Een z-score berekenen

Bij een wiskundetoets hebben de scores gemiddelde $\mu = 74$ punten en standaarddeviatie $\sigma = 6$ punten. Mia haalde $82$. Wat is haar z-score?

Schrijf de formule op: $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ = $x = 82$, $\mu = 74$, $\sigma = 6$

Trek het gemiddelde eraf (afstand tot het gemiddelde): $82 - 74 = 8$ = Mia zit 8 punten boven het gemiddelde

Deel door de standaarddeviatie: $z = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33$ = $z \approx 1{,}33$

Answer: $z \approx 1{,}33$: Mia zit ongeveer 1,33 standaarddeviaties boven het klasgemiddelde.

Een negatieve z-score

Op een school hebben de lengtes van 15-jarigen $\mu = 170$ cm en $\sigma = 8$ cm. Tom is $158$ cm lang. Bereken zijn z-score en leg uit wat die betekent.

Trek het gemiddelde eraf: $158 - 170 = -12$ = Tom zit 12 cm onder het gemiddelde

Deel door de standaarddeviatie: $z = \frac{-12}{8} = -1{,}5$ = $z = -1{,}5$

Interpreteer het teken en de grootte: Negatief teken: onder het gemiddelde. Grootte $1{,}5$: anderhalve standaarddeviatie = 1,5 standaarddeviaties onder het gemiddelde

Answer: $z = -1{,}5$: Tom is 1,5 standaarddeviaties kleiner dan gemiddeld. Een negatieve z-score is niet slecht, hij betekent alleen: onder het gemiddelde.

Van een z-score terug naar een waarde

De examenscores hebben $\mu = 64$ en $\sigma = 8$. Het hoogste cijfer krijgt iedereen met $z \ge 1{,}5$. Wat is de laagste score die het hoogste cijfer oplevert?

Los de formule op naar x: $z = \frac{x - \mu}{\sigma} \Rightarrow x = \mu + z\sigma$ = $x = \mu + z\sigma$

Bereken hoe ver dat boven het gemiddelde ligt: $z\sigma = 1{,}5 \cdot 8 = 12$ = 12 punten boven het gemiddelde

Tel het op bij het gemiddelde: $x = 64 + 12 = 76$ = $x = 76$

Answer: Vanaf $76$ punten krijg je het hoogste cijfer.

Wie deed het relatief beter?

Mia haalde $82$ op een wiskundetoets ($\mu = 74$, $\sigma = 6$). Leo haalde $88$ op een natuurkundetoets in een andere klas ($\mu = 80$, $\sigma = 8$). Leo heeft meer punten. Wie deed het beter vergeleken met de eigen klas?

Bereken de z-score van Mia: $z_{Mia} = \frac{82 - 74}{6} = \frac{8}{6} \approx 1{,}33$ = $z_{Mia} \approx 1{,}33$

Bereken de z-score van Leo: $z_{Leo} = \frac{88 - 80}{8} = \frac{8}{8} = 1$ = $z_{Leo} = 1$

Vergelijk de z-scores: $1{,}33 > 1$ = Mia steekt meer boven haar klas uit

Answer: Mia deed het relatief beter. Allebei zaten ze 8 punten boven hun gemiddelde, maar in de klas van Mia lagen de scores minder ver uit elkaar, dus haar 8 punten staan voor meer standaarddeviaties.

Is deze waarde ongewoon?

Het geboortegewicht van baby's is ongeveer normaal verdeeld met $\mu = 3{,}4$ kg en $\sigma = 0{,}5$ kg. Een baby weegt $2{,}2$ kg. Is dit gewicht ongewoon? Bepaal ook het gebied van gewone gewichten (binnen 2 standaarddeviaties).

Bereken de z-score: $z = \frac{2{,}2 - 3{,}4}{0{,}5} = \frac{-1{,}2}{0{,}5} = -2{,}4$ = $z = -2{,}4$

Vergelijk met de vuistregel $|z| > 2$: $|-2{,}4| = 2{,}4 > 2$ = Ongewoon (ongewoon licht)

Bepaal de ondergrens van het gewone gebied: $x = 3{,}4 + (-2) \cdot 0{,}5 = 2{,}4$ = $2{,}4$ kg

Bepaal de bovengrens van het gewone gebied: $x = 3{,}4 + 2 \cdot 0{,}5 = 4{,}4$ = $4{,}4$ kg

Answer: $z = -2{,}4$, dus $2{,}2$ kg is ongewoon licht. Gewone gewichten liggen tussen $2{,}4$ kg en $4{,}4$ kg.

Mistake: In de verkeerde volgorde aftrekken: $\frac{\mu - x}{\sigma}$

Why: Daardoor draait het teken om. Een waarde boven het gemiddelde krijgt dan een negatieve z-score, die precies het tegenovergestelde zegt.

Correct: Altijd waarde min gemiddelde: $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$. Voor $x = 82$, $\mu = 74$, $\sigma = 6$: $z = \frac{8}{6} \approx 1{,}33$, niet $-1{,}33$.

Mistake: De haakjes vergeten: $82 - 74 / 6$ intikken op de rekenmachine

Why: De rekenmachine deelt eerst en rekent $82 - 12{,}33 = 69{,}67$ uit, en dat is helemaal geen z-score.

Correct: Eerst aftrekken, dan delen: $(82 - 74) / 6 \approx 1{,}33$.

Mistake: Ruwe scores van verschillende toetsen direct vergelijken

Why: 88 punten op een toets met $\mu = 80$, $\sigma = 8$ is niet vanzelf beter dan 82 punten op een toets met $\mu = 74$, $\sigma = 6$. De toetsen hebben een ander gemiddelde en een andere spreiding.

Correct: Reken eerst elke waarde om naar een z-score en vergelijk dan: $1$ tegen $1{,}33$, dus de 82 is relatief beter.

Mistake: Denken dat een negatieve z-score een slecht resultaat betekent

Why: Het teken zegt alleen of de waarde onder of boven het gemiddelde ligt. Of dat goed is, hangt van de situatie af.

Correct: Bij looptijden of prijzen is lager beter, dus $z = -2$ kan een uitstekend resultaat zijn. Bij toetsscores is hoger beter.

Sport: sprinttijden vergelijken

Trainers vergelijken sporters met z-scores. Bij hardlopen is een kortere tijd beter, dus een negatieve z-score betekent sneller dan gemiddeld.

Bij een regionale 100 meter hebben de tijden $\mu = 11{,}0$ s en $\sigma = 0{,}2$ s. Een tijd van $11{,}3$ s heeft $z = \frac{0{,}3}{0{,}2} = 1{,}5$: langzamer dan gemiddeld.

Geneeskunde: groeicurves

Kinderartsen geven de lengte of het gewicht van een kind als z-score ten opzichte van kinderen van dezelfde leeftijd. Waarden onder $z = -2$ worden beter bekeken.

Een kind met lengte-z-score $z = 0$ is precies gemiddeld voor zijn leeftijd, met $z = 1$ is het een standaarddeviatie langer dan gemiddeld.

Kwaliteitscontrole: pakken ontbijtgranen

Een fabriek vult pakken ontbijtgranen. Pakken waarvan het gewicht $|z| > 2$ heeft, worden van de band gehaald en gecontroleerd.

De vulmachine geeft $\mu = 500$ g en $\sigma = 4$ g. Een pak van $504$ g heeft $z = 1$: heel gewoon.

Q: Kan een z-score een kommagetal zijn of groter dan 3?

A: Ja. De meeste z-scores zijn kommagetallen zoals $1{,}33$ of $-0{,}75$. Waarden boven $3$ of onder $-3$ zijn mogelijk, maar komen in een normale verdeling heel zelden voor.

Q: Moeten de gegevens normaal verdeeld zijn voor een z-score?

A: Je kunt een z-score berekenen voor alle gegevens met een gemiddelde en een standaarddeviatie. Hem omzetten in een percentage (zoals met de 68-95-99,7-regel) werkt alleen goed als de gegevens ongeveer normaal verdeeld zijn.

Q: Waarom is de z-score van het gemiddelde altijd 0?

A: Omdat $x - \mu = 0$ als $x = \mu$, en $0$ gedeeld door $\sigma$ is $0$. Het gemiddelde ligt nul standaarddeviaties van zichzelf af.

Q: Wat is het verschil tussen een z-score en een percentiel?

A: Een z-score meet een afstand in standaarddeviaties, een percentiel zegt welk percentage van de waarden eronder ligt. Ze hangen samen (bij normaal verdeelde gegevens ligt $z = 1$ ongeveer bij het 84e percentiel), en in de volgende lessen leer je ze in elkaar om te rekenen.