De grenzen gebruiken

Een gegevensverzameling heeft $Q_1 = 20$ en $Q_3 = 30$. Welke van de waarden $2$, $18$, $44$ en $50$ zijn uitschieters?

Bepaal de IQR: $\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 30 - 20$ = $\text{IQR} = 10$

Vermenigvuldig de IQR met 1,5: $1{,}5 \times 10$ = $15$

Bepaal de ondergrens: $Q_1 - 15 = 20 - 15$ = Ondergrens $= 5$

Bepaal de bovengrens: $Q_3 + 15 = 30 + 15$ = Bovengrens $= 45$

Vergelijk elke waarde met de grenzen: $2 < 5$ (buiten), $18$ en $44$ liggen tussen $5$ en $45$ (binnen), $50 > 45$ (buiten) = Uitschieters: $2$ en $50$

Answer: Alleen $2$ en $50$ zijn uitschieters. De waarden $18$ en $44$ liggen binnen de grenzen $5$ en $45$.

Een uitschieter vinden in ruwe gegevens

Toetsscores (van de 20) in een kleine groep: $3, 12, 13, 14, 15, 15, 16, 17, 18$. Is er een uitschieter?

Bepaal de mediaan: De gegevens staan op volgorde. Bij 9 waarden is de mediaan de 5e waarde. = Mediaan $= 15$

Bepaal $Q_1$ (mediaan van de onderste helft, zonder de mediaan): Onderste helft: $3, 12, 13, 14$. $(12 + 13) : 2$ = $Q_1 = 12{,}5$

Bepaal $Q_3$ (mediaan van de bovenste helft): Bovenste helft: $15, 16, 17, 18$. $(16 + 17) : 2$ = $Q_3 = 16{,}5$

Bepaal de IQR en $1{,}5 \times \text{IQR}$: $\text{IQR} = 16{,}5 - 12{,}5 = 4$ en $1{,}5 \times 4 = 6$ = $1{,}5 \times \text{IQR} = 6$

Maak de grenzen: Onder: $12{,}5 - 6 = 6{,}5$. Boven: $16{,}5 + 6 = 22{,}5$ = Grenzen: $6{,}5$ en $22{,}5$

Controleer elke waarde: $3 < 6{,}5$. Alle andere waarden liggen tussen $6{,}5$ en $22{,}5$. = $3$ is een uitschieter

Answer: De score $3$ is een (lage) uitschieter. Uitschieters kunnen dus ook kleine waarden zijn, niet alleen grote.

Een uitschieter trekt het gemiddelde mee, niet de mediaan

Kai's busritten duurden $12, 14, 15, 16, 18$ minuten. Op een dag kreeg de bus pech en duurde de rit $51$ minuten. Vergelijk het gemiddelde, de mediaan en de spreidingsbreedte ervoor en erna.

Gemiddelde en mediaan zonder 51: Gemiddelde $= (12 + 14 + 15 + 16 + 18) : 5 = 75 : 5$. Mediaan: de middelste waarde. = Gemiddelde $= 15$, mediaan $= 15$

Gemiddelde met 51: $(75 + 51) : 6 = 126 : 6$ = Gemiddelde $= 21$

Mediaan met 51: 6 waarden: $12, 14, 15, 16, 18, 51$. Mediaan $= (15 + 16) : 2$ = Mediaan $= 15{,}5$

Spreidingsbreedte ervoor en erna: Ervoor: $18 - 12 = 6$. Erna: $51 - 12 = 39$ = Spreidingsbreedte: $6 \to 39$

Controleer dat 51 een uitschieter is: $Q_1 = 14$, $Q_3 = 18$, $\text{IQR} = 4$. Bovengrens $= 18 + 1{,}5 \times 4 = 24$, en $51 > 24$ = $51$ is een uitschieter

Answer: Eén uitschieter verschoof het gemiddelde van $15$ naar $21$ minuten en de spreidingsbreedte van $6$ naar $39$, maar de mediaan ging alleen van $15$ naar $15{,}5$. De mediaan beschrijft nog steeds een gewone rit.

Uitschieters aan beide kanten in een boxplot

Een weerstation mat op 11 zomerdagen deze middagtemperaturen (°C): $2, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 52$. Bepaal de uitschieters en beschrijf de boxplot.

Bepaal de mediaan: 11 waarden, dus de mediaan is de 6e waarde = Mediaan $= 26$

Bepaal $Q_1$ en $Q_3$: De onderste helft $2, 21, 23, 24, 25$ geeft $Q_1 = 23$. De bovenste helft $27, 28, 29, 30, 52$ geeft $Q_3 = 29$ = $Q_1 = 23$, $Q_3 = 29$

IQR en $1{,}5 \times \text{IQR}$: $\text{IQR} = 29 - 23 = 6$, $1{,}5 \times 6 = 9$ = $9$

Grenzen: Onder: $23 - 9 = 14$. Boven: $29 + 9 = 38$ = Grenzen: $14$ en $38$

Uitschieters: $2 < 14$ en $52 > 38$ = Uitschieters: $2$ en $52$

Snorharen van de boxplot: De snorharen stoppen bij de kleinste en de grootste waarde binnen de grenzen = Snorharen van $21$ tot $30$, punten bij $2$ en $52$

Answer: De uitschieters zijn $2$ en $52$. De doos loopt van $23$ tot $29$ met de mediaan bij $26$, de snorharen lopen van $21$ tot $30$, en $2$ en $52$ worden als losse punten getekend. Een meting van $52°C$ op een gewone zomerdag is vrijwel zeker een fout van de sensor.

Fout of echte waarde?

Lengtes van 7 leerlingen in cm: $148, 152, 155, 158, 160, 163, 1630$. Wat moet je doen met $1630$?

Bepaal $Q_1$ en $Q_3$: Mediaan $= 158$. De onderste helft $148, 152, 155$ geeft $Q_1 = 152$. De bovenste helft $160, 163, 1630$ geeft $Q_3 = 163$ = $Q_1 = 152$, $Q_3 = 163$

Bepaal de bovengrens: $\text{IQR} = 11$, $1{,}5 \times 11 = 16{,}5$, $163 + 16{,}5$ = Bovengrens $= 179{,}5$

Is 1630 een uitschieter?: $1630 > 179{,}5$ = Ja, een uitschieter

Vraag je af: is de waarde mogelijk?: $1630$ cm is $16{,}3$ m, hoger dan een huis met vijf verdiepingen. Geen leerling is zo lang. = Het is een fout

Beslis: Waarschijnlijk een typefout (een nul te veel). Controleer de oorspronkelijke lijst: staat daar $163$, verbeter de waarde dan. = Verbeteren naar $163$

Answer: $1630$ is een uitschieter en ook een onmogelijke waarde, dus een invoerfout. Verbeter hem als je de echte waarde kunt vinden; anders haal je hem weg en vermeld je dat. Echte uitschieters (een heel lange maar mogelijke leerling) blijven in de gegevens.

Mistake: $Q_3 + \text{IQR}$ gebruiken in plaats van $Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$

Why: Zonder de factor $1{,}5$ liggen de grenzen te dicht bij de doos, en gewone waarden worden als uitschieter gemarkeerd.

Correct: Vermenigvuldig altijd eerst: $1{,}5 \times \text{IQR}$, trek het daarna af van $Q_1$ en tel het op bij $Q_3$.

Mistake: De grenzen bepalen vanaf de mediaan, het minimum of het maximum

Why: De regel meet de afstand tot de doos, en de doos eindigt bij $Q_1$ en $Q_3$.

Correct: Ondergrens $= Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}$, bovengrens $= Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$. Begin nooit bij de mediaan of bij de uiterste waarden.

Mistake: De snorhaar helemaal tot de uitschieter tekenen

Why: Dan lijkt de uitschieter bij de gewone spreiding te horen, en verbergt de boxplot hem.

Correct: De snorhaar stopt bij de grootste (of kleinste) waarde die geen uitschieter is. Teken elke uitschieter als een los punt.

Mistake: Elke uitschieter automatisch verwijderen

Why: Een uitschieter kan een echte en belangrijke waarde zijn, zoals een recordtijd of een heel grote bestelling.

Correct: Verwijder of verbeter een waarde alleen als het een fout is (typefout, kapot meetinstrument, verkeerde eenheid). Houd echte uitschieters en vermeld ze, of gebruik de mediaan en de IQR.

Fraude met bankpassen opsporen

Banken vergelijken elke nieuwe betaling met de gewone betalingen van de klant. Een betaling boven de bovengrens kan een veiligheidscontrole starten.

De betalingen van een klant hebben $Q_1 = 20$ € en $Q_3 = 60$ €. Een betaling van 450 € ligt ver boven de bovengrens, dus stuurt de bank een sms om hem te laten bevestigen.

Kwaliteitscontrole in een fabriek

Sapflessen moeten allemaal ongeveer evenveel bevatten. Flessen onder de ondergrens worden van de band gehaald en gecontroleerd.

Als de meeste flessen tussen 498 mL en 502 mL bevatten, is een fles met 480 mL duidelijk te weinig gevuld, en moet de machine misschien gerepareerd worden.

Een gewoon salaris noemen

Het nieuws noemt vaak het mediane salaris in plaats van het gemiddelde, omdat een paar heel hoge salarissen het gemiddelde omhoog trekken.

In een klein bedrijf verdienen vijf werknemers tussen 30 en 38 duizend € per jaar en de eigenares verdient 160 duizend €. Haar salaris is een uitschieter.

Q: Waarom 1,5 en niet 1 of 2?

A: De factor $1{,}5$ is gekozen door de statisticus John Tukey omdat hij in de praktijk goed werkt: hij markeert echt ongewone waarden zonder te veel gewone waarden te raken. Sommige boeken gebruiken ook $3 \times \text{IQR}$ voor "extreme" uitschieters.

Q: Kan een gegevensverzameling geen of juist meerdere uitschieters hebben?

A: Ja, allebei. Veel gegevensverzamelingen hebben helemaal geen uitschieters, andere hebben er meerdere, aan één kant of aan beide kanten (zoals de temperaturen $2$ en $52$ in de voorbeelden).

Q: Is het minimum of maximum altijd een uitschieter?

A: Nee. Het minimum en het maximum zijn gewoon de kleinste en de grootste waarde. Ze zijn alleen uitschieters als ze buiten de grenzen liggen. In $60, 65, 70, 72, 75, 78, 80, 95$ is de bovengrens bijvoorbeeld $96{,}25$, dus het maximum $95$ is geen uitschieter.

Q: Is er nog een andere manier om uitschieters te vinden?

A: Ja. Met de standaardafwijking kun je meten hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt (de z-score). Waarden die meer dan 2 of 3 standaardafwijkingen afliggen, noemt men vaak ongewoon. Voor boxplots gebruikt men de 1,5 × IQR-regel, omdat die niet afhangt van het gemiddelde, dat door uitschieters wordt vertekend.