Eén residu berekenen

De regressielijn voor studie-uren ($x$) en toetsscore ($y$) is $\hat{y} = 5x + 50$. Mia studeerde $4$ uur en haalde $72$. Bereken haar residu.

Bereken de voorspelde score: $\hat{y} = 5(4) + 50 = 20 + 50$ = $\hat{y} = 70$

Trek af: waargenomen min voorspeld: $e = y - \hat{y} = 72 - 70$ = $e = 2$

Interpreteer het teken: $e > 0$, dus het punt van Mia ligt boven de lijn = Ze haalde 2 punten meer dan voorspeld

Answer: Het residu van Mia is $2$: ze haalde 2 punten meer dan de lijn voorspelde, dus haar punt ligt boven de lijn.

Een negatief residu

Met dezelfde lijn $\hat{y} = 5x + 50$: Leo studeerde $3$ uur en haalde $62$. Bereken zijn residu en leg uit wat het betekent.

Bereken de voorspelde score: $\hat{y} = 5(3) + 50 = 15 + 50$ = $\hat{y} = 65$

Trek af: waargenomen min voorspeld: $e = 62 - 65$ = $e = -3$

Interpreteer het teken: $e < 0$, dus het punt van Leo ligt onder de lijn = De lijn overschatte zijn score met 3

Answer: Het residu van Leo is $-3$: zijn punt ligt 3 punten onder de lijn, dus de lijn voorspelde voor hem te veel.

Een residuentabel

Zes leerlingen gaven deze gegevens (studie-uren, toetsscore): $(1, 57)$, $(2, 58)$, $(3, 62)$, $(4, 72)$, $(5, 78)$, $(6, 78)$. De kleinste-kwadratenlijn is $\hat{y} = 5x + 50$. Maak een tabel van de residuen en tel ze op.

Bereken de voorspelde waarde voor elke x: $\hat{y} = 55, 60, 65, 70, 75, 80$ = Eén voorspelling per leerling

Trek elke voorspelling af van de waargenomen score: | $x$ | $y$ | $\hat{y}$ | $e = y - \hat{y}$ | |---|---|---|---| | 1 | 57 | 55 | 2 | | 2 | 58 | 60 | -2 | | 3 | 62 | 65 | -3 | | 4 | 72 | 70 | 2 | | 5 | 78 | 75 | 3 | | 6 | 78 | 80 | -2 | = Residuen: $2, -2, -3, 2, 3, -2$

Tel de residuen op: $2 + (-2) + (-3) + 2 + 3 + (-2)$ = $\sum e = 0$

Answer: De residuen zijn $2, -2, -3, 2, 3, -2$ en hun som is $0$. Dat gebeurt altijd bij de kleinste-kwadratenlijn: de positieve en negatieve afwijkingen heffen elkaar op.

Kwadratensom van de residuen

Vergelijk voor dezelfde zes leerlingen de kleinste-kwadratenlijn $\hat{y} = 5x + 50$ met de lijn $\hat{y} = 5x + 51$ met behulp van de kwadratensom van de residuen (SSR).

Kwadrateer de residuen van de kleinste-kwadratenlijn: $2^2 + (-2)^2 + (-3)^2 + 2^2 + 3^2 + (-2)^2 = 4 + 4 + 9 + 4 + 9 + 4$ = $\text{SSR} = 34$

Bepaal de residuen van de andere lijn: Voorspellingen $56, 61, 66, 71, 76, 81$, dus residuen $1, -3, -4, 1, 2, -3$ = Hun som is $-6$, niet $0$

Kwadrateer ze en tel ze op: $1 + 9 + 16 + 1 + 4 + 9$ = $\text{SSR} = 40$

Vergelijk: $34 < 40$ = $\hat{y} = 5x + 50$ past beter

Answer: De kleinste-kwadratenlijn heeft $\text{SSR} = 34$, de andere lijn $40$. Geen enkele rechte lijn komt bij deze gegevens onder $34$: precies dat betekent "kleinste kwadraten".

Een residuendiagram lezen

Een app had in de maanden $1$ tot en met $6$ deze downloads (in duizenden): $20, 24, 31, 41, 54, 70$. De kleinste-kwadratenlijn is $\hat{y} = 10x + 5$. Bereken de residuen en beslis of een rechte lijn een goed model is.

Bereken de voorspellingen: $\hat{y} = 15, 25, 35, 45, 55, 65$ = Eén voorspelling per maand

Bereken de residuen: $20 - 15, 24 - 25, 31 - 35, 41 - 45, 54 - 55, 70 - 65$ = $5, -1, -4, -4, -1, 5$

Bekijk het patroon in het residuendiagram: Positief aan beide uiteinden, negatief in het midden = Een U-vormige kromme

Trek de conclusie: Een krom patroon betekent dat de gegevens van de lijn af buigen = Een rechte lijn is geen goed model

Answer: De residuen $5, -1, -4, -4, -1, 5$ vormen een U. De downloads groeien steeds sneller, dus een krom model zou beter passen dan een rechte lijn, ook al is de som van de residuen nog steeds $0$.

Mistake: Voorspeld min waargenomen berekenen ($\hat{y} - y$)

Why: Dan draait elk teken om: punten boven de lijn zouden negatieve residuen krijgen en punten eronder positieve.

Correct: Reken altijd waargenomen min voorspeld: $e = y - \hat{y}$. Positief betekent boven de lijn.

Mistake: Een lijn beoordelen op de gewone som van de residuen

Why: Bij de kleinste-kwadratenlijn is de som altijd $0$, ook als de lijn slecht past, omdat positieve en negatieve residuen elkaar opheffen.

Correct: Kwadrateer de residuen eerst en tel ze dan op (SSR), of bekijk het residuendiagram.

Mistake: Denken dat een krom residuendiagram in orde is omdat de punten gemiddeld dicht bij nul liggen

Why: Een duidelijke kromme (U-vorm, heuvelvorm) betekent dat de gegevens een bocht volgen die een rechte lijn niet kan volgen.

Correct: Een lineair model past alleen als het residuendiagram eruitziet als een willekeurige spreiding rond $0$ zonder patroon.

Mistake: De eenheid of de grootte van een residu vergeten

Why: Een residu van $-3$ bij een toetsscore betekent 3 punten, niet 3 %. De grootte heeft alleen betekenis in de eenheid van $y$.

Correct: Zeg het in de context: "De lijn overschatte de score van Leo met 3 punten."

Geschatte bezorgtijden

Bezorgapps voorspellen de tijd voor een bestelling op basis van de afstand. Na elke bezorging laat het residu zien of de schatting te kort of te lang was.

Met $\hat{y} = 2x + 10$ minuten voor $x$ km wordt voor een bestelling van 5 km een tijd van $20$ minuten voorspeld. Duurde het $18$ minuten, dan is het residu $18 - 20 = -2$.

Experimenten met plantengroei

Biologen leggen een lijn door de hoogte van planten in de loop van de tijd. Een plant met een groot negatief residu krijgt misschien te weinig licht of water.

Met $\hat{y} = 1{,}5x + 4$ cm na $x$ weken verwacht je dat een plant na 4 weken $10$ cm hoog is.

Modellen in de sportwetenschap

Coaches voorspellen de spronghoogte van een sporter uit trainingsgegevens en beoordelen het model op de kwadratensom van de residuen: hoe kleiner, hoe beter.

Als een model er bij twee sporters $3$ cm en $-3$ cm naast zit, is de som van de residuen $0$, maar de kwadratensom van de residuen $9 + 9 = 18$.

Q: Waarom heet het een residu?

A: "Residu" betekent "wat overblijft". Het is het deel van $y$ dat de lijn niet verklaart: de waarde die overblijft als je de voorspelling eraf haalt.

Q: Waarom kwadrateren we de residuen in plaats van ze gewoon op te tellen?

A: Gewone residuen heffen elkaar op (bij de kleinste-kwadratenlijn is hun som altijd $0$). Door te kwadrateren telt elke afwijking positief mee en tellen grote afwijkingen veel zwaarder.

Q: Is een groot residu een fout?

A: Niet per se. Het betekent alleen dat het punt niet goed in het patroon past. Controleer de gegevens op een typefout, maar echte gegevens kunnen ook bijzondere gevallen bevatten.

Q: Wat is het verschil tussen een residuendiagram en een spreidingsdiagram?

A: Een spreidingsdiagram toont $y$ tegen $x$. Een residuendiagram toont het residu $e$ tegen $x$, dus de regressielijn wordt de horizontale lijn $e = 0$ en elk patroon dat de lijn gemist heeft, zie je meteen.