Kaarten trekken zonder teruglegging

Een standaard kaartspel heeft 52 kaarten. Je trekt 2 kaarten zonder teruglegging. Wat is de kans dat beide kaarten harten zijn?

Vind P(eerste harten): Er zijn 13 harten van 52 kaarten = $P(H_1) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$

Vind P(tweede harten | eerste was harten): Na het trekken van 1 harten: 12 harten over, 51 kaarten totaal = $P(H_2 | H_1) = \frac{12}{51}$

Vermenigvuldig de kansen: $P(H_1 \text{ en } H_2) = \frac{13}{52} \times \frac{12}{51}$ = $= \frac{156}{2652}$

Vereenvoudig: $\frac{156}{2652} = \frac{1}{17}$ = $\approx 0{,}059$ of ongeveer $5{,}9\%$

Answer: De kans om 2 harten achter elkaar te trekken is $\frac{1}{17}$ of ongeveer $5{,}9\%$

Selecteren uit een groep

Een zak bevat 6 rode knikkers en 4 blauwe knikkers. Je trekt 2 knikkers zonder teruglegging. Wat is de kans om eerst een rode knikker te trekken en dan een blauwe?

Vind P(rood eerst): 6 rode knikkers van 10 totaal = $P(R) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Vind P(blauw tweede | rood eerst): Na het verwijderen van 1 rode: 4 blauwe van 9 overgebleven = $P(B | R) = \frac{4}{9}$

Vermenigvuldig de kansen: $P(R \text{ dan } B) = \frac{3}{5} \times \frac{4}{9}$ = $= \frac{12}{45}$

Vereenvoudig: $\frac{12}{45} = \frac{4}{15}$ = $\approx 0{,}267$ of ongeveer $26{,}7\%$

Answer: De kans is $\frac{4}{15}$ of ongeveer $26{,}7\%$

Drie afhankelijke gebeurtenissen

Een pot bevat 5 rode, 3 groene en 2 gele snoepjes. Je pakt 3 snoepjes zonder teruglegging. Wat is de kans om rood, dan groen, dan geel te pakken?

Vind P(rood eerst): 5 rode van 10 totaal = $P(R) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Vind P(groen tweede | rood eerst): 3 groene van 9 overgebleven = $P(G | R) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Vind P(geel derde | rood dan groen): 2 gele van 8 overgebleven = $P(Y | R,G) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Vermenigvuldig alle kansen: $P(R,G,Y) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{4}$ = $= \frac{1}{24} \approx 4{,}2\%$

Answer: De kans is $\frac{1}{24}$ of ongeveer $4{,}2\%$

Mistake: Dezelfde noemer gebruiken voor beide gebeurtenissen

Why: Bij trekken zonder teruglegging neemt het totale aantal elementen af. 52 gebruiken voor beide kaarttrekkingen negeert deze verandering.

Correct: Na de eerste trekking de noemer verlagen. Tweede trekking uit 51 kaarten, derde trekking uit 50 kaarten, enz.

Mistake: Vergeten de teller aan te passen

Why: Als je eerst een harten trekt, zijn er nog maar 12 harten over, niet 13. De eerste gebeurtenis verandert wat er overblijft.

Correct: Bij het trekken van dezelfde categorie, zowel teller ALS noemer verlagen. Bij een andere categorie, alleen de noemer verlagen.

Mistake: Afhankelijke gebeurtenissen behandelen als onafhankelijk

Why: Het gebruik van $P(A) \times P(B)$ in plaats van $P(A) \times P(B|A)$ geeft verkeerde antwoorden voor afhankelijke gebeurtenissen.

Correct: Vraag jezelf altijd af: Verandert de eerste gebeurtenis wat beschikbaar is voor de tweede? Zo ja, dan zijn de gebeurtenissen afhankelijk.

Kwaliteitscontrole

Fabrieken testen productmonsters. Elk getest artikel wordt uit de partij verwijderd, waardoor volgende selecties afhankelijk worden.

Een doos heeft 100 lampen, 5 defect. Test van 3 zonder teruglegging: $P(\text{alle goed}) = \frac{95}{100} \times \frac{94}{99} \times \frac{93}{98}$

Kaartspelstrategieen

Professionele kaartspelers houden bij welke kaarten zijn gespeeld om resterende kansen te berekenen.

Bij blackjack, als 3 azen zijn gedeeld uit een enkel spel, is de kans dat de volgende kaart een aas is $\frac{1}{49}$, niet $\frac{4}{52}$.

Commissieleden selecteren

Bij het kiezen van mensen voor commissies verkleint elke selectie de pool voor volgende keuzes.

Uit 8 mannen en 6 vrouwen, 2 personen selecteren: $P(\text{beide vrouwen}) = \frac{6}{14} \times \frac{5}{13}$

Q: Hoe weet ik of gebeurtenissen afhankelijk of onafhankelijk zijn?

A: Vraag: Verandert de eerste gebeurtenis wat mogelijk is voor de tweede? Kaarten trekken zonder teruglegging is afhankelijk (spel krimpt). Twee keer een dobbelsteen gooien is onafhankelijk (eerste worp beinvloedt de tweede niet).

Q: Wat betekent 'zonder teruglegging'?

A: Het betekent dat je het element niet terugzet nadat je het hebt geselecteerd. Dit verandert de kansen voor volgende selecties omdat zowel het totale aantal als mogelijk het aantal gewenste elementen afneemt.

Q: Kunnen gebeurtenissen afhankelijk zijn zelfs met teruglegging?

A: Ja! Als de uitkomst van een gebeurtenis je informatie geeft die de kans op een andere verandert, zijn ze afhankelijk. Bijvoorbeeld, weten dat het vandaag heeft geregend beinvloedt de kans dat het morgen regent.