Studie-uren en toetsscores

Vijf leerlingen noteerden hun studie-uren en toetsscores: $(1, 64)$, $(2, 63)$, $(3, 77)$, $(4, 71)$, $(5, 75)$. Bereken $r$ en interpreteer de waarde.

Bereken de gemiddelden: $\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3$, $\bar{y} = \frac{64+63+77+71+75}{5} = \frac{350}{5} = 70$ = $\bar{x} = 3$, $\bar{y} = 70$

Bereken de afwijkingen: $x_i - \bar{x}$: $-2, -1, 0, 1, 2$ $y_i - \bar{y}$: $-6, -7, 7, 1, 5$ = Elke som van afwijkingen is $0$ (een snelle controle)

Vermenigvuldig de afwijkingen en tel op: $(-2)(-6) + (-1)(-7) + (0)(7) + (1)(1) + (2)(5) = 12 + 7 + 0 + 1 + 10$ = $S_{xy} = 30$

Kwadrateer de afwijkingen en tel op: $S_{xx} = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10$ $S_{yy} = 36 + 49 + 49 + 1 + 25 = 160$ = $S_{xx} = 10$, $S_{yy} = 160$

Vul de formule in: $r = \frac{30}{\sqrt{10 \cdot 160}} = \frac{30}{\sqrt{1600}} = \frac{30}{40}$ = $r = 0{,}75$

Interpreteer in de context: Positief teken, $|r| = 0{,}75$ ligt in de band $0{,}60$ tot $0{,}79$ = Sterke positieve correlatie

Answer: $r = 0{,}75$: een sterke positieve correlatie. Leerlingen die langer studeerden, scoorden meestal hoger, al scoorde de leerling met 1 uur beter dan die met 2 uur, dus het patroon is niet perfect.

Buitentemperatuur en verwarming

Een gezin noteert op vijf dagen de gemiddelde buitentemperatuur (°C) en de energie voor verwarming (kWh): $(0, 38)$, $(5, 34)$, $(10, 26)$, $(15, 30)$, $(20, 22)$. Bereken $r$ en beschrijf het verband.

Bereken de gemiddelden: $\bar{x} = \frac{0+5+10+15+20}{5} = 10$, $\bar{y} = \frac{38+34+26+30+22}{5} = \frac{150}{5} = 30$ = $\bar{x} = 10$, $\bar{y} = 30$

Bereken de afwijkingen: $x_i - \bar{x}$: $-10, -5, 0, 5, 10$ $y_i - \bar{y}$: $8, 4, -4, 0, -8$ = Afwijkingen berekend

Vermenigvuldig de afwijkingen en tel op: $(-10)(8) + (-5)(4) + (0)(-4) + (5)(0) + (10)(-8) = -80 - 20 + 0 + 0 - 80$ = $S_{xy} = -180$

Kwadrateer de afwijkingen en tel op: $S_{xx} = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250$ $S_{yy} = 64 + 16 + 16 + 0 + 64 = 160$ = $S_{xx} = 250$, $S_{yy} = 160$

Vul de formule in: $r = \frac{-180}{\sqrt{250 \cdot 160}} = \frac{-180}{\sqrt{40000}} = \frac{-180}{200}$ = $r = -0{,}90$

Interpreteer in de context: Negatief teken, $|r| = 0{,}90$ ligt in de band $0{,}80$ tot $1{,}00$ = Zeer sterke negatieve correlatie

Answer: $r = -0{,}90$: een zeer sterke negatieve correlatie. Op warmere dagen gebruikte het gezin minder energie voor verwarming.

Is de oorzakelijke bewering gerechtvaardigd?

In tien herfstweken noteerde een stad de verkoop van paraplu's en het aantal verkeersongelukken en vond $r = 0{,}95$. De lokale krant schrijft: "Paraplu's veroorzaken ongelukken." Is deze bewering gerechtvaardigd?

Beschrijf richting en sterkte: $r = 0{,}95 > 0$ en $|r| = 0{,}95$ ligt in de band $0{,}80$ tot $1{,}00$ = Zeer sterke positieve correlatie

Vraag je af hoe de gegevens verzameld zijn: Niemand kreeg de opdracht wel of geen paraplu te kopen; de stad telde alleen wat er gebeurde = Observatiegegevens, geen experiment

Zoek een verstorende variabele: In regenachtige weken kopen mensen paraplu's, en natte wegen en slecht zicht zorgen ook voor meer ongelukken = Verstorende variabele: regenachtig weer

Geef een oordeel: De correlatie is echt, maar de regen verklaart beide variabelen = De oorzakelijke bewering is niet gerechtvaardigd

Answer: Niet gerechtvaardigd. De correlatie is zeer sterk ($r = 0{,}95$), maar het zijn observatiegegevens en regenachtig weer stuwt zowel de verkoop van paraplu's als het aantal ongelukken. Alleen een gecontroleerd experiment kan een oorzaak toetsen.

Eén uitschieter verandert alles

Een leerling meet mest (g) en plantengroei (cm): $(1, 2)$, $(2, 4)$, $(3, 6)$, $(4, 8)$, $(5, 0)$. De laatste plant werd door een slak opgegeten. Bereken $r$ voor alle vijf planten en vergelijk met $r$ voor de eerste vier.

Bekijk de eerste vier punten: $(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)$ liggen allemaal op de lijn $y = 2x$ = Zonder de uitschieter: $r = 1$

Bereken de gemiddelden van alle vijf punten: $\bar{x} = \frac{15}{5} = 3$, $\bar{y} = \frac{2+4+6+8+0}{5} = \frac{20}{5} = 4$ = $\bar{x} = 3$, $\bar{y} = 4$

Bereken de afwijkingen: $x_i - \bar{x}$: $-2, -1, 0, 1, 2$ $y_i - \bar{y}$: $-2, 0, 2, 4, -4$ = Afwijkingen berekend

Vermenigvuldig de afwijkingen en tel op: $(-2)(-2) + (-1)(0) + (0)(2) + (1)(4) + (2)(-4) = 4 + 0 + 0 + 4 - 8$ = $S_{xy} = 0$

Vul de formule in: $S_{xx} = 10$, $S_{yy} = 4 + 0 + 4 + 16 + 16 = 40$, dus $r = \frac{0}{\sqrt{10 \cdot 40}} = \frac{0}{20}$ = Met de uitschieter: $r = 0$

Beslis wat je rapporteert: De slak is een bekende reden die niets met de mest te maken heeft = Beide waarden geven en uitleggen waarom de uitschieter is weggelaten

Answer: Met de uitschieter is $r = 0$, zonder is $r = 1$. Eén punt wiste een perfecte correlatie uit. Omdat de uitschieter een duidelijke reden heeft (de slak), mag je hem weglaten, zolang je dat vermeldt.

Zon en zwembadbezoekers (r afronden)

Een buitenzwembad vergelijkt op vier dagen de zonuren met het aantal bezoekers (in honderden): $(2, 4)$, $(4, 5)$, $(6, 9)$, $(8, 10)$. Bereken $r$ op 2 decimalen en interpreteer de waarde.

Bereken de gemiddelden: $\bar{x} = \frac{2+4+6+8}{4} = 5$, $\bar{y} = \frac{4+5+9+10}{4} = \frac{28}{4} = 7$ = $\bar{x} = 5$, $\bar{y} = 7$

Bereken de afwijkingen: $x_i - \bar{x}$: $-3, -1, 1, 3$ $y_i - \bar{y}$: $-3, -2, 2, 3$ = Afwijkingen berekend

Bereken de drie sommen: $S_{xy} = 9 + 2 + 2 + 9 = 22$ $S_{xx} = 9 + 1 + 1 + 9 = 20$ $S_{yy} = 9 + 4 + 4 + 9 = 26$ = $S_{xy} = 22$, $S_{xx} = 20$, $S_{yy} = 26$

Vul de formule in en rond pas aan het eind af: $r = \frac{22}{\sqrt{20 \cdot 26}} = \frac{22}{\sqrt{520}} \approx \frac{22}{22{,}80} \approx 0{,}9648$ = $r \approx 0{,}96$

Interpreteer in de context: Positief teken, $|r| \approx 0{,}96$ ligt in de band $0{,}80$ tot $1{,}00$ = Zeer sterke positieve correlatie

Answer: $r \approx 0{,}96$: een zeer sterke positieve correlatie. Zonnigere dagen gingen samen met meer bezoekers. Het is geloofwaardig dat zon zwemmers trekt, maar vier waargenomen dagen bewijzen nog steeds geen oorzaak.

Mistake: De ruwe waarden $x_i y_i$ vermenigvuldigen in plaats van de afwijkingen

Why: De formule $r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} S_{yy}}}$ gebruikt de afstanden tot de gemiddelden. Ruwe producten zijn bij positieve gegevens altijd groot en positief en geven een verkeerde $r$.

Correct: Trek eerst de gemiddelden af. Snelle controle: de afwijkingen van elke variabele tellen op tot $0$.

Mistake: De wortel vergeten of te vroeg afronden

Why: $\frac{30}{10 \cdot 160} \approx 0{,}019$ is niet $r$. Wie $\sqrt{520}$ afrondt op $23$, krijgt $0{,}957$ in plaats van $0{,}965$.

Correct: Neem de wortel van $S_{xx} \cdot S_{yy}$ en rond alleen het eindantwoord af op 2 decimalen.

Mistake: Een sterke $r$ zien als bewijs dat de ene variabele de andere veroorzaakt

Why: Observatiegegevens kunnen een sterke correlatie tonen doordat een verstorende variabele beide beïnvloedt, zoals regenachtig weer zowel de verkoop van paraplu's als het aantal verkeersongelukken beïnvloedt.

Correct: Zeg "hangt samen met". Alleen een gerandomiseerd gecontroleerd experiment kan een oorzakelijke bewering rechtvaardigen.

Mistake: Een uitschieter negeren of zonder reden schrappen

Why: Eén punt kan $r$ van $1$ naar $0$ brengen. Negeren verbergt het probleem; schrappen alleen omdat het niet uitkomt, is oneerlijk.

Correct: Teken de gegevens, bereken $r$ met en zonder de uitschieter en laat hem alleen weg met een duidelijke reden (meetfout, slak), en vermeld dat je dat deed.

Sportwetenschap

Coaches vergelijken wekelijkse trainingsuren met looptijden om te zien of meer training samengaat met snellere runs.

Voor een hardloopclub zijn de sommen $S_{xy} = -45$, $S_{xx} = 25$ en $S_{yy} = 100$. Een negatieve $r$ betekent: meer training, lagere (snellere) tijden.

Kritisch nieuws lezen

Journalisten en lezers moeten beslissen of een gemelde correlatie een bewering over oorzaak en gevolg ondersteunt.

Een rapport vindt $r = 0{,}83$ tussen het aantal tv's per 100 inwoners van een land en de levensverwachting, en een blog beweert dat tv's je langer laten leven.

Kwaliteitscontrole van sensoren

Ingenieurs controleren meetgegevens op foute metingen, omdat één verkeerde waarde een perfect verband kan verbergen.

Een temperatuursensor wordt getest bij vijf instellingen: $(2, 10)$, $(4, 14)$, $(6, 18)$, $(8, 22)$ en een foute meting $(10, 6)$.

Q: Waarom tellen de afwijkingen altijd op tot nul?

A: Het gemiddelde is het evenwichtspunt van de gegevens: de waarden erboven en eronder heffen elkaar precies op. Als je afwijkingen niet optellen tot $0$, zit er een fout in het gemiddelde of in een aftrekking.

Q: Verandert $r$ als je bij elke waarde hetzelfde getal optelt?

A: Nee. Een constante optellen verschuift alle punten samen, dus de afwijkingen blijven gelijk. Ook vermenigvuldigen met een positief getal (bijvoorbeeld uren naar minuten) verandert $r$ niet. Vermenigvuldig je één variabele met een negatief getal, dan draait het teken van $r$ om.

Q: Wanneer mag je een uitschieter weglaten?

A: Als je een duidelijke reden hebt die niets met het resultaat te maken heeft: een meetfout, een typefout, een plant die door een slak is opgegeten. Vermeld altijd dat je hem weggelaten hebt en geef, als het kan, $r$ met en zonder dat punt.

Q: Hoe kun je causaliteit dan wel aantonen?

A: Met een gerandomiseerd gecontroleerd experiment: je deelt de behandeling (bijvoorbeeld mest) willekeurig toe aan sommige proefobjecten en aan andere niet, houdt al het andere gelijk en vergelijkt. Willekeurige toewijzing verdeelt verstorende variabelen gelijk over beide groepen.