ln van een macht van e berekenen

Bereken $\ln(e^5)$ zonder rekenmachine.

Schrijf het als vraag: $\ln(e^5)$ vraagt: tot welke macht moet ik $e$ verheffen om $e^5$ te krijgen? = $e^{?} = e^5$

Lees de exponent af: De macht die van $e$ de waarde $e^5$ maakt, is $5$ = $? = 5$

Gebruik de inverse regel: $\ln$ maakt $e^x$ ongedaan: $\ln(e^x) = x$ = $\ln(e^5) = 5$

Answer: $\ln(e^5) = 5$

Wisselen tussen ln-vorm en exponentiële vorm

(a) Schrijf $\ln x = 3$ in exponentiële vorm en bepaal $x$. (b) Schrijf $e^0 = 1$ in logaritmische vorm.

Gebruik de definitie bij (a): $\ln x = y$ betekent $e^y = x$, dus $\ln x = 3$ betekent $e^3 = x$ = $x = e^3$

Reken uit met de rekenmachine: $e^3 \approx 20{,}09$ = $x \approx 20{,}09$

Herschrijf (b) met ln: In $e^0 = 1$ is de exponent $0$ en de uitkomst $1$, dus $\ln 1 = 0$ = $\ln 1 = 0$

Answer: (a) $x = e^3 \approx 20{,}09$. (b) $\ln 1 = 0$.

Vereenvoudigen met de inverse regels

Vereenvoudig $e^{\ln 7}$ en $\ln \sqrt{e}$.

Vereenvoudig $e^{\ln 7}$: $e^x$ maakt $\ln$ ongedaan: $e^{\ln x} = x$ voor $x > 0$ = $e^{\ln 7} = 7$

Schrijf $\sqrt{e}$ als macht van $e$: Een wortel is de macht $\frac{1}{2}$ = $\sqrt{e} = e^{1/2}$

Pas $\ln(e^x) = x$ toe: $\ln(e^{1/2})$ is de exponent $\frac{1}{2}$ = $\ln \sqrt{e} = \frac{1}{2}$

Answer: $e^{\ln 7} = 7$ en $\ln \sqrt{e} = \frac{1}{2} = 0{,}5$

ln berekenen met de rekenmachine

Bepaal $\ln 10$ in 3 decimalen en controleer de uitkomst.

Druk op de toets LN (niet LOG): Typ ln(10) in de rekenmachine = $\ln 10 = 2{,}302585...$

Rond af op 3 decimalen: De 4e decimaal is $5$, dus je rondt naar boven af = $\ln 10 \approx 2{,}303$

Controleer met $e^x$: $e^{2{,}303} \approx 10{,}004$, en dat ligt heel dicht bij $10$ = Controle klopt

Controleer de grootte: $e^2 \approx 7{,}39$ en $e^3 \approx 20{,}09$, en $10$ ligt daartussen = $2 < \ln 10 < 3$

Answer: $\ln 10 \approx 2{,}303$

Een exponentiële vergelijking oplossen met ln

Los $3e^{2x} = 60$ op. Rond af op 3 decimalen.

Zet de macht van $e$ apart: Deel beide kanten door $3$: $e^{2x} = \frac{60}{3}$ = $e^{2x} = 20$

Neem $\ln$ van beide kanten: $\ln(e^{2x}) = \ln 20$, en $\ln(e^{2x}) = 2x$ = $2x = \ln 20$

Bereken $\ln 20$: Rekenmachine: $\ln 20 \approx 2{,}9957$ = $2x \approx 2{,}9957$

Deel door 2: $x = \frac{\ln 20}{2} \approx 1{,}4979$ = $x \approx 1{,}498$

Controleer: $3e^{2 \cdot 1{,}498} = 3e^{2{,}996} \approx 3 \cdot 20{,}005 \approx 60$ = Controle klopt

Answer: $x = \frac{\ln 20}{2} \approx 1{,}498$

Mistake: $\ln 1 = 1$ of $\ln e = 0$ schrijven

Why: De twee belangrijke waarden worden makkelijk verwisseld. $\ln$ geeft een exponent, niet het getal zelf.

Correct: $\ln 1 = 0$ want $e^0 = 1$, en $\ln e = 1$ want $e^1 = e$.

Mistake: De $\ln$ nemen van nul of een negatief getal, zoals $\ln 0$ of $\ln(-3)$

Why: $e^y$ is altijd positief, wat $y$ ook is. Geen enkele macht van $e$ geeft $0$ of een negatief getal.

Correct: $\ln x$ bestaat alleen voor $x > 0$. De rekenmachine geeft een foutmelding bij $\ln 0$ en $\ln(-3)$.

Mistake: Op de rekenmachine LOG indrukken in plaats van LN

Why: LOG is de briggse logaritme (grondtal 10), LN is de natuurlijke logaritme (grondtal $e$). Ze geven verschillende uitkomsten.

Correct: $\log 10 = 1$, maar $\ln 10 \approx 2{,}303$. Gebruik LN zodra het grondtal $e$ is.

Mistake: $e^x = 20$ oplossen door te delen: $x = \frac{20}{e}$

Why: $x$ is een exponent, geen factor. Delen door $e$ maakt het machtsverheffen niet ongedaan.

Correct: Maak $e^x$ ongedaan met $\ln$: $x = \ln 20 \approx 2{,}996$.

Biologie: wanneer bereikt de kweek het doel?

Een bacteriekweek met genoeg voedsel groeit continu volgens $N = N_0 e^{rt}$. Om te weten WANNEER hij een bepaalde grootte bereikt, heb je $\ln$ nodig om $t$ uit de exponent te halen.

Bij $N = 1000e^{0{,}3t}$ bereikt de kweek 3000 als $e^{0{,}3t} = 3$, dus $0{,}3t = \ln 3$ en $t = \frac{\ln 3}{0{,}3} \approx 3{,}66$ uur.

Financiën: verdubbelingstijd bij continue rente

Banken vergelijken spaaraanbiedingen met continue samengestelde rente, $A = Pe^{rt}$. De tijd die nodig is om geld te verdubbelen is $t = \frac{\ln 2}{r}$.

Bij 7 % continue rente verdubbelt geld na $\frac{\ln 2}{0{,}07} \approx 9{,}90$ jaar. Omdat $\ln 2 \approx 0{,}693$, gebruiken bankiers de "regel van 70": 70 gedeeld door het rentepercentage.

Geneeskunde: hoe lang een medicijn in het bloed blijft

Veel medicijnen worden continu afgebroken, dus de hoeveelheid in het bloed volgt $C = C_0 e^{-kt}$. Artsen gebruiken $\ln$ om te bepalen wanneer de volgende dosis nodig is.

Een medicijn met $k = 0{,}25$ per uur heeft een halveringstijd van $\frac{\ln 2}{0{,}25} \approx 2{,}77$ uur: daarna is nog de helft over.

Q: Waarom heet het de natuurlijke logaritme?

A: Omdat het grondtal $e$ vanzelf opduikt: bij continue groei, bij continue rente en in de analyse, waar $e^x$ en $\ln x$ de eenvoudigste veranderingssnelheden hebben. De "n" in $\ln$ komt van het Latijnse "logarithmus naturalis".

Q: Is ln hetzelfde als log?

A: Nee. $\log x$ (briggse logaritme) heeft grondtal 10 en $\ln x$ heeft grondtal $e$. Zo is $\log 100 = 2$, maar $\ln 100 \approx 4{,}605$. Beide beantwoorden hetzelfde soort vraag, alleen het grondtal verschilt.

Q: Waarom geeft mijn rekenmachine een foutmelding bij ln(0)?

A: Omdat $e^y$ altijd positief is: er is geen macht van $e$ die $0$ of een negatief getal oplevert. De grafiek van $y = \ln x$ ligt alleen rechts van de $y$-as, die een verticale asymptoot is.

Q: Hoe hangen de grafieken van $y = e^x$ en $y = \ln x$ samen?

A: Ze zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn $y = x$, omdat het inverse functies zijn. Het punt $(0, 1)$ op $y = e^x$ hoort bij het punt $(1, 0)$ op $y = \ln x$, en $(1, e)$ hoort bij $(e, 1)$.