Introductie tot limieten

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Wat betekent ?
1. a) nadert 3 als 5 nadert
2. b)
3. c) is gelijk aan 5 wanneer gelijk is aan 3
4. d)
Antwoord: nadert 3 als 5 nadert
De notatie betekent dat naarmate dichter bij 5 komt, de waarde van dichter bij 3 komt. Dit is anders dan .
2.
Vind
Antwoord: 10
Voor continue functies zoals is de limiet gelijk aan de functiewaarde: .
3.
Vind
Antwoord: 5
Directe substitutie werkt: .
4.
Welke vorm krijg je als je probeert door directe substitutie?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Antwoord:
Teller: . Noemer: . Dit geeft , een onbepaalde vorm die factorisatie vereist.
5.
Vind
Antwoord: 6
1. Factoriseer de teller . Wat krijg je? (x+3)(x-3)
2. Na factoriseren, schrap de gemeenschappelijke factor. Welke vereenvoudigde uitdrukking blijft over? x+3
3. Substitueer nu in de vereenvoudigde uitdrukking. 6
6.
Vind
Antwoord: 2
. Dus .
7.
Welke bewering is waar over als ?
1. a)De limiet is gelijk aan 0
2. b)De limiet is gelijk aan 4, hoewel niet gedefinieerd is
3. c)De limiet is gelijk aan
4. d)De limiet bestaat niet
Antwoord: De limiet is gelijk aan 4, hoewel niet gedefinieerd is
voor . De limiet is , maar is niet gedefinieerd. Dit toont dat limieten kunnen bestaan waar de functie niet gedefinieerd is!
8.
Vind
Antwoord: 1
1. Factoriseer de teller . Wat zijn de factoren? (x+1)(x+2)
2. Na factoriseren en schrappen van , welke uitdrukking blijft over? x+2
3. Substitueer in de vereenvoudigde uitdrukking. 1
9.
Wat is ?
1. a)Bestaat niet
2. b)
3. c)
4. d)
Antwoord:
Als 0 nadert van rechts (positieve kant), wordt steeds groter: , , enz. Dus .
10.
Vind
Antwoord: 2.5
. Als , en , dus de limiet is .
11.
Vind
Antwoord: 0.5
1. Wat is de hoogste macht van in de uitdrukking? x^2
2. Na deling van alle termen door , wat is de nieuwe teller? 2 - 3/x + 1/x^2
3. Als , waarnaar naderen , en ? 0
4. Dus de limiet vereenvoudigt tot 0.5
12.
Voor , wat kunnen we zeggen over ?
1. a)De limiet is gelijk aan 1
2. b)De limiet is gelijk aan 0
3. c)Bestaat niet omdat en
4. d)De limiet is gelijk aan -1
Antwoord: Bestaat niet omdat en
Van rechts: . Van links: . Omdat de eenzijdige limieten verschillen, bestaat de tweezijdige limiet niet.
13.
Vind
Antwoord: infinity
Wanneer de graad van de teller (3) hoger is dan die van de noemer (2), is de limiet . De teller groeit sneller dan de noemer.
14.
Vind
Antwoord: 0.25
1. Merk op dat gefactoriseerd kan worden als . Hoe heet deze techniek? verschil van kwadraten
2. Herschrijf de uitdrukking met deze factorisatie. Wat vereenvoudigt? sqrt(x) - 2
3. De vereenvoudigde uitdrukking is . Substitueer . 0.25
15.
Waar of Onwaar: Als , dan is .
1. a)Onwaar
2. b)Waar
Antwoord: Onwaar
ONWAAR. De limiet kan bestaan zelfs wanneer niet gedefinieerd is of een andere waarde heeft. Bijvoorbeeld, , maar is niet gedefinieerd.
16.
Vind
Antwoord: 5/3
1. Factoriseer de teller . (x-5)(x+5)
2. Factoriseer de noemer . (x-5)(x+1)
3. Na het schrappen van , wat is de vereenvoudigde uitdrukking? (x+5)/(x+1)
4. Substitueer in de vereenvoudigde uitdrukking. 5/3
17.
Als en , vind
Antwoord: 15
Volgens de productregel voor limieten: .
18.
Vind
Antwoord: 5
Voor polynomen werkt directe substitutie altijd: .