Continuïteit van een polynoom controleren

Is $f(x) = x^2 - 3x + 1$ continu in $x = 2$? Controleer alle drie de voorwaarden.

Voorwaarde 1: is $f(2)$ gedefinieerd?: $f(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = 4 - 6 + 1$ = $f(2) = -1$

Voorwaarde 2: bestaat de limiet?: $f$ is een polynoom, dus de limiet vind je door direct invullen: $\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 1) = -1$ = De limiet bestaat en is $-1$

Voorwaarde 3: limiet en functiewaarde vergelijken: $\lim_{x \to 2} f(x) = -1 = f(2)$ = Alle drie de voorwaarden gelden

Answer: Ja, $f$ is continu in $x = 2$ (als polynoom is $f$ zelfs overal continu).

Als limiet en functiewaarde niet overeenkomen

Stel $g(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ voor $x \neq 3$ en $g(3) = 5$. Is $g$ continu in $x = 3$?

Voorwaarde 1: is $g(3)$ gedefinieerd?: Het voorschrift geeft direct $g(3) = 5$ = Ja, $g(3) = 5$

Voorwaarde 2: de limiet bepalen: $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3$ voor $x \neq 3$, dus $\lim_{x \to 3} g(x) = 3 + 3$ = De limiet bestaat en is $6$

Voorwaarde 3: vergelijken: $\lim_{x \to 3} g(x) = 6$, maar $g(3) = 5$ = $6 \neq 5$: voorwaarde 3 geldt niet

Hoe kun je dit herstellen?: Alleen de waarde opnieuw vastleggen: $g(3) = 6$ = Dan zou $g$ continu zijn in $3$

Answer: Nee. De limiet bestaat ($6$) en $g(3)$ is gedefinieerd ($5$), maar ze zijn niet gelijk, dus $g$ is niet continu in $x = 3$. Met $g(3) = 6$ zou $g$ daar continu zijn. De tweede grafiek hieronder laat het zien: een open rondje bij $(3, 6)$ en daaronder het dichte punt $g(3) = 5$.

Waar is een gebroken rationale functie continu?

Op welke intervallen is $h(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 4}$ continu?

De regel herhalen: Een gebroken rationale functie is overal continu behalve waar de noemer $0$ is = Zoek de nulpunten van $x^2 - 4$

Noemer $= 0$ oplossen: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) = 0$ = $x = 2$ of $x = -2$

De intervallen opschrijven: Haal $-2$ en $2$ weg van de getallenlijn = $(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)$

Answer: $h$ is continu op $(-\infty, -2)$, op $(-2, 2)$ en op $(2, \infty)$. Alleen in $x = -2$ en $x = 2$, waar $h$ niet gedefinieerd is, is $h$ niet continu.

k bepalen zodat een gesplitst voorschrift continu is

Bepaal $k$ zodat $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 2 \\ kx - 1, & x > 2 \end{cases}$ overal continu is.

Elk deel is een polynoom: Beide delen zijn continu op hun eigen interval, dus je hoeft alleen het aansluitpunt $x = 2$ te controleren = Controleer $x = 2$

Functiewaarde en linkerlimiet (eerste deel): $f(2) = 2^2 + 1$ en $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2^2 + 1$ = Allebei $5$

Rechterlimiet (tweede deel): $\lim_{x \to 2^+} f(x) = k \cdot 2 - 1$ = $2k - 1$

De twee kanten laten aansluiten: $2k - 1 = 5 \Rightarrow 2k = 6$ = $k = 3$

Controle: Met $k = 3$: $3 \cdot 2 - 1 = 5$, dus beide eenzijdige limieten zijn $5 = f(2)$ = Continu in $x = 2$

Answer: $k = 3$. Probeer het in de interactieve grafiek hieronder: zet de schuifregelaar op $k = 3$ en de twee delen sluiten aan in het punt $(2, 5)$.

Tussenwaardestelling: bewijzen dat er een nulpunt is

Laat zien dat $x^3 + x - 1 = 0$ een oplossing heeft tussen $x = 0$ en $x = 1$.

De functie benoemen en continuïteit controleren: $f(x) = x^3 + x - 1$ is een polynoom = $f$ is continu op $[0, 1]$

In de randpunten uitrekenen: $f(0) = 0 + 0 - 1$ en $f(1) = 1 + 1 - 1$ = $f(0) = -1$, $f(1) = 1$

Ligt $0$ tussen de twee waarden?: $-1 < 0 < 1$ = Ja, het teken wisselt

De tussenwaardestelling toepassen: Een continue functie die van $-1$ naar $1$ gaat, moet ergens daartussen de waarde $0$ aannemen = Er is een $c$ in $(0, 1)$ met $f(c) = 0$

Answer: Volgens de tussenwaardestelling is er een getal $c$ tussen $0$ en $1$ met $c^3 + c - 1 = 0$. De derde grafiek hieronder laat het zien: $c \approx 0{,}68$.

Mistake: Alleen controleren of $f(a)$ bestaat en dan concluderen dat $f$ continu is

Why: Een functie kan een waarde hebben in $a$ en daar toch een sprong maken. Zo heeft $f(x) = 1$ voor $x < 0$ en $f(x) = 2$ voor $x \geq 0$ de waarde $f(0) = 2$, maar de linkerlimiet is $1$.

Correct: Controleer altijd alle drie de voorwaarden: $f(a)$ is gedefinieerd, de limiet bestaat en de limiet is gelijk aan $f(a)$.

Mistake: Denken dat de functie continu moet zijn als de limiet bestaat

Why: De limiet kijkt niet naar wat er precies in $x = a$ gebeurt. In voorbeeld 2 is de limiet $6$, maar het punt ligt bij $g(3) = 5$.

Correct: Vergelijk de gevonden limiet met de echte waarde $f(a)$. Ze moeten gelijk zijn.

Mistake: $k$ bepalen door het aansluitpunt in maar één deel in te vullen

Why: Bij continuïteit in het aansluitpunt gaat het erom dat de twee delen elkaar raken, dus één deel alleen geeft geen vergelijking voor $k$.

Correct: Vul het aansluitpunt in beide delen in (linkerlimiet en rechterlimiet) en stel ze gelijk: in voorbeeld 4 is dat $2^2 + 1 = 2k - 1$.

Mistake: De tussenwaardestelling gebruiken voor een functie die op het interval niet continu is

Why: $f(x) = \frac{1}{x}$ heeft $f(-1) = -1$ en $f(1) = 1$, maar is nooit $0$. De stelling geldt hier niet, omdat $f$ in $x = 0$ niet gedefinieerd is.

Correct: Controleer voordat je de tussenwaardestelling gebruikt dat $f$ continu is op het hele gesloten interval $[a, b]$.

Eerlijke parkeertarieven

Een parkeergarage heeft een tarief voor kort parkeren en een ander voor lang parkeren. Als de formules op het omslagpunt niet overeenkomen, maakt de prijs een sprong, en wie een minuut langer blijft betaalt veel meer of veel minder.

Een tarief van $C(t) = 5t$ € tot 2 uur en daarna $C(t) = 3t + 4$ € geeft met beide formules $C(2) = 10$ €, dus het tarief maakt geen sprong.

Hoogte tijdens een bergwandeling en de tussenwaardestelling

Je hoogte tijdens een wandeling verandert continu met de tijd: je kunt niet van de ene hoogte naar de andere teleporteren. De tussenwaardestelling garandeert dan dat je elke hoogte tussen start en finish bent gepasseerd.

Als je op 800 m begint en een top op 2000 m bereikt, was je op een bepaald moment precies op 1500 m, ook al keek je toen niet op je horloge.

Twee stukken weg op elkaar laten aansluiten

Wie wegen en spoorlijnen ontwerpt, beschrijft het tracé per stuk met verschillende formules. Bij elke aansluiting moeten de hoogtes overeenkomen, en dat is precies de voorwaarde voor een continue functie met een gesplitst voorschrift.

Een helling met hoogte $y = 0{,}5x$ voor $x \leq 2$, gevolgd door $y = -0{,}25x + 1{,}5$ voor $x > 2$ (in meters), sluit aan op $y = 1$ m, dus er is geen trede.

Q: Is $f(x) = \frac{1}{x}$ een continue functie?

A: Ze is continu op haar domein, dus in elke $x \neq 0$. In $x = 0$ is ze niet gedefinieerd en daar dus niet continu. Als iemand zegt dat een functie continu is zonder een punt te noemen, bedoelt hij meestal continu op het hele domein.

Q: Waarom geeft direct invullen bij polynomen de limiet?

A: Omdat polynomen overal continu zijn, en continu betekent precies $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. De limiet is dus de functiewaarde. Als invullen $\frac{0}{0}$ geeft, is de functie in dat punt niet continu en moet je eerst vereenvoudigen.

Q: Vertelt de tussenwaardestelling waar het nulpunt ligt?

A: Nee. Ze garandeert alleen dat er minstens één $c$ in $(a, b)$ bestaat. Om het nulpunt in te sluiten kun je het interval steeds halveren en de helft houden waarin het teken wisselt (de bisectiemethode).

Q: Kan een functie overal continu zijn en toch een knik hebben?

A: Ja. $f(x) = |x|$ heeft een knik in $x = 0$, maar je kunt de grafiek tekenen zonder je potlood op te tillen, en $\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)$. Knikken zijn belangrijk voor de afgeleide, niet voor continuïteit.