Logaritme van 1 en logaritme van het grondtal

Bereken $\log_9 1 + \log_9 9$.

Bereken $\log_9 1$: Welke macht van $9$ geeft $1$? $9^0 = 1$ = $\log_9 1 = 0$

Bereken $\log_9 9$: Welke macht van $9$ geeft $9$? $9^1 = 9$ = $\log_9 9 = 1$

Tel de uitkomsten op: $0 + 1$ = $1$

Answer: $\log_9 1 + \log_9 9 = 1$

Logaritme van een macht van het grondtal

Bereken $\log_4 64$ zonder rekenmachine.

Schrijf het argument als macht van het grondtal: $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ = $64 = 4^3$

Herschrijf de logaritme: $\log_4 64 = \log_4(4^3)$ = $\log_4(4^3)$

Gebruik $\log_b(b^x) = x$: De logaritme en de macht heffen elkaar op, de exponent blijft over = $3$

Answer: $\log_4 64 = 3$

Grondtal tot de macht een logaritme

Vereenvoudig $3^{\log_3 7} + 2^{\log_2 5}$.

Controleer de grondtallen: In $3^{\log_3 7}$ zijn beide grondtallen $3$, in $2^{\log_2 5}$ zijn beide grondtallen $2$ = De grondtallen zijn gelijk

Pas $b^{\log_b x} = x$ toe op de eerste term: $\log_3 7$ is de exponent die van $3$ een $7$ maakt = $3^{\log_3 7} = 7$

Pas dezelfde eigenschap toe op de tweede term: $\log_2 5$ is de exponent die van $2$ een $5$ maakt = $2^{\log_2 5} = 5$

Tel op: $7 + 5$ = $12$

Answer: $3^{\log_3 7} + 2^{\log_2 5} = 12$

De eigenschap van gelijke logaritmen gebruiken

Los op: $\log_3(2x + 1) = \log_3(x + 6)$.

Hetzelfde grondtal aan beide kanten, dus stel de argumenten gelijk: Als $\log_3 M = \log_3 N$, dan is $M = N$ = $2x + 1 = x + 6$

Los de lineaire vergelijking op: $2x - x = 6 - 1$ = $x = 5$

Controleer of beide argumenten positief zijn: $2 \cdot 5 + 1 = 11 > 0$ en $5 + 6 = 11 > 0$ = Beide argumenten zijn $11$

Answer: $x = 5$

Gelijke logaritmen met controle van het domein

Los op: $\log_4(x^2 - 4) = \log_4(3x)$.

Stel de argumenten gelijk: Gelijke logaritmen met grondtal $4$ = $x^2 - 4 = 3x$

Herleid de kwadratische vergelijking op nul: $x^2 - 3x - 4 = 0$ = $(x - 4)(x + 1) = 0$

Vind beide kandidaten: $x - 4 = 0$ of $x + 1 = 0$ = $x = 4$ of $x = -1$

Controleer $x = -1$: $3x = -3$, en $\log_4(-3)$ bestaat niet = $x = -1$ is een schijnoplossing

Controleer $x = 4$: $4^2 - 4 = 12 > 0$ en $3 \cdot 4 = 12 > 0$ = $x = 4$ klopt

Answer: $x = 4$ (de kandidaat $x = -1$ valt af)

Mistake: $\log_b 1 = 1$ of $\log_b 1 = b$ schrijven

Why: De logaritme is de exponent, niet de uitkomst. De vraag is: welke macht van $b$ geeft $1$?

Correct: $b^0 = 1$, dus $\log_b 1 = 0$ voor elk toegestaan grondtal. Bijvoorbeeld $\log_7 1 = 0$.

Mistake: Denken dat $\log_b 0 = 0$ of dat de logaritme van een negatief getal negatief is

Why: Een positief grondtal tot welke macht dan ook is altijd positief, dus geen enkele exponent geeft $0$ of een negatief getal.

Correct: $\log_b 0$ en $\log_b(-4)$ bestaan niet. Het argument moet groter zijn dan $0$, maar de waarde van een logaritme mag wel negatief zijn: $\log_2 \frac{1}{8} = -3$.

Mistake: Een macht en een logaritme met verschillende grondtallen tegen elkaar wegstrepen: $2^{\log_3 9} = 9$

Why: $b^{\log_b x} = x$ werkt alleen als het grondtal van de macht en het grondtal van de logaritme hetzelfde getal zijn.

Correct: Hier zijn de grondtallen verschillend: $\log_3 9 = 2$, dus $2^{\log_3 9} = 2^2 = 4$, niet $9$.

Mistake: De eigenschap van gelijke logaritmen gebruiken zonder de argumenten te controleren

Why: Als je de argumenten gelijkstelt, kan er een waarde uitkomen die een argument nul of negatief maakt. Daar bestaat de oorspronkelijke logaritme niet.

Correct: Vul elke kandidaat altijd in alle argumenten in. Houd hem alleen als alle argumenten positief zijn.

Geluidsniveau in decibel

Het niveau van een geluid is $L = 10 \log \frac{I}{I_0}$ decibel, waarbij $I_0$ het zachtste geluid is dat een mens kan horen. Met de basiseigenschappen reken je dit snel uit.

Op de gehoordrempel is $I = I_0$, dus $L = 10 \log 1 = 10 \cdot 0 = 0$ decibel.

Zuurgraad en pH

Scheikundigen meten de zuurgraad met $\text{pH} = -\log[H^+]$, waarbij $[H^+]$ de concentratie waterstofionen in mol per liter is. De inverse eigenschap maakt van een pH weer een concentratie.

Zuiver water heeft $[H^+] = 10^{-7}$, dus $\text{pH} = -\log(10^{-7}) = -(-7) = 7$.

Rondes in een knock-outtoernooi

In een knock-outtoernooi valt in elke ronde de helft van de deelnemers af. Met $2^n$ deelnemers zijn er $\log_2(2^n) = n$ rondes tot er één winnaar over is.

Met $16 = 2^4$ teams zijn er $\log_2 16 = \log_2(2^4) = 4$ rondes.

Q: Waarom is $\log_b 1$ altijd $0$?

A: Elk toegestaan grondtal tot de macht $0$ geeft $1$: $2^0 = 1$, $10^0 = 1$, $e^0 = 1$. De logaritme vraagt naar die exponent, dus het antwoord is altijd $0$.

Q: Kan de waarde van een logaritme negatief zijn?

A: Ja. Alleen het argument moet positief zijn. Bijvoorbeeld $\log_{10} 0{,}01 = -2$ want $10^{-2} = 0{,}01$. Het argument $0{,}01$ is positief, de waarde $-2$ is negatief.

Q: Waarom heeft $b^{\log_b x} = x$ de voorwaarde $x > 0$ nodig, terwijl $\log_b(b^x) = x$ voor elke $x$ geldt?

A: In $\log_b(b^x)$ is het argument $b^x$ altijd positief, dus elke reële $x$ mag. In $b^{\log_b x}$ moet eerst $\log_b x$ bestaan, en daarvoor is $x > 0$ nodig.

Q: Waar vind ik de productregel, de quotiëntregel en de machtsregel?

A: Elke regel heeft een eigen les: Productregel voor logaritmen, Quotiëntregel voor logaritmen en Machtsregel voor logaritmen. Ze gebruiken de eigenschappen uit deze les, dus het helpt om deze eerst goed te beheersen.