Groei of afname?

Bepaal voor elke functie of het om groei of afname gaat en bereken de procentuele verandering per periode: $f(t) = 300 \cdot 0{,}92^t$ en $g(t) = 50 \cdot 1{,}03^t$.

Kijk naar het grondtal van $f$: $b = 0{,}92$ en $0 < 0{,}92 < 1$ = $f$ is afname

Bereken het afnamepercentage van $f$: $r = 1 - b = 1 - 0{,}92 = 0{,}08$ = $f$ verliest $8\%$ per periode

Kijk naar het grondtal van $g$: $b = 1{,}03 > 1$, dus $r = 1{,}03 - 1 = 0{,}03$ = $g$ groeit $3\%$ per periode

Lees de beginwaarden af: $f(0) = 300 \cdot 0{,}92^0 = 300$ en $g(0) = 50$ = Beginwaarden $300$ en $50$

Answer: $f$ is exponentiële **afname** van $8\%$ per periode (begint bij $300$); $g$ is exponentiële **groei** van $3\%$ per periode (begint bij $50$).

Waardeverlies van een auto

Een nieuwe auto kost 25000 € en verliest elk jaar $15\%$ van zijn waarde. Hoeveel is hij na 4 jaar waard? Rond af op hele centen.

Waarden bepalen: $a = 25000$, $r = 0{,}15$, $t = 4$ = Waarden bepaald

Groeifactor berekenen: $1 - r = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$ = $b = 0{,}85$

Formule opschrijven: $V(4) = 25000 \cdot 0{,}85^4$ = Formule opgesteld

Macht berekenen: $0{,}85^4 = 0{,}52200625$ = Er blijft ongeveer $52{,}2\%$ van de waarde over

Vermenigvuldigen en afronden: $25000 \cdot 0{,}52200625 = 13050{,}15625 \approx 13050{,}16$ = 13050,16 €

Answer: Na 4 jaar is de auto ongeveer **13050,16 €** waard, iets meer dan de helft van de prijs.

Medicijn in het lichaam

Een patiënt neemt een dosis van 400 mg van een medicijn. Elk uur breekt het lichaam $20\%$ af van het medicijn dat nog aanwezig is. Hoeveel is er na 5 uur nog over, en welk percentage van de dosis is dat? Rond af op één decimaal.

Groeifactor berekenen: $1 - 0{,}20 = 0{,}8$ = $b = 0{,}8$

Model opschrijven: $M(t) = 400 \cdot 0{,}8^t$ = Model opgesteld

Macht berekenen: $0{,}8^5 = 0{,}32768$ = Er blijft $0{,}32768$ van de dosis over

Hoeveelheid berekenen: $400 \cdot 0{,}32768 = 131{,}072 \approx 131{,}1$ = $131{,}1$ mg

Factor omzetten in een percentage: $0{,}32768 \times 100\% = 32{,}768\% \approx 32{,}8\%$ = Er blijft $32{,}8\%$ over

Answer: Na 5 uur is er nog ongeveer **131,1 mg** over, dat is ongeveer **32,8%** van de dosis.

Afkoelende koffie (eenvoudig model)

Een kop koffie is $90°C$ in een kamer van $20°C$. In een eenvoudig model wordt het verschil tussen de koffie en de kamer elke minuut $10\%$ kleiner. Hoe warm is de koffie na 5 minuten? Rond af op één decimaal.

Beginverschil bepalen: $90 - 20 = 70$ = $D_0 = 70$ graden

Het verschil modelleren: $D(t) = 70 \cdot 0{,}9^t$ = Groeifactor $0{,}9$

Macht berekenen: $0{,}9^5 = 0{,}59049$ = $0{,}59049$

Verschil na 5 minuten berekenen: $70 \cdot 0{,}59049 = 41{,}3343$ = $D(5) \approx 41{,}33$ graden

Kamertemperatuur weer optellen: $20 + 41{,}3343 = 61{,}3343 \approx 61{,}3$ = $61{,}3°C$

Answer: Na 5 minuten is de koffie ongeveer **61,3°C**. Alleen het verschil met de kamer neemt exponentieel af, dus de koffie nadert $20°C$ maar komt er nooit onder.

Lineaire en exponentiële afname vergeleken

Een telefoon kost 800 €. Model A: hij verliest 100 € per jaar. Model B: hij verliest $20\%$ per jaar. Vergelijk de waarden na 3, 6 en 8 jaar (afgerond op hele centen).

Beide modellen opschrijven: A: $V = 800 - 100t$; B: $V = 800 \cdot 0{,}8^t$ = Lineair tegenover exponentieel

Vergelijken na 3 jaar: A: $800 - 300 = 500$; B: $800 \cdot 0{,}512 = 409{,}6$ = B is lager

Vergelijken na 6 jaar: A: $800 - 600 = 200$; B: $800 \cdot 0{,}262144 = 209{,}7152 \approx 209{,}72$ = Nu is A lager

Vergelijken na 8 jaar: A: $800 - 800 = 0$; B: $800 \cdot 0{,}16777216 \approx 134{,}22$ = A bereikt nul, B niet

Het patroon uitleggen: A trekt steeds hetzelfde bedrag af; B trekt $20\%$ af van een steeds kleinere waarde = Exponentiële verliezen worden in de loop van de tijd kleiner

Answer: Het exponentiële model verliest eerst meer (409,60 € tegenover 500 € na 3 jaar), maar de jaarlijkse verliezen worden steeds kleiner: na 6 jaar is het hoger (209,72 € tegenover 200 €), en na 8 jaar is de lineaire waarde 0 terwijl de exponentiële waarde nog ongeveer 134,22 € is.

Mistake: Het afnamepercentage als grondtal gebruiken: $25000 \cdot 0{,}15^t$ schrijven bij een verlies van $15\%$

Why: $0{,}15^t$ houdt elk jaar maar $15\%$ over, dat is een verlies van $85\%$ per jaar. Het grondtal moet het deel zijn dat **overblijft**.

Correct: Groeifactor $= 1 - r$. Een afname van $15\%$ geeft $25000 \cdot 0{,}85^t$.

Mistake: Elke periode hetzelfde bedrag aftrekken: '20% van 1000 is 200, dus na 5 jaar is de waarde 0'

Why: Dat is lineair denken. Het verlies van elk jaar is $20\%$ van de **huidige** waarde, niet van de beginwaarde, dus de verliezen worden kleiner.

Correct: Vermenigvuldig elk jaar met $0{,}8$: $1000 \to 800 \to 640 \to 512 \to 409{,}6 \to 327{,}68$. Na 5 jaar is er $327{,}68$ over.

Mistake: $a \cdot 1 - r^t$ berekenen in plaats van $a(1 - r)^t$

Why: De exponent hoort bij de hele groeifactor. $1 - 0{,}15^2 = 0{,}9775$, maar $(1 - 0{,}15)^2 = 0{,}7225$.

Correct: Bereken eerst $1 - r$, verhef dat dan tot de macht $t$ en vermenigvuldig tot slot met $a$.

Mistake: Denken dat een afnemende hoeveelheid uiteindelijk precies nul wordt

Why: Als je een positief getal vermenigvuldigt met een factor zoals $0{,}8$, krijg je altijd een positief getal.

Correct: In het model $y = a(1 - r)^t$ komen de waarden steeds dichter bij $0$ (horizontale asymptoot $y = 0$), maar ze bereiken die nooit.

Waardeverlies van telefoons en laptops

Elektronica verliest elk jaar een percentage van zijn waarde. Tweedehandssites en verzekeraars gebruiken modellen van afname om te schatten wat een gebruikt apparaat waard is.

Een laptop van 1000 € die $30\%$ per jaar verliest, is na 2 jaar $1000 \cdot 0{,}7^2 = 490$ € waard.

Dosering van medicijnen

Artsen en apothekers gebruiken exponentiële afname om te weten hoeveel van een medicijn nog in het lichaam zit en wanneer de volgende dosis nodig is.

Als het lichaam elk uur $15\%$ van een medicijn afbreekt, dan geldt na 4 uur $0{,}85^4 \approx 0{,}522$, dus er is nog ongeveer $52{,}2\%$ van de dosis over.

Afkoelende drankjes

Ingenieurs en levensmiddelentechnologen beschrijven afkoeling met afname: het temperatuurverschil tussen een voorwerp en de kamer wordt elke minuut een percentage kleiner.

Koffie van $90°C$ in een kamer van $20°C$: als het verschil van $70$ elke minuut $10\%$ kleiner wordt, is het na 1 minuut $63$, dus de koffie is $83°C$.

Q: Wat is het verschil tussen het afnamepercentage en de groeifactor?

A: Het afnamepercentage $r$ is wat je per periode verliest (bijvoorbeeld $15\% = 0{,}15$). De groeifactor is wat je overhoudt: $1 - r = 0{,}85$. De groeifactor is het getal dat je als grondtal van de macht gebruikt.

Q: Hoe zie ik aan de formule of het om groei of afname gaat?

A: Kijk naar het grondtal $b$ in $y = a \cdot b^t$. Is $b > 1$, dan groeit de hoeveelheid (bijvoorbeeld $1{,}04$ betekent $+4\%$). Is $0 < b < 1$, dan neemt ze af (bijvoorbeeld $0{,}96$ betekent $-4\%$).

Q: Wordt een afnemende hoeveelheid ooit nul?

A: In het model niet. Elke periode blijft er een vast deel van een positief getal over, dus de uitkomst blijft positief. De grafiek komt steeds dichter bij de lijn $y = 0$, de horizontale asymptoot. In het echt stop je met tellen als de hoeveelheid te klein is om nog uit te maken.

Q: Wat is de halveringstijd?

A: De halveringstijd is de tijd die nodig is tot er precies de helft van de hoeveelheid over is. Het is een speciaal geval van exponentiële afname met een eigen formule, dat aan bod komt in de les Opgaven over halveringstijd.