Quotiëntregel voor logaritmen

De **quotiëntregel voor logaritmen** zegt: de logaritme van een quotiënt is de logaritme van de teller **min** de logaritme van de noemer. $$\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$$ De regel geldt voor $M > 0$, $N > 0$ en een grondtal $b > 0$ met $b \neq 1$. **Waarom het klopt:** een logaritme is een exponent. Stel $\log_b M = x$ en $\log_b N = y$, dus $M = b^x$ en $N = b^y$. Bij het delen van machten met hetzelfde grondtal trek je de exponenten van elkaar af: $$\dfrac{M}{N} = \dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y} \quad\Rightarrow\quad \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = x - y = \log_b M - \log_b N$$ Het is de tweelingregel van de productregel ($\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$): vermenigvuldigen binnen de logaritme wordt optellen erbuiten, en delen binnen de logaritme wordt aftrekken erbuiten. **Voorbeeld:** $\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4 = 5 - 2 = 3$, en inderdaad is $\log_2 8 = 3$. Je kunt de regel in twee richtingen gebruiken: - **Uitschrijven (splitsen):** de logaritme van een quotiënt opsplitsen in een verschil, $\log_3\left(\dfrac{x}{7}\right) = \log_3 x - \log_3 7$ - **Samenvoegen:** een verschil samenvoegen tot één logaritme, $\log 500 - \log 5 = \log 100 = 2$

De regel controleren met getallen

Laat zien dat $\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4$.

Bereken het linkerlid direct: $\dfrac{32}{4} = 8$ en $2^3 = 8$ = $\log_2 8 = 3$

Bereken elke logaritme in het rechterlid: $2^5 = 32$ en $2^2 = 4$ = $\log_2 32 = 5$, $\log_2 4 = 2$

Trek af: $5 - 2 = 3$ = $3$

Vergelijk beide leden: Linkerlid $3$, rechterlid $3$ = Beide leden zijn gelijk

Answer: Beide leden zijn $3$, dus $\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4$.

Een verschil samenvoegen

Schrijf $\log_3 54 - \log_3 2$ als één logaritme en bereken die.

Controleer of de grondtallen gelijk zijn: Beide logaritmen hebben grondtal $3$ = De quotiëntregel is toepasbaar

Voeg samen tot één logaritme (teller: de eerste term): $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3\left(\dfrac{54}{2}\right)$ = $\log_3 27$

Bereken: $3^3 = 27$ = $\log_3 27 = 3$

Answer: $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 27 = 3$

Een quotiënt met een variabele uitschrijven

Schrijf $\log_5\left(\dfrac{x}{25}\right)$ uit voor $x > 0$ en vereenvoudig zo ver mogelijk.

Pas de quotiëntregel toe: Teller min noemer: $\log_5\left(\dfrac{x}{25}\right) = \log_5 x - \log_5 25$ = $\log_5 x - \log_5 25$

Bereken het getalgedeelte: $5^2 = 25$ = $\log_5 25 = 2$

Schrijf de vereenvoudigde vorm op: $\log_5 x$ kan niet verder vereenvoudigd worden = $\log_5 x - 2$

Answer: $\log_5\left(\dfrac{x}{25}\right) = \log_5 x - 2$

Quotiëntregel en productregel samen

Schrijf $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right)$ uit voor $a, b, c > 0$.

Splits eerst het quotiënt: $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right) = \log(ab) - \log c$ = $\log(ab) - \log c$

Splits het product met de productregel: $\log(ab) = \log a + \log b$ = $\log a + \log b - \log c$

Controleer met getallen ($a = 20$, $b = 5$, $c = 10$): $\log\left(\dfrac{100}{10}\right) = \log 10 = 1$ en $\log 20 + \log 5 - \log 10 = \log 100 - 1 = 1$ = Beide geven $1$

Answer: $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right) = \log a + \log b - \log c$

Drie logaritmen samenvoegen

Bereken $\log 40 + \log 50 - \log 2$ zonder rekenmachine ($\log$ is de briggse logaritme, met grondtal 10).

Voeg de som samen met de productregel: $\log 40 + \log 50 = \log(40 \cdot 50)$ = $\log 2000$

Voeg het verschil samen met de quotiëntregel: $\log 2000 - \log 2 = \log\left(\dfrac{2000}{2}\right)$ = $\log 1000$

Schrijf $1000$ als macht van $10$: $1000 = 10^3$ = $\log 1000 = 3$

Answer: $\log 40 + \log 50 - \log 2 = \log 1000 = 3$

De quotiëntregel maakt van een deling een aftrekking, en dat is precies wat veel formules nodig hebben: - **Twee metingen vergelijken**: decibel, pH en de schaal van Richter vergelijken een grootheid met een referentiewaarde via $\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$. De quotiëntregel laat zien dat het verschil tussen twee niveaus alleen afhangt van de verhouding van de twee grootheden. - **Geluid**: twee geluiden waarvan de intensiteiten zich verhouden als $1000$ verschillen $10 \log 1000 = 30$ decibel, hoe hard ze ook zijn. - **Scheikunde**: twee oplossingen waarvan de concentraties waterstofionen een factor $100$ verschillen, liggen op de pH-schaal precies $2$ uit elkaar. - **Uitdrukkingen vereenvoudigen**: $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right)$ uitschrijven als $\log a + \log b - \log c$ maakt latere algebra (en analyse) veel makkelijker. - **Vergelijkingen oplossen**: $\log_3 x - \log_3 4$ samenvoegen tot $\log_3\left(\dfrac{x}{4}\right)$ is vaak de eerste stap bij het oplossen van een logaritmische vergelijking. Samen met de productregel en de machtsregel kun je met de quotiëntregel bijna elke logaritmische uitdrukking herschrijven in de vorm die je nodig hebt.

Mistake: $\dfrac{\log M}{\log N} = \log\left(\dfrac{M}{N}\right)$ schrijven

Why: Een quotiënt van twee logaritmen is niet de logaritme van een quotiënt. Probeer het: $\dfrac{\log 100}{\log 10} = \dfrac{2}{1} = 2$, maar $\log\left(\dfrac{100}{10}\right) = \log 10 = 1$.

Correct: De regel maakt van een deling BINNEN de logaritme een aftrekking: $\log\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log M - \log N$. Voor de breuk $\dfrac{\log M}{\log N}$ bestaat zo'n kortere weg niet.

Mistake: $\log(M - N) = \log M - \log N$ schrijven

Why: De regel gaat over een quotiënt binnen de logaritme, niet over een verschil. Probeer het: $\log(100 - 10) = \log 90 \approx 1{,}954$, maar $\log 100 - \log 10 = 1$.

Correct: Er is geen regel die $\log(M - N)$ splitst. Alleen $\log\left(\dfrac{M}{N}\right)$ wordt $\log M - \log N$.

Mistake: In de verkeerde volgorde aftrekken: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b N - \log_b M$

Why: Aftrekken is niet commutatief, dus de volgorde telt. $\log_2\left(\dfrac{8}{2}\right) = \log_2 4 = 2$, maar $\log_2 2 - \log_2 8 = 1 - 3 = -2$.

Correct: Eerst de teller, min de noemer: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$.

Mistake: $\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log N + \log P$ schrijven

Why: Zowel $N$ als $P$ staan in de noemer, dus worden beide logaritmen afgetrokken. De $+$ behandelt $P$ alsof het in de teller staat.

Correct: $\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log(NP) = \log M - \log N - \log P$. Gebruik haakjes: $\log M - (\log N + \log P)$.

Geluidsniveaus vergelijken in decibel

Het geluidsniveau is $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ decibel, met $I$ de intensiteit en $I_0$ een vaste referentie. Volgens de quotiëntregel is het verschil van twee niveaus $10(\log I_A - \log I_B) = 10 \log\left(\dfrac{I_A}{I_B}\right)$: de referentie $I_0$ valt weg.

Een geluid dat 100 keer zo intens is als een ander, is $10 \log 100 = 20$ decibel harder.

Zuurgraad vergelijken met de pH

In de scheikunde geldt $\text{pH} = -\log[H^+]$, met $[H^+]$ de concentratie waterstofionen. Volgens de quotiëntregel is het pH-verschil van twee oplossingen de logaritme van de verhouding van hun concentraties.

Koffie heeft $[H^+] = 10^{-5}$ en zuiver water $10^{-7}$. Het pH-verschil is $\log\left(\dfrac{10^{-5}}{10^{-7}}\right) = \log 100 = 2$ (pH 5 tegenover pH 7).

Aardbevingen vergelijken op de schaal van Richter

De magnitude van Richter is $M = \log\left(\dfrac{A}{A_0}\right)$, met $A$ de amplitude van de grondbeweging en $A_0$ een referentieamplitude. Voor twee aardbevingen gemeten op dezelfde afstand geeft de quotiëntregel $M_1 - M_2 = \log\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)$.

Heeft een aardbeving 10 keer de amplitude van een andere, dan is de magnitude $\log 10 = 1$ hoger.

Quotiëntregel: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ voor $M, N > 0$

Ze volgt uit de rekenregel voor machten $\dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y}$: bij het delen van machten trek je exponenten af

Uitschrijven splitst de logaritme van een quotiënt in een verschil; samenvoegen maakt van een verschil één logaritme

Eerst de teller: je trekt altijd de logaritme van de noemer af

Met de productregel: $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right) = \log a + \log b - \log c$ en $\log\left(\dfrac{a}{bc}\right) = \log a - \log b - \log c$

$\dfrac{\log M}{\log N}$ en $\log(M - N)$ zijn NIET gelijk aan $\log\left(\dfrac{M}{N}\right)$

Q: Moeten beide logaritmen hetzelfde grondtal hebben?

A: Ja. $\log_b M - \log_b N = \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)$ werkt alleen als beide termen hetzelfde grondtal $b$ hebben. Een verschil als $\log_2 8 - \log_3 9$ kun je met deze regel niet samenvoegen tot één logaritme.

Q: Wat gebeurt er als het quotiënt kleiner is dan 1?

A: Dan is de logaritme negatief (bij een grondtal groter dan 1), en de regel laat zien waarom: $\log_2\left(\dfrac{1}{8}\right) = \log_2 1 - \log_2 8 = 0 - 3 = -3$. In het algemeen geldt $\log_b\left(\dfrac{1}{N}\right) = -\log_b N$.

Q: Kan ik $\log\left(\dfrac{x}{x - 2}\right)$ uitschrijven?

A: Ja, voor $x > 2$: $\log x - \log(x - 2)$. Maar $\log(x - 2)$ blijft zoals het is, want er bestaat geen regel voor de logaritme van een verschil.

Q: Waarom heet het de tweelingregel van de productregel?

A: Delen door $N$ is vermenigvuldigen met $\dfrac{1}{N}$, dus $\log\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log M + \log\left(\dfrac{1}{N}\right) = \log M - \log N$. Elke stap met de quotiëntregel is eigenlijk een vermomde stap met de productregel.

Presentatie afsluiten

Quotiëntregel voor logaritmen

1 / 14

Precalculus / Logaritmen

Quotiëntregel voor logaritmen

Ontdek waarom de logaritme van een quotiënt een verschil van logaritmen is, en gebruik de regel om uit te schrijven en samen te voegen.

Gevorderd25 min

Gebruik pijltjestoetsen of spatiebalk om te navigeren