Een term die verdwijnt

Bereken $\lim_{x \to \infty} \left(3 + \frac{5}{x^2}\right)$.

Probeer een paar grote waarden van x: $x = 10$: $3 + \frac{5}{100} = 3{,}05$; $x = 100$: $3 + \frac{5}{10000} = 3{,}0005$ = De waarden naderen $3$

Gebruik de basisregel: $\frac{5}{x^2} = 5 \cdot \frac{1}{x^2}$ en $\frac{1}{x^2} \to 0$ = $\frac{5}{x^2} \to 0$

Tel de limieten op: $3 + 0$ = $3$

Answer: $\lim_{x \to \infty} \left(3 + \frac{5}{x^2}\right) = 3$, dus $y = 3$ is een horizontale asymptoot.

Gelijke graden: quotiënt van de kopcoëfficiënten

Bereken $\lim_{x \to \infty} \frac{6x^2 - 1}{2x^2 + 5}$.

Vergelijk de graden: Teller: graad $2$. Noemer: graad $2$ = Gelijke graden

Deel elke term door $x^2$: $\frac{6x^2 - 1}{2x^2 + 5} = \frac{6 - \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{5}{x^2}}$ = Alleen de breuken met $x$ in de noemer veranderen

Laat x onbegrensd groeien: $\frac{1}{x^2} \to 0$ en $\frac{5}{x^2} \to 0$, dus de uitdrukking nadert $\frac{6 - 0}{2 + 0}$ = $\frac{6}{2} = 3$

Controleer met een grote waarde: $x = 100$: $\frac{59999}{20005} \approx 2{,}9992$ = Heel dicht bij $3$

Answer: $\lim_{x \to \infty} \frac{6x^2 - 1}{2x^2 + 5} = 3$. De horizontale asymptoot is $y = 3$.

Kleinere graad in de teller

Bereken $\lim_{x \to \infty} \frac{3x + 1}{x^2 + 1}$.

Vergelijk de graden: Teller: graad $1$. Noemer: graad $2$ = De noemer groeit sneller

Deel elke term door $x^2$: $\frac{\frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}}$ = Teller $\to 0$, noemer $\to 1$

Bepaal de limiet: $\frac{0 + 0}{1 + 0}$ = $0$

Answer: $\lim_{x \to \infty} \frac{3x + 1}{x^2 + 1} = 0$, dus $y = 0$ (de $x$-as) is de horizontale asymptoot. Bij $x = 100$ is de waarde $\frac{301}{10001} \approx 0{,}03$.

Naar min oneindig

Bereken $\lim_{x \to -\infty} \frac{4x^3 - x}{2 - 8x^3}$.

Zoek de hoogstegraadstermen: Teller: $4x^3$. Noemer: $-8x^3$ (de hoogste macht, ook al staat die achteraan) = Beide hebben graad $3$

Deel elke term door $x^3$: $\frac{4 - \frac{1}{x^2}}{\frac{2}{x^3} - 8}$ = De kleine breuken gaan ook voor $x \to -\infty$ naar $0$

Neem het quotiënt van de kopcoëfficiënten: $\frac{4}{-8}$ = $-\frac{1}{2}$

Controleer met een waarde: $x = -10$: $\frac{-3990}{8002} \approx -0{,}4986$ = Dicht bij $-0{,}5$

Answer: $\lim_{x \to -\infty} \frac{4x^3 - x}{2 - 8x^3} = -\frac{1}{2}$. De horizontale asymptoot is $y = -\frac{1}{2}$ (aan beide kanten).

Grotere graad in de teller: geen eindige limiet

Beschrijf $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^2 + 1}$.

Vergelijk de graden: Teller: graad $3$. Noemer: graad $2$ = De teller groeit sneller

Deel elke term door $x^2$: $\frac{x}{1 + \frac{1}{x^2}}$ = De noemer $\to 1$, maar de teller $x$ blijft groeien

Test grote waarden: $x = 10$: $\frac{1000}{101} \approx 9{,}9$; $x = 100$: $\frac{1000000}{10001} \approx 99{,}99$ = De waarden groeien onbegrensd

Answer: Er is geen eindige limiet: $\frac{x^3}{x^2 + 1}$ groeit onbegrensd, genoteerd als $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^2 + 1} = \infty$. De grafiek heeft geen horizontale asymptoot. (Verdieping buiten deze les: ver naar rechts volgt de grafiek de schuine lijn $y = x$.)

Mistake: Oneindig invullen: $\frac{\infty}{\infty} = 1$

Why: $\infty$ is geen getal, dus je kunt het niet invullen of wegdelen. Teller en noemer kunnen heel verschillend snel groeien.

Correct: Deel eerst door de hoogste macht van $x$. Voor $\frac{6x^2 - 1}{2x^2 + 5}$ is de limiet $3$, niet $1$.

Mistake: De eerst geschreven coëfficiënt nemen in plaats van de kopcoëfficiënt: $\frac{4x^3 - x}{2 - 8x^3} \to \frac{4}{2} = 2$

Why: De kopcoëfficiënt hoort bij de term met de hoogste macht, waar die ook in de uitdrukking staat.

Correct: De hoogstegraadsterm van $2 - 8x^3$ is $-8x^3$, dus de limiet is $\frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$.

Mistake: De regels omdraaien: "kleinere graad boven betekent geen limiet"

Why: Als de noemer de grootste graad heeft, groeit die veel sneller en duwt hij de breuk naar $0$.

Correct: Kleinere graad boven: limiet $0$. Grotere graad boven: geen eindige limiet. Gelijke graden: quotiënt van de kopcoëfficiënten.

Mistake: Denken dat een grafiek zijn horizontale asymptoot nooit kan snijden

Why: Een horizontale asymptoot beschrijft alleen de grafiek helemaal links en helemaal rechts. In het midden mag de kromme hem snijden.

Correct: $y = \frac{3x + 1}{x^2 + 1}$ heeft de asymptoot $y = 0$ en snijdt die toch bij $x = -\frac{1}{3}$.

Afkoelende koffie

Volgens de afkoelingswet van Newton koelt een hete drank af naar de temperatuur van de kamer. De temperatuur op de lange termijn is een limiet naar oneindig.

Een kop thee volgt $T(t) = 22 + 60e^{-0{,}05t}$ (graden Celsius, $t$ in minuten). Omdat $e^{-0{,}05t} \to 0$, nadert de thee $22°C$.

Gemiddelde kosten in een werkplaats

Vaste kosten (huur, machines) worden verdeeld over alle geproduceerde stuks. Hoe meer stuks, hoe kleiner ieders aandeel, dus de gemiddelde kosten naderen de materiaalkosten per stuk.

Een bakkerij met 300 € vaste kosten per dag en 2 € ingrediënten per taart heeft gemiddelde kosten $\frac{300 + 2x}{x}$, die 2 € per taart naderen.

Zoutconcentratie in een tank

Procesingenieurs modelleren hoe een mengsel in de loop van de tijd verandert. Als er voortdurend zout water een tank in stroomt, stabiliseert de concentratie op een vaste waarde.

Als het zout in een tank groeit als $50t$ gram en het volume $100 + 2t$ liter is, nadert de concentratie $\frac{50t}{100 + 2t}$ de waarde $\frac{50}{2} = 25$ gram per liter.

Q: Kan ik niet gewoon een heel groot getal invullen in plaats van de limiet te berekenen?

A: Een groot getal zoals $x = 1000$ is een goede controle en laat vaak de trend zien, maar het is geen bewijs. De berekening (delen door de hoogste macht) geeft de exacte waarde, bijvoorbeeld precies $3$ in plaats van $2{,}9992$.

Q: Zijn de limieten naar $\infty$ en naar $-\infty$ altijd gelijk?

A: Bij gebroken functies met een eindige limiet wel: beide kanten geven dezelfde horizontale asymptoot. Andere functies kunnen verschillen. Zo geldt $e^{-x} \to 0$ als $x \to \infty$, maar $e^{-x}$ groeit onbegrensd als $x \to -\infty$.

Q: Kan een grafiek zijn horizontale asymptoot snijden?

A: Ja. De asymptoot beschrijft alleen het gedrag helemaal links of helemaal rechts. De grafiek van $\frac{3x + 1}{x^2 + 1}$ snijdt $y = 0$ bij $x = -\frac{1}{3}$ en nadert de lijn daarna weer.

Q: Wat gebeurt er als de graad van de teller precies één groter is dan die van de noemer?

A: Dit is verdieping die verder gaat dan deze les. In dat geval is er geen horizontale asymptoot, maar nadert de grafiek een schuine lijn (een scheve asymptoot). Voor $\frac{x^3}{x^2 + 1}$ is dat de lijn $y = x$. Je vindt hem met een staartdeling van polynomen.