Een directe vergelijking met hetzelfde grondtal

Los $2^x = 32$ op.

Schrijf 32 als macht van 2: $32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$ = $2^x = 2^5$

Stel de exponenten gelijk: Zelfde grondtal $2$, dus de exponenten moeten gelijk zijn = $x = 5$

Controleer: $2^5 = 32$ ✓ = De oplossing klopt

Answer: $x = 5$

Een uitdrukking in de exponent

Los $3^{x+1} = 81$ op.

Schrijf 81 als macht van 3: $81 = 3^4$ = $3^{x+1} = 3^4$

Stel de exponenten gelijk: $x + 1 = 4$ = Een lineaire vergelijking

Los op naar $x$: $x = 4 - 1$ = $x = 3$

Controleer: $3^{3+1} = 3^4 = 81$ ✓ = De oplossing klopt

Answer: $x = 3$

Beide kanten herschrijven

Los $4^x = 8$ op.

Zoek een gemeenschappelijk grondtal: $4 = 2^2$ en $8 = 2^3$, dus beide zijn machten van $2$ = Gemeenschappelijk grondtal: $2$

Herschrijf de linkerkant: $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ = $2^{2x} = 2^3$

Stel de exponenten gelijk: $2x = 3$ = $x = \frac{3}{2}$

Controleer: $4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$ ✓ = De oplossing klopt

Answer: $x = \frac{3}{2} = 1{,}5$

Een breuk aan de rechterkant

Los $9^x = \frac{1}{27}$ op.

Herschrijf de linkerkant met grondtal 3: $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$ = $3^{2x}$

Schrijf de breuk met een negatieve exponent: $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$ = $3^{2x} = 3^{-3}$

Stel de exponenten gelijk: $2x = -3$ = $x = -\frac{3}{2}$

Controleer: $9^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{9^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{(\sqrt{9})^3} = \frac{1}{27}$ ✓ = De oplossing klopt

Answer: $x = -\frac{3}{2} = -1{,}5$

Een oplossing schatten met een tabel

Los $5 \cdot 2^x = 100$ op. Als de oplossing geen geheel getal is, geef dan de twee opeenvolgende gehele getallen waartussen ze ligt.

Maak de macht vrij: Deel beide kanten door $5$: $2^x = \frac{100}{5}$ = $2^x = 20$

Zoek een gemeenschappelijk grondtal: $20 = 2^2 \cdot 5$ is geen macht van $2$ = De methode van hetzelfde grondtal werkt niet

Maak een tabel van machten van 2: $2^3 = 8$, $2^4 = 16$, $2^5 = 32$ = $16 < 20 < 32$

Sluit de oplossing in: $2^4 < 2^x < 2^5$, en een grotere exponent geeft altijd een grotere macht van $2$ = $4 < x < 5$

Verfijn met de rekenmachine: $2^{4{,}3} \approx 19{,}7$ en $2^{4{,}4} \approx 21{,}1$ = $x \approx 4{,}3$

Answer: $x$ ligt tussen $4$ en $5$ (ongeveer $4{,}32$). Logaritmen, een later onderwerp, geven de exacte waarde.

Mistake: Delen door het grondtal: $2^x = 32 \implies x = \frac{32}{2} = 16$

Why: $2^x$ betekent $x$ factoren $2$ met elkaar vermenigvuldigd, niet $2$ keer $x$. Delen maakt een vermenigvuldiging ongedaan, geen machtsverheffing.

Correct: Schrijf $32$ als macht van $2$: $32 = 2^5$, dus $x = 5$. Controle: $2^{16} = 65536 \neq 32$.

Mistake: De factor in het grondtal opnemen: $3 \cdot 2^x = 48 \implies 6^x = 48$

Why: De exponent hoort alleen bij de $2$. Volgens de volgorde van bewerkingen reken je eerst de macht uit en vermenigvuldig je daarna met $3$.

Correct: Deel eerst: $2^x = 16 = 2^4$, dus $x = 4$. Controle: $3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$ ✓

Mistake: Exponenten gelijkstellen terwijl de grondtallen verschillen: $4^x = 2^3 \implies x = 3$

Why: De regel van hetzelfde grondtal werkt alleen als de grondtallen echt gelijk zijn. $4^3 = 64$, niet $8$.

Correct: Herschrijf eerst $4^x = 2^{2x}$, dan $2x = 3$, dus $x = \frac{3}{2}$.

Mistake: Het minteken vergeten: $9^x = \frac{1}{27} \implies x = \frac{3}{2}$

Why: Een getal kleiner dan $1$ heeft een negatieve exponent nodig als het grondtal groter is dan $1$: $\frac{1}{27} = 3^{-3}$.

Correct: $3^{2x} = 3^{-3}$, dus $x = -\frac{3}{2}$. Snelle test: $9^{\frac{3}{2}} = 27$, en dat is veel groter dan $\frac{1}{27}$.

Bacteriekolonies

Een kolonie die elk uur verdubbelt, volgt $N = N_0 \cdot 2^t$. Door op te lossen naar $t$ weet een lab wanneer de kolonie een bepaalde grootte bereikt.

Een kolonie van 100 cellen verdubbelt elk uur. Ze bereikt 800 cellen als $100 \cdot 2^t = 800$, dus $2^t = 8 = 2^3$ en $t = 3$ uur.

Papier vouwen

Elke vouw verdubbelt de dikte van een vel papier, dus de dikte na $n$ vouwen is $T = T_0 \cdot 2^n$.

Een vel van 0,1 mm dik is na 3 vouwen 0,8 mm dik, omdat $0{,}1 \cdot 2^3 = 0{,}8$.

Virale video's

Weergaven die elke dag verdubbelen groeien als $V = V_0 \cdot 2^d$. Als het doel geen macht van 2 is, laat een tabel van machten zien op welke dag het wordt gepasseerd.

Een video met 1000 weergaven die elke dag verdubbelen heeft na 5 dagen $1000 \cdot 2^5 = 32000$ weergaven en na 6 dagen $1000 \cdot 2^6 = 64000$.

Q: Wat als ik beide kanten niet met hetzelfde grondtal kan schrijven?

A: Dan werkt de methode van hetzelfde grondtal niet. Je kunt wel schatten: maak een tabel van machten en kijk waar de rechterkant past, bijvoorbeeld $2^4 = 16 < 20 < 32 = 2^5$, dus de oplossing van $2^x = 20$ ligt tussen $4$ en $5$. Logaritmen, die later in de cursus komen, geven het exacte antwoord.

Q: Waarom mag het grondtal niet 1 zijn?

A: Omdat $1^x = 1$ voor elke $x$. De vergelijking $1^x = 1^5$ klopt voor alle waarden van $x$, dus je kunt niet concluderen dat $x = 5$. Bij elk ander positief grondtal geven verschillende exponenten altijd verschillende uitkomsten.

Q: Kan een exponentiële vergelijking geen oplossing hebben?

A: Ja. Een macht met een positief grondtal is altijd positief, dus $2^x = -4$ en $2^x = 0$ hebben geen oplossing. Controleer voordat je begint of de vrijgemaakte macht gelijk is aan een positief getal.

Q: Kunnen er twee oplossingen zijn?

A: Ja, als de exponent $x^2$ bevat. Bijvoorbeeld $2^{x^2} = 2^4$ geeft $x^2 = 4$, dus $x = 2$ of $x = -2$. Controleer beide in de oorspronkelijke vergelijking.