 \bmod 7 = 0$

Zet het nummer weer om in een dag: Dag $0$ is maandag = maandag

Answer: 30 dagen geleden was het maandag. Controle: 28 dagen geleden was het woensdag (precies 4 weken), en nog twee dagen terug is maandag.

Het laatste cijfer van een enorme macht

Wat is het laatste cijfer van $3^{100}$?

Het laatste cijfer is de rest modulo 10. Schrijf de eerste machten op: $3^1 = 3$, $3^2 = 9$, $3^3 = 27$, $3^4 = 81$ = laatste cijfers $3, 9, 7, 1$

Ontdek de cyclus: $3^5 = 243$ eindigt weer op 3, want het volgende laatste cijfer hangt alleen af van het vorige = cycluslengte $4$

Zoek waar de exponent 100 in de cyclus valt: $100 = 25 \times 4 + 0$ = $100 \bmod 4 = 0$

Rest 0 betekent de laatste plek van de cyclus: $3^{100} = (3^4)^{25} \equiv 1^{25} = 1 \pmod{10}$ = laatste cijfer $1$

Answer: $3^{100}$ eindigt op $1$, ook al heeft het getal 48 cijfers.

Mistake: $-3 \bmod 12 = -3$ (of $3$) schrijven

Why: Een rest moet een van de getallen $0, 1, \ldots, n - 1$ zijn. Als je vanaf 12 uur 3 uur teruggaat, kom je niet op een negatief getal uit en ook niet op 3.

Correct: Tel de modulus erbij op tot het getal in het bereik ligt: $-3 + 12 = 9$, dus $-3 \bmod 12 = 9$.

Mistake: Zeggen dat 9 uur plus 4 uur op een 12-uursklok 13 uur is

Why: De som $9 + 4 = 13$ klopt, maar de laatste herleiding ontbreekt. Elke uitkomst moet nog een keer herleid worden.

Correct: $13 \bmod 12 = 1$: de klok wijst 1 aan.

Mistake: Het quotiënt geven in plaats van de rest: $47 \bmod 6 = 7$

Why: $47 : 6 = 7$ rest $5$. De bewerking mod houdt alleen bij wat overblijft, niet hoe vaak 6 in 47 past.

Correct: $47 \bmod 6 = 5$, want $47 = 7 \times 6 + 5$.

Mistake: De exponent herleiden met de modulus: $2^9 \bmod 7$ wordt $2^2 = 4$ omdat $9 \bmod 7 = 2$

Why: Het grondtal mag je modulo $n$ herleiden, de exponent niet. De exponent volgt de lengte van de cyclus van machten, en die is hier 3, niet 7.

Correct: Machten van 2 modulo 7 zijn $2, 4, 1, 2, 4, 1, \ldots$ (cycluslengte 3). $9 \bmod 3 = 0$, dus $2^9 \equiv 1 \pmod{7}$. Controle: $512 = 73 \times 7 + 1$.

Kalenders: welke dag wordt het?

Een week heeft 7 dagen, dus de weekdagen herhalen zich modulo 7. Agenda-apps, dienstregelingen en verjaardagspuzzels gebruiken dat voortdurend.

Een gewoon jaar heeft $365$ dagen en $365 = 52 \times 7 + 1$. Een verjaardag die dit jaar op maandag valt, valt volgend jaar dus op dinsdag (tenzij er een 29 februari tussen zit).

Streepjescodes en controlecijfers

Het laatste cijfer van elke EAN-13-streepjescode is een controlecijfer, gekozen met rekenen modulo 10. De scanner rekent het opnieuw uit en weigert een code met een verkeerd gelezen cijfer.

Voor de boekcode $978030640615$ is de gewogen som (gewichten $1, 3, 1, 3, \ldots$) gelijk aan $93$, en $93 \bmod 10 = 3$. Het controlecijfer is $10 - 3 = 7$, dus de volledige code is $9780306406157$.

Ploegendienst en de 24-uursklok

Dienstregelingen van treinen, diensten in het ziekenhuis en vluchtschema's gebruiken de 24-uursklok, en dat is rekenen modulo 24.

Een nachtdienst begint om 22:00 uur en duurt 9 uur: $22 + 9 = 31$ en $31 \bmod 24 = 7$, dus hij eindigt om 07:00 uur.

Q: Is $a \bmod n$ dezelfde rest die mijn rekenmachine of computer laat zien?

A: Voor positieve getallen wel. Voor negatieve getallen geven veel programmeertalen een negatieve uitkomst, bijvoorbeeld $-3$ voor $-3$ gedeeld door $12$. In de wiskunde ligt de rest altijd tussen $0$ en $n - 1$, dus $-3 \bmod 12 = 9$. De rekenmachine op deze pagina werkt zo: mod(-3, 12) geeft 9.

Q: Wat betekent het teken $\equiv$?

A: Je leest het als ‘is congruent met’. $17 \equiv 5 \pmod{12}$ zegt dat 17 en 5 bij deling door 12 dezelfde rest geven (allebei 5). Het is zwakker dan $=$: congruente getallen kunnen verschillende getallen zijn die op dezelfde plek van de wijzerplaat uitkomen.

Q: Waarom mag ik de getallen eerst herleiden?

A: Schrijf $a = pn + r$ en $b = qn + s$. Dan is $a + b = (p + q)n + (r + s)$ en $a \times b = (pqn + ps + qr)n + rs$. De delen met $n$ zijn veelvouden van $n$ en laten geen rest over, dus alleen $r + s$ en $r \times s$ bepalen de uitkomst.

Q: Waar wordt modulair rekenen buiten school gebruikt?

A: Bij controlecijfers (streepjescodes, ISBN, de IBAN van een bankrekening, die modulo 97 gecontroleerd wordt), in de informatica (hashtabellen, generatoren van willekeurige getallen) en in de cryptografie: de RSA-methode die internetbankieren beveiligt, rekent met enorme getallen modulo een product van twee priemgetallen.