Richtingscoëfficiënt en startgetal in context uitleggen

Een café noteerde op vijf ochtenden de buitentemperatuur $x$ (in °C, van $0$ tot $20$) en het aantal verkochte warme dranken $y$. De regressielijn is $\hat{y} = 110 - 3x$. Leg de richtingscoëfficiënt en het startgetal uit.

Richtingscoëfficiënt en startgetal aflezen: $\hat{y} = -3x + 110$, dus $m = -3$ en $b = 110$ = $m = -3$, $b = 110$

Richtingscoëfficiënt met eenheden uitleggen: Per 1 °C warmer verandert het voorspelde aantal warme dranken met $-3$ = Gemiddeld ongeveer 3 warme dranken minder per extra graad

Startgetal met eenheden uitleggen: Bij $x = 0$ °C voorspelt het model $\hat{y} = 110 - 3 \cdot 0 = 110$ = Ongeveer 110 warme dranken op een ochtend van 0 °C

Controleren of het startgetal zinvol is: $0$ °C is een echte temperatuur en ligt binnen het bereik van de gegevens, van $0$ tot $20$ = Het startgetal heeft hier een echte betekenis

Answer: Richtingscoëfficiënt: per 1 °C temperatuurstijging verkoopt het café volgens het model ongeveer 3 warme dranken minder. Startgetal: op een ochtend van 0 °C voorspelt het model ongeveer 110 warme dranken; dat is zinvol, want 0 °C hoort bij de gegevens.

De regressielijn opstellen met de kleinste-kwadratenmethode

Vijf leerlingen gaven hun studie-uren per week $x$ en hun toetsscore $y$ (van de 100) op: | Uren $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |---|---|---|---|---|---| | Score $y$ | 52 | 60 | 68 | 76 | 74 | Bepaal de regressielijn met de kleinste-kwadratenmethode.

Gemiddelden berekenen: $\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3$, $\bar{y} = \frac{52+60+68+76+74}{5} = \frac{330}{5} = 66$ = $\bar{x} = 3$, $\bar{y} = 66$

Afwijkingen van de gemiddelden berekenen: $x - \bar{x}$: $-2, -1, 0, 1, 2$; $y - \bar{y}$: $-14, -6, 2, 10, 8$ = Afwijkingen genoteerd

Sommen voor de richtingscoëfficiënt berekenen: $\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y}) = 28 + 6 + 0 + 10 + 16 = 60$; $\sum(x-\bar{x})^2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10$ = $60$ en $10$

Richtingscoëfficiënt berekenen: $m = \frac{60}{10} = 6$ = $m = 6$

Startgetal berekenen: $b = \bar{y} - m\bar{x} = 66 - 6 \cdot 3 = 48$ = $b = 48$

Answer: De regressielijn is $\hat{y} = 6x + 48$: elk extra studie-uur per week gaat gemiddeld samen met ongeveer 6 punten meer op de toets.

Interpolatie of extrapolatie?

Gebruik $\hat{y} = 6x + 48$ uit de studiegegevens (van $1$ tot $5$ uur). Voorspel de score van een leerling die $2{,}5$ uur studeert en van een leerling die $9$ uur studeert. Welke voorspelling kun je vertrouwen?

Voorspellen voor 2,5 uur: $\hat{y} = 6 \cdot 2{,}5 + 48 = 15 + 48 = 63$ = $\hat{y} = 63$ punten

Eerste voorspelling indelen: $2{,}5$ ligt tussen $1$ en $5$, dus binnen de gegevens = Interpolatie

Voorspellen voor 9 uur: $\hat{y} = 6 \cdot 9 + 48 = 54 + 48 = 102$ = $\hat{y} = 102$ punten

Tweede voorspelling indelen en beoordelen: $9$ ligt ver boven $5$, en $102$ is meer dan het maximum van $100$ punten = Extrapolatie, niet geloofwaardig

Answer: Voor 2,5 uur voorspelt het model 63 punten (interpolatie, redelijk). Voor 9 uur voorspelt het 102 punten, wat onmogelijk is bij een toets van 100 punten: dit is extrapolatie ver buiten de gegevens, dus daar mag je de lijn niet gebruiken.

Residuen van twee leerlingen

Bepaal met $\hat{y} = 6x + 48$ het residu van de leerling die $4$ uur studeerde en $76$ scoorde, en van de leerling die $5$ uur studeerde en $74$ scoorde. Wat vertellen ze je?

Voorspelde score voor 4 uur: $\hat{y} = 6 \cdot 4 + 48 = 72$ = $\hat{y} = 72$

Residu voor 4 uur: $e = y - \hat{y} = 76 - 72 = 4$ = $e = 4$ (boven de lijn)

Voorspelde score voor 5 uur: $\hat{y} = 6 \cdot 5 + 48 = 78$ = $\hat{y} = 78$

Residu voor 5 uur: $e = 74 - 78 = -4$ = $e = -4$ (onder de lijn)

Answer: De leerling met 4 uur scoorde 4 punten meer dan voorspeld (residu $4$), de leerling met 5 uur 4 punten minder dan voorspeld (residu $-4$). Tik in de grafiek hierboven op een punt om zijn residu te zien.

Hoe goed past de lijn? r en R²

Bij de gegevens van het café zijn de residuen $5, -10, 0, 10, -5$ en de totale variatie van de verkoop is $\sum(y - \bar{y})^2 = 2500$. Bepaal $R^2$ en $r$ en leg ze uit in context.

Kwadratensom van de residuen: $25 + 100 + 0 + 100 + 25 = 250$ = $SS_{\text{res}} = 250$

Determinatiecoëfficiënt: $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}} = 1 - \frac{250}{2500} = 1 - 0{,}1 = 0{,}9$ = $R^2 = 0{,}90$

Correlatiecoëfficiënt: $r = -\sqrt{0{,}9} \approx -0{,}95$ (negatief, omdat de richtingscoëfficiënt $-3$ negatief is) = $r \approx -0{,}95$

Beide uitleggen in context: $r$: sterk negatief lineair verband; $R^2$: $90\,\%$ van de variatie in verkochte warme dranken wordt verklaard door de temperatuur = Goede passing, 10 % blijft over voor andere factoren

Answer: $R^2 = 0{,}90$: ongeveer 90 % van de variatie in het aantal verkochte warme dranken wordt verklaard door het lineaire verband met de temperatuur; de overige 10 % komt door andere factoren (dag van de week, evenementen, toeval). $r \approx -0{,}95$: een sterk negatief lineair verband, warmere ochtenden gaan samen met minder warme dranken.

Mistake: De richtingscoëfficiënt als kaal getal geven: "de richtingscoëfficiënt is 6"

Why: Een getal zonder context beantwoordt de vraag niet. De richtingscoëfficiënt is een veranderingssnelheid: hij heeft eenheden nodig en het woord "voorspeld" of "gemiddeld", omdat echte punten rond de lijn spreiden.

Correct: Zeg: "Per extra studie-uur per week stijgt de voorspelde toetsscore met ongeveer 6 punten."

Mistake: Een voorspelling ver buiten de gegevens vertrouwen (extrapolatie)

Why: De lijn is alleen aan het waargenomen bereik aangepast. Daarbuiten kan het patroon veranderen en kan de lijn onmogelijke waarden geven, zoals een score van 120 van de 100 of een negatief aantal verkopen.

Correct: Controleer eerst het bereik van $x$. Binnen het bereik: interpolatie. Erbuiten: extrapolatie, dus zeg dat de voorspelling onbetrouwbaar is.

Mistake: Het residu omgekeerd berekenen: $\hat{y} - y$

Why: Dan draait het teken om en wordt "boven de lijn" ineens "onder de lijn". Volgens afspraak is het residu werkelijke min voorspelde waarde.

Correct: Gebruik altijd $e = y - \hat{y}$: positief betekent dat het model te laag voorspelde, negatief dat het te hoog voorspelde.

Mistake: $R^2 = 0{,}9$ lezen als "90 % van de punten ligt op de lijn" of "het model heeft 90 % van de keren gelijk"

Why: $R^2$ meet hoeveel van de variatie in $y$ het lineaire verband verklaart. Alle punten kunnen naast de lijn liggen en toch kan $R^2$ gelijk zijn aan 0,9.

Correct: Zeg: "90 % van de variatie in $y$ wordt verklaard door het lineaire verband met $x$."

Biologielab: groei van een plant

Bij biologie meten leerlingen elke week een kiemplant en passen ze een regressielijn toe op de hoogte tegen de tijd om de groeisnelheid te beschrijven.

Bij $\hat{y} = 2{,}5x + 4$ (hoogte in cm, $x$ in weken, gegevens van week 0 tot week 8) zegt de richtingscoëfficiënt dat de plant ongeveer 2,5 cm per week groeit en het startgetal dat hij bij het begin van de metingen ongeveer 4 cm hoog was.

Levertijden van een webwinkel

Bezorgdiensten modelleren de levertijd als functie van de afstand om klanten een verwachte aankomsttijd te geven en routes te vinden die trager zijn dan verwacht.

Met $\hat{y} = 12 + 3x$ (minuten, $x$ = afstand in km, gegevens van 1 tot 10 km) wordt voor een bezorging van 4 km een duur van $12 + 12 = 24$ minuten voorspeld.

Batterijtests van smartphones

Techrecensenten zetten schermtijd af tegen batterijverbruik en geven aan hoe sterk het verband is, zodat lezers weten hoeveel ze op de regressielijn kunnen vertrouwen.

Als schermtijd en batterijverbruik $r = 0{,}8$ hebben, dan is $R^2 = 0{,}64$: 64 % van de variatie in batterijverbruik wordt verklaard door de schermtijd.

Q: Heeft het startgetal altijd een betekenis?

A: Nee. Het is de voorspelde $y$ bij $x = 0$. Als $x = 0$ onmogelijk is (iemand van 0 cm lang) of ver van de gegevens ligt (een huis van 0 m²), dan is het startgetal alleen een getal dat de lijn vastlegt, niet iets om te interpreteren.

Q: Hoe ver buiten de gegevens mag ik voorspellen?

A: Er is geen veilige afstand. Net buiten het bereik kan het nog kloppen als het patroon duidelijk doorloopt, maar elke extrapolatie moet je als onzeker aangeven, en voorspellingen ver weg (of onmogelijke waarden) gebruik je niet.

Q: Wat is het verschil tussen r en R²?

A: $r$ ligt tussen $-1$ en $1$ en toont de richting (het teken) en de sterkte van een lineair verband. $R^2 = r^2$ ligt tussen $0$ en $1$ en zegt welk deel van de variatie in $y$ de lijn verklaart. $R^2$ verliest het teken, dus kijk voor de richting naar de richtingscoëfficiënt.

Q: Als R² hoog is, veroorzaakt x dan y?

A: Niet per se. Een hoge $R^2$ zegt alleen dat de lijn goed bij de gegevens past. Een verstorende variabele of toeval kan het patroon veroorzaken; alleen een gecontroleerd experiment kan oorzaak en gevolg aantonen.