Kansen bij de normale verdeling

**Kansen bij de normale verdeling** beantwoorden vragen als "Welk deel van de flessen bevat minder dan 494 mL?" wanneer een grootheid $X$ een **normale verdeling** volgt met gemiddelde $\mu$ en standaarddeviatie (standaardafwijking) $\sigma$, gemeten in echte eenheden (cm, punten, uren, mL). De kans is de **oppervlakte onder de klokkromme** boven de waarden waarnaar je vraagt. Elke normale kromme wordt met één stap de kromme van de standaardnormale verdeling, dus je hebt altijd maar één tabel nodig. ## De methode in vier stappen 1. **Schets en arceer** het gebied: links van $a$, rechts van $a$ of tussen $a$ en $b$. 2. **Standaardiseer**: reken elke waarde om naar een **z-score** $$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$ 3. **Lees de z-tabel af**: die geeft de oppervlakte **links** van $z$, dus $P(Z < z)$ (zie de les over de standaardnormale verdeling). 4. **Pas aan op het gebied**: - Links: $P(X < a) = P(Z < z_a)$ - Rechts: $P(X > a) = 1 - P(Z < z_a)$ - Ertussen: $P(a < X < b) = P(Z < z_b) - P(Z < z_a)$ ## Terugrekenen: percentielen en grenswaarden Soms is de oppervlakte gegeven en ontbreekt de waarde ("Welke score hoort bij de beste 10%?"). Zoek in de tabel de $z$ met de passende oppervlakte links en reken terug naar echte eenheden: $$x = \mu + z\sigma$$ Een kans van $0{,}9332$ betekent ook **93,32% van de populatie**, dus elk antwoord kun je lezen als een deel van mensen, flessen of accu's.

Oppervlakte links: korter dan 174 cm

De lengte van vrouwen in een land is normaal verdeeld met $\mu = 165$ cm en $\sigma = 6$ cm. Welk deel van de vrouwen is korter dan 174 cm?

Schets en arceer: Arceer de oppervlakte links van 174 cm, dat ligt rechts van het gemiddelde 165 cm = Het antwoord moet groter zijn dan 0,5

Standaardiseer: $z = \frac{174 - 165}{6} = \frac{9}{6}$ = $z = 1{,}5$

Lees de z-tabel af: Rij 1,5, kolom 0,00 = $P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332$

Interpreteer: Een oppervlakte links hoeft niet aangepast te worden = $P(X < 174) = 0{,}9332$

Answer: $P(X < 174) = 0{,}9332$: ongeveer 93,32% van de vrouwen is korter dan 174 cm.

Oppervlakte rechts: accu's die langer dan 14 uur meegaan

Een telefoonaccu gaat gemiddeld $\mu = 12$ uur mee met $\sigma = 1{,}6$ uur, normaal verdeeld. Hoe groot is de kans dat een accu langer dan 14 uur meegaat?

Schets en arceer: Arceer de rechterstaart vanaf 14 uur = Een kleine oppervlakte, kleiner dan 0,5

Standaardiseer: $z = \frac{14 - 12}{1{,}6} = \frac{2}{1{,}6}$ = $z = 1{,}25$

Lees de z-tabel af: Rij 1,2, kolom 0,05 = $P(Z < 1{,}25) = 0{,}8944$

Neem het complement: De tabel geeft de oppervlakte links, dus trek je af van 1: $1 - 0{,}8944$ = $P(X > 14) = 0{,}1056$

Answer: $P(X > 14) = 0{,}1056$: ongeveer 10,56% van de accu's gaat langer dan 14 uur mee.

Oppervlakte tussen twee waarden: examenscores

Examenscores zijn normaal verdeeld met $\mu = 70$ en $\sigma = 8$. Welk percentage van de leerlingen scoort tussen 62 en 86 punten?

Standaardiseer de onderste waarde: $z_1 = \frac{62 - 70}{8} = \frac{-8}{8}$ = $z_1 = -1$

Standaardiseer de bovenste waarde: $z_2 = \frac{86 - 70}{8} = \frac{16}{8}$ = $z_2 = 2$

Lees beide oppervlakten links af: $P(Z < 2) = 0{,}9772$ en $P(Z < -1) = 0{,}1587$ = Twee tabelwaarden

Trek af: grote oppervlakte links min kleine oppervlakte links: $0{,}9772 - 0{,}1587$ = $0{,}8185$

Answer: $P(62 < X < 86) = 0{,}8185$, dus ongeveer 81,85% van de leerlingen scoort tussen 62 en 86 punten.

Terugrekenen: de score voor de beste 10%

Bij hetzelfde examen ($\mu = 70$, $\sigma = 8$) krijgt de beste 10% een certificaat. Wat is de laagste score die een certificaat oplevert?

Maak van de beste 10% een oppervlakte links: 10% rechts betekent $1 - 0{,}10 = 0{,}90$ links = Zoek 0,90 binnen in de tabel

Zoek z in de tabel: De dichtstbijzijnde tabelwaarde is $0{,}8997$, in rij 1,2 en kolom 0,08 = $z \approx 1{,}28$

Reken terug naar echte eenheden: $x = \mu + z\sigma = 70 + 1{,}28 \times 8 = 70 + 10{,}24$ = $x = 80{,}24$

Answer: Vanaf ongeveer 80,24 punten hoor je bij de beste 10%. Met hele punten heb je 81 nodig.

Van kans naar aantal: te weinig gevulde flessen

Een machine vult flessen met $\mu = 500$ mL en $\sigma = 4$ mL. Ze vult 2000 flessen per dag. Ongeveer hoeveel flessen bevatten minder dan 494 mL?

Standaardiseer: $z = \frac{494 - 500}{4} = \frac{-6}{4}$ = $z = -1{,}5$

Lees de z-tabel af: Rij -1,5, kolom 0,00 = $P(Z < -1{,}5) = 0{,}0668$

Vermenigvuldig met het aantal flessen: $0{,}0668 \times 2000$ = $133{,}6$

Answer: Ongeveer 134 flessen per dag (6,68% van 2000) bevatten minder dan 494 mL.

Kansen bij de normale verdeling maken van een gemiddelde en een standaarddeviatie concrete beslissingen: - **Productie**: welk deel van de flessen is te weinig gevuld, en hoe stel je de machine in zodat dat bijna nooit gebeurt - **Gezondheid**: artsen vergelijken de lengte of het gewicht van een kind met groeicurven, en dat zijn percentielen van een normale verdeling - **Onderwijs**: examencommissies bepalen de score voor de beste 10% of hoeveel leerlingen slagen - **Producten**: een bedrijf kan "90% van de accu's gaat minstens 18 uur mee" pas beloven na deze berekening - **Sport en wetenschap**: of een resultaat ongewoon is, hangt af van hoeveel oppervlakte erachter ligt Dezelfde vier stappen beantwoorden al deze vragen, in welke eenheden dan ook.

Mistake: Bij een vraag "groter dan" de tabelwaarde direct gebruiken, bijvoorbeeld $P(X > 14) = 0{,}8944$

Why: De z-tabel geeft altijd de oppervlakte LINKS van $z$. De rechterstaart is al de rest.

Correct: Trek af van 1: $P(X > 14) = 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056$. Een snelle schets laat zien dat de rechterstaart klein is, dus 0,8944 kan niet kloppen.

Mistake: Eerst de z-scores van elkaar aftrekken: $P(-1 < Z < 2) = P(Z < 2 - (-1)) = P(Z < 3)$

Why: Zo werken oppervlakten onder een kromme niet. Je hebt de oppervlakte tot elke grens nodig en daarna het verschil van die oppervlakten.

Correct: Lees beide oppervlakten links af en trek ze van elkaar af: $0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$.

Mistake: In de verkeerde volgorde standaardiseren of door het verkeerde getal delen: $z = \frac{\mu - x}{\sigma}$ of $z = \frac{x - \mu}{\sigma^2}$

Why: Als je de aftrekking omdraait, verandert het teken en kom je aan de verkeerde kant van het gemiddelde uit. Delen door de variantie geeft een verkeerde afstand.

Correct: Altijd $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$: waarden boven het gemiddelde krijgen een positieve $z$, waarden eronder een negatieve $z$.

Mistake: Bij terugrekenen het percentage als z-score gebruiken (z = 0,90) of de verkeerde staart nemen (z = -1,28 voor de beste 10%)

Why: Het percentage is een OPPERVLAKTE, die je binnen in de tabel zoekt. De z-score lees je af aan de randen van rijen en kolommen.

Correct: De beste 10% betekent 0,90 links, dat geeft $z \approx 1{,}28$ (positief, boven het gemiddelde). De laagste 10% geeft $z \approx -1{,}28$.

Kwaliteitscontrole: te weinig gevulde blikjes

Frisdrankfabrieken controleren welk deel van de blikjes onder de hoeveelheid op het etiket zit, en stellen de vulmachines bij.

Een lijn vult blikjes met $\mu = 330$ mL en $\sigma = 2$ mL. Elk blikje onder 327 mL wordt gemarkeerd als te weinig gevuld.

Groeicurven op het consultatiebureau

Artsen vergelijken baby's met groeicurven. Elke lijn in de grafiek is een percentiel van een normale verdeling.

In een onderzoek is het gewicht van baby's van 6 maanden ongeveer normaal verdeeld met $\mu = 8$ kg en $\sigma = 0{,}5$ kg. Een baby onder het 10e percentiel krijgt een extra controle.

Een stadsmarathon plannen

Organisatoren schatten hoeveel lopers op bepaalde momenten op het parcours zijn, om drinkposten en vrijwilligers te plannen.

De finishtijden zijn ongeveer normaal verdeeld met $\mu = 240$ minuten en $\sigma = 30$ minuten. De organisatie wil weten welk deel van de lopers tussen 225 en 285 minuten finisht.

Voor een kans bij de normale verdeling schets je het gebied, standaardiseer je met $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$, lees je de z-tabel af en pas je aan

De z-tabel geeft de oppervlakte LINKS: $P(X < a) = P(Z < z_a)$

Rechterstaart: $P(X > a) = 1 - P(Z < z_a)$

Tussen twee waarden: $P(a < X < b) = P(Z < z_b) - P(Z < z_a)$

Terugrekenen: zoek $z$ bij de gegeven oppervlakte binnen in de tabel, dan $x = \mu + z\sigma$ (beste 10% betekent $z \approx 1{,}28$)

Een kans is ook een deel van de populatie: $0{,}0668$ van 2000 flessen is ongeveer 134 flessen

Q: Is $P(X < 174)$ iets anders dan $P(X \le 174)$?

A: Nee. Bij een continue grootheid heeft één losse waarde kans 0, dus $<$ en $\le$ geven dezelfde oppervlakte. Bij de binomiale verdeling is dat anders, daar maakt het wel uit.

Q: Mijn z-score heeft drie decimalen, zoals 1,645. Wat doe ik?

A: Rond voor de tabel af op twee decimalen, of neem een waarde tussen de twee buren in de tabel. Bij $z = 1{,}645$ liggen 0,9495 en 0,9505 even dichtbij, dus 0,95 is een goed antwoord.

Q: En als de z-score buiten de tabel valt, zoals $z = 4$?

A: Tabellen stoppen meestal bij ongeveer 3,49. Daarbuiten is de oppervlakte links praktisch 1 (bij een grote positieve z) of praktisch 0 (bij een grote negatieve z). Zulke waarden zijn uiterst zeldzaam.

Q: Waarom hoort bij een percentiel de oppervlakte links?

A: Het 90e percentiel is de waarde waaronder 90% van de populatie ligt. "Eronder" is de linkerkant van de kromme, en precies dat meet de z-tabel.

Presentatie afsluiten

Kansen bij de normale verdeling

1 / 14

Kansrekening / Kansverdelingen

Kansen bij de normale verdeling

Bereken kansen en percentielen voor normaal verdeelde gegevens in echte eenheden: standaardiseren, de z-tabel aflezen en terugrekenen naar grenswaarden.

Gevorderd30 min

Gebruik pijltjestoetsen of spatiebalk om te navigeren