De regel controleren met getallen

Laat zien dat $\log_2(4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8$.

Bereken het linkerlid: $4 \cdot 8 = 32$ en $2^5 = 32$ = $\log_2 32 = 5$

Bereken elke logaritme in het rechterlid: $2^2 = 4$ en $2^3 = 8$ = $\log_2 4 = 2$, $\log_2 8 = 3$

Tel op en vergelijk: $2 + 3 = 5$, hetzelfde als links = $5 = 5$

Answer: Beide kanten zijn $5$: $4$ keer $8$ telt de exponenten $2$ en $3$ op.

Een logaritme uitschrijven

Schrijf $\log_3(9x)$ zo ver mogelijk uit ($x > 0$).

Schrijf het product als een som: $\log_3(9x) = \log_3 9 + \log_3 x$ = $\log_3 9 + \log_3 x$

Bereken de logaritme die lukt: $3^2 = 9$, dus $\log_3 9 = 2$ = $2$

Schrijf de eindvorm: Vervang $\log_3 9$ door $2$ = $2 + \log_3 x$

Answer: $\log_3(9x) = 2 + \log_3 x$

Een som van logaritmen samenvoegen

Schrijf $\log_4 2 + \log_4 8$ als één logaritme en bereken die.

Controleer of de grondtallen gelijk zijn: Beide logaritmen hebben grondtal $4$, dus de regel geldt = Hetzelfde grondtal

Vermenigvuldig de argumenten: $\log_4 2 + \log_4 8 = \log_4(2 \cdot 8)$ = $\log_4 16$

Bereken: $4^2 = 16$ = $\log_4 16 = 2$

Answer: $\log_4 2 + \log_4 8 = \log_4 16 = 2$

Rekenen met bekende logaritmen

Gebruik $\log 2 \approx 0{,}301$ en $\log 3 \approx 0{,}477$ (briggse logaritmen, grondtal 10) om $\log 12$ te benaderen.

Ontbind het argument in getallen waarvan je de logaritme kent: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ = $\log 12 = \log 2 + \log 2 + \log 3$

Vul de bekende waarden in: $0{,}301 + 0{,}301 + 0{,}477$ = $1{,}079$

Controleer met de rekenmachine: $\log 12 = 1{,}07918\ldots$ = $\log 12 \approx 1{,}079$

Answer: $\log 12 \approx 1{,}079$

Samenvoegen met variabelen

Schrijf $\log_2 x + \log_2(x + 2)$ als één logaritme en bereken die voor $x = 2$.

Vermenigvuldig de argumenten: $\log_2 x + \log_2(x+2) = \log_2\big(x(x+2)\big)$ = $\log_2(x^2 + 2x)$

Let op het domein: Beide oorspronkelijke logaritmen vragen $x > 0$ en $x + 2 > 0$ = $x > 0$

Vul $x = 2$ in: $2^2 + 2 \cdot 2 = 8$ = $\log_2 8$

Bereken en controleer: $\log_2 8 = 3$, en $\log_2 2 + \log_2 4 = 1 + 2 = 3$ = $3$

Answer: $\log_2(x^2 + 2x)$ voor $x > 0$; bij $x = 2$ is de waarde $3$.

Mistake: $\log(M + N) = \log M + \log N$ schrijven

Why: De regel gaat over een product in de logaritme, niet over een som. Controle: $\log(6 + 4) = \log 10 = 1$, maar $\log 6 + \log 4 \approx 0{,}778 + 0{,}602 = 1{,}380$.

Correct: Alleen $\log(MN) = \log M + \log N$ klopt. De logaritme van een som, zoals $\log(x + 3)$, kun je niet splitsen.

Mistake: De logaritmen vermenigvuldigen: $\log_b(MN) = \log_b M \cdot \log_b N$

Why: Als je de getallen vermenigvuldigt, tel je de exponenten op, je vermenigvuldigt ze niet. Controle: $\log_2 4 \cdot \log_2 8 = 2 \cdot 3 = 6$, maar $\log_2 32 = 5$.

Correct: Een product binnen wordt een som buiten: $\log_2(4 \cdot 8) = 2 + 3 = 5$.

Mistake: Logaritmen met verschillende grondtallen samenvoegen: $\log_2 x + \log_3 y = \log_6(xy)$

Why: Het bewijs gebruikt $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$, en dat werkt alleen als beide machten hetzelfde grondtal $b$ hebben.

Correct: Voeg alleen logaritmen met hetzelfde grondtal samen. $\log_2 x + \log_3 y$ blijft zoals het is (of gebruik eerst de formule voor verandering van grondtal).

Mistake: De regel gebruiken met negatieve factoren: $\log\big((-2)(-5)\big) = \log(-2) + \log(-5)$

Why: $\log 10 = 1$ bestaat, maar $\log(-2)$ en $\log(-5)$ bestaan niet: het argument van een logaritme moet positief zijn.

Correct: De regel vraagt $M > 0$ en $N > 0$. Bij samenvoegen houd je het domein van de oorspronkelijke logaritmen aan (bijvoorbeeld $x > 0$).

Decibel en geluidsintensiteit

Het geluidsniveau in decibel is $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$. Als de intensiteit $I$ met een factor $k$ wordt vermenigvuldigd, geeft de productregel $\log(k \cdot \frac{I}{I_0}) = \log k + \log\frac{I}{I_0}$, dus het niveau stijgt met $10 \log k$.

Een geluid dat 10 keer intenser wordt, stijgt $10 \log 10 = 10$ decibel, ongeacht het beginniveau.

De rekenliniaal: vermenigvuldigen door optellen

Een rekenliniaal zet elk getal $x$ op een afstand $\log x$ van het begin. Door de ene schaal langs de andere te schuiven tel je twee afstanden op, en volgens de productregel is de som van de afstanden de logaritme van het product.

Voor $2 \cdot 3$ tel je $\log 2 + \log 3 \approx 0{,}301 + 0{,}477 = 0{,}778$ op, en precies daar staat de $6$.

Bits aan informatie

In de informatica heb je $\log_2 N$ bits nodig om één van $N$ even waarschijnlijke mogelijkheden op te slaan. Twee onafhankelijke keuzes combineren vermenigvuldigt de mogelijkheden, maar telt de bits op.

Een keuze uit $8$ symbolen kost $\log_2 8 = 3$ bits, een keuze uit $4$ kost $2$ bits, en samen zijn er $32$ mogelijkheden: $\log_2 32 = 3 + 2 = 5$ bits.

Q: Werkt de productregel ook met meer dan twee factoren?

A: Ja. Pas hem gewoon vaker toe: $\log_b(MNP) = \log_b M + \log_b N + \log_b P$. Bijvoorbeeld $\log 42 = \log 2 + \log 3 + \log 7$.

Q: Werkt hij ook voor de natuurlijke logaritme?

A: Ja, hij werkt voor elk geldig grondtal, ook voor $e$: $\ln(MN) = \ln M + \ln N$. Bijvoorbeeld $\ln 2 + \ln 5 = \ln 10$.

Q: Bestaat er een regel voor $\log(M + N)$?

A: Nee. De logaritme van een som heeft in het algemeen geen eenvoudigere vorm. $\log(6 + 4) = \log 10 = 1$, terwijl $\log 6 + \log 4 \approx 1{,}380$.

Q: Wat is het verschil met de quotiëntregel en de machtsregel?

A: Het zijn broertjes van hetzelfde idee. De productregel maakt van vermenigvuldigen optellen; de Quotiëntregel voor logaritmen maakt van delen aftrekken; de Machtsregel voor logaritmen maakt van een macht een vermenigvuldiging met de exponent.