De standaardfunctie tekenen

Teken $y = \log_2 x$ en geef het domein, het bereik en de asymptoot.

Kies x-waarden die machten van 2 zijn: $x = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8$, omdat $\log_2$ van een macht van 2 makkelijk te vinden is = Zes handige x-waarden

Bereken elke y-waarde: $\log_2 \frac{1}{4} = -2$, $\log_2 \frac{1}{2} = -1$, $\log_2 1 = 0$, $\log_2 2 = 1$, $\log_2 4 = 2$, $\log_2 8 = 3$ = $y = -2, -1, 0, 1, 2, 3$

Teken de punten en de asymptoot: Teken $\left(\frac{1}{4}, -2\right)$, $\left(\frac{1}{2}, -1\right)$, $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(4, 2)$, $(8, 3)$ en de gestippelde lijn $x = 0$ = Punten en asymptoot $x = 0$

Verbind ze met een vloeiende kromme: De kromme duikt vlak bij de $y$-as steil omlaag zonder die te raken en stijgt naar rechts langzaam = Stijgende kromme door $(1, 0)$

Answer: Domein $x > 0$, bereik alle reële getallen, verticale asymptoot $x = 0$, snijpunt met de $x$-as $(1, 0)$.

Een grondtal tussen 0 en 1

Teken $y = \log_{1/2} x$ en vergelijk de grafiek met $y = \log_2 x$.

Gebruik de belangrijke punten: $\left(\frac{1}{b}, -1\right) = (2, -1)$, $(1, 0)$, $(b, 1) = \left(\frac{1}{2}, 1\right)$ = $(2, -1)$, $(1, 0)$, $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$

Zoek nog een punt: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4$, dus $\log_{1/2} 4 = -2$ = $(4, -2)$

Beschrijf het verloop: Als $x$ groter wordt, wordt $y$ kleiner: $1, 0, -1, -2$ = De grafiek is dalend

Vergelijk met grondtal 2: Bij $x = 2$: $\log_2 2 = 1$ maar $\log_{1/2} 2 = -1$. Elke y-waarde krijgt het tegengestelde teken = $\log_{1/2} x = -\log_2 x$

Answer: De grafiek van $y = \log_{1/2} x$ is dalend, gaat door $(1, 0)$, heeft de asymptoot $x = 0$ en is het spiegelbeeld van $y = \log_2 x$ in de $x$-as.

Een exponentiële grafiek spiegelen

Gebruik punten van $y = 3^x$ om punten van $y = \log_3 x$ te vinden.

Schrijf punten van de exponentiële functie op: $3^{-1} = \frac{1}{3}$, $3^0 = 1$, $3^1 = 3$, $3^2 = 9$ = $\left(-1, \frac{1}{3}\right)$, $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(2, 9)$

Verwissel x en y in elk punt: Spiegelen in $y = x$ maakt van $(p, q)$ het punt $(q, p)$ = $\left(\frac{1}{3}, -1\right)$, $(1, 0)$, $(3, 1)$, $(9, 2)$

Verwissel ook de asymptoten: $y = 3^x$ heeft de horizontale asymptoot $y = 0$; na het verwisselen wordt dat $x = 0$ = Verticale asymptoot $x = 0$

Verwissel domein en bereik: $y = 3^x$: domein alle reële getallen, bereik $y > 0$. $y = \log_3 x$: domein $x > 0$, bereik alle reële getallen = Domein $x > 0$

Answer: $y = \log_3 x$ gaat door $\left(\frac{1}{3}, -1\right)$, $(1, 0)$, $(3, 1)$, $(9, 2)$ en heeft de asymptoot $x = 0$.

De grafiek verschuiven

Teken $y = \log_2(x - 3) + 1$. Geef de asymptoot, het domein, het bereik en het snijpunt met de $x$-as.

Lees h en k af: Vergelijk met $y = \log_b(x - h) + k$: $b = 2$, $h = 3$, $k = 1$ = 3 naar rechts, 1 omhoog

Verschuif de asymptoot: $x = 0$ schuift 3 eenheden naar rechts = Asymptoot $x = 3$, domein $x > 3$

Verschuif de belangrijke punten: $(1, 0) \to (1 + 3, 0 + 1)$ en $(2, 1) \to (2 + 3, 1 + 1)$ = $(4, 1)$ en $(5, 2)$

Zoek het snijpunt met de x-as: $\log_2(x - 3) + 1 = 0 \Rightarrow \log_2(x - 3) = -1 \Rightarrow x - 3 = \frac{1}{2}$ = $x = 3{,}5$

Answer: Asymptoot $x = 3$, domein $x > 3$, bereik alle reële getallen, snijpunt met de $x$-as $(3{,}5; 0)$, belangrijke punten $(4, 1)$ en $(5, 2)$.

De vergelijking uit de grafiek halen

Een grafiek van de vorm $y = \log_b(x - h) + k$ heeft de verticale asymptoot $x = -1$ en gaat door $(0, 2)$ en $(1, 3)$. Bepaal $b$, $h$ en $k$.

Gebruik de asymptoot: De asymptoot is $x = h$, dus $h = -1$ = $h = -1$

Gebruik het belangrijke punt (1 + h, k): $1 + h = 1 + (-1) = 0$, dus het punt $(0, 2)$ geeft $k = 2$ = $k = 2$

Gebruik het belangrijke punt (b + h, 1 + k): $1 + k = 3$ past bij het punt $(1, 3)$, dus $b + h = 1$ en $b = 1 - (-1)$ = $b = 2$

Schrijf de vergelijking op en controleer: $y = \log_2(x + 1) + 2$. Controle: $x = 1$ geeft $\log_2 2 + 2 = 3$ = $y = \log_2(x + 1) + 2$

Answer: $y = \log_2(x + 1) + 2$, dus $b = 2$, $h = -1$, $k = 2$.

Mistake: $y = \log_2(x - 3)$ drie eenheden naar links verschuiven

Why: Het minteken lijkt op een verschuiving naar links, maar het argument $x - 3$ moet positief zijn, dus $x > 3$: de hele grafiek ligt rechts van $x = 3$.

Correct: $y = \log_b(x - h)$ verschuift de grafiek $h$ eenheden naar rechts. $y = \log_2(x - 3)$ heeft de asymptoot $x = 3$.

Mistake: De grafiek de $y$-as laten raken of snijden

Why: $\log_b 0$ en de logaritme van een negatief getal bestaan niet, omdat $b^y$ altijd positief is.

Correct: De grafiek van $y = \log_b x$ komt steeds dichter bij $x = 0$, maar bereikt die lijn nooit. Het domein is $x > 0$.

Mistake: Denken dat de grafiek op een bepaalde hoogte blijft hangen

Why: De kromme stijgt langzaam en lijkt daardoor vlak, maar hij stopt nooit met stijgen: $\log_2 1024 = 10$ en $\log_2 1048576 = 20$.

Correct: Een logaritmische grafiek heeft geen horizontale asymptoot. Het bereik is alle reële getallen.

Mistake: Na een horizontale verschuiving het domein $x > 0$ houden

Why: Het domein volgt uit het argument, niet uit $x$ alleen.

Correct: Bij $y = \log_3(x + 5)$ moet het argument $x + 5$ positief zijn, dus het domein is $x > -5$.

Geluidsniveau in decibel

Een geluidsmeter toont $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ decibel, waarbij $\frac{I}{I_0}$ aangeeft hoeveel keer sterker het geluid is dan het zachtste geluid dat we kunnen horen. De grafiek is een uitgerekte logaritmische kromme: heel vlak bij grote intensiteiten.

Een geluid dat $100$ keer sterker is dan $I_0$ geeft $L = 10 \log 100 = 20$ dB. Een geluid dat nog eens $10$ keer sterker is, geeft maar $30$ dB.

Binair zoeken in de informatica

Binair zoeken vindt een naam in een gesorteerde lijst door de lijst steeds te halveren. Bij $n$ namen zijn ongeveer $\log_2 n$ halveringen nodig, dus de grafiek van het aantal stappen is de grafiek van $y = \log_2 x$.

Een lijst met $8$ namen heeft $\log_2 8 = 3$ halveringen nodig: $8 \to 4 \to 2 \to 1$.

De pH-schaal in de scheikunde

De zuurgraad meet je met $\text{pH} = -\log[H^+]$, waarbij $[H^+]$ de concentratie waterstofionen is. Het minteken spiegelt de logaritmische grafiek in de $x$-as, dus de pH daalt als de concentratie stijgt.

Citroensap heeft $[H^+] = 0{,}01 = 10^{-2}$, dus $\text{pH} = -\log(10^{-2}) = 2$.

Q: Waarom raakt de grafiek de $y$-as nooit?

A: Op de $y$-as geldt $x = 0$, en $\log_b 0$ zou $b^y = 0$ vereisen. Een positief grondtal tot welke macht dan ook is positief, dus geen enkele $y$ werkt. Vlak bij $x = 0$ worden de waarden (voor $b > 1$) heel grote negatieve getallen, daarom duikt de kromme langs de asymptoot omlaag.

Q: Heeft de logaritmische grafiek een horizontale asymptoot zoals de exponentiële?

A: Nee. De exponentiële grafiek heeft de horizontale asymptoot $y = 0$; na het spiegelen in $y = x$ wordt dat de verticale asymptoot $x = 0$. De logaritmische grafiek blijft (voor $b > 1$) stijgen, alleen heel langzaam.

Q: Hoe zien de grafieken van $\log x$ en $\ln x$ eruit?

A: Beide hebben een grondtal groter dan 1 ($10$ en $e \approx 2{,}718$), dus beide zijn stijgend, gaan door $(1, 0)$ en hebben de asymptoot $x = 0$. $\ln x$ gaat door $(e, 1)$ en $\log x$ door $(10, 1)$, daarom stijgt $\ln x$ sneller.

Q: Hoe zie ik of een logaritmische grafiek stijgt of daalt?

A: Kijk naar het grondtal. Als $b > 1$, stijgt de grafiek; als $0 < b < 1$, daalt hij. Ook een minteken ervoor, zoals in $y = -\log_2 x$, maakt van een stijgende grafiek een dalende.