Verticale verschuiving

Als je een constante $D$ optelt bij een sinus- of cosinusfunctie, schuift de hele golf **omhoog of omlaag**. Dit heet een **verticale verschuiving**: $$y = A\sin(x) + D \qquad y = A\cos(x) + D$$ - Als $D > 0$, schuift de grafiek $D$ eenheden **omhoog**. - Als $D < 0$, schuift de grafiek $|D|$ eenheden **omlaag**. - De vorm, de amplitude en de periode veranderen **niet**. ## De middellijn De **middellijn** (ook evenwichtslijn genoemd) is de horizontale lijn waar de golf omheen schommelt. Bij $y = \sin(x)$ is dat de x-as ($y = 0$). Na de verschuiving is het $$\text{middellijn: } y = D$$ ## Maximum, minimum en bereik De golf komt $|A|$ eenheden boven en onder de middellijn: | Kenmerk | Formule | |---------|---------| | Middellijn | $y = D$ | | Maximum | $D + |A|$ | | Minimum | $D - |A|$ | | Bereik | $[D - |A|,\ D + |A|]$ | ## Andersom: A en D uit gegevens Als je de hoogste en de laagste waarde kent, ligt de middellijn precies halverwege en is de amplitude de helft van het verschil: $$D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2} \qquad |A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$$ In de algemene vorm $y = A\sin(B(x - C)) + D$ is de verticale verschuiving altijd de laatste letter, $D$. Nederlandse schoolboeken schrijven vaak $y = a + b\sin(c(x - d))$; daar is $a$ de verschuiving, maar hier houden we $A$, $B$, $C$ en $D$ aan. In deze les is $B = 1$ en $C = 0$, behalve als een echte situatie een andere periode nodig heeft.

Middellijn, maximum en minimum aflezen

Bepaal voor $y = 3\sin(x) + 2$ de middellijn, het maximum, het minimum en het bereik.

A en D bepalen: Vergelijk met $y = A\sin(x) + D$ = $A = 3$, $D = 2$

De middellijn opschrijven: De middellijn is $y = D$ = $y = 2$

Maximum en minimum berekenen: $D + |A| = 2 + 3$ en $D - |A| = 2 - 3$ = Maximum $5$, minimum $-1$

Het bereik opschrijven: Alle y-waarden van het minimum tot het maximum = $[-1, 5]$

Answer: Middellijn $y = 2$, maximum $5$, minimum $-1$, bereik $[-1, 5]$.

Een verschuiving omlaag

Beschrijf de grafiek van $y = \cos(x) - 4$ vergeleken met $y = \cos(x)$.

D bepalen: $y = \cos(x) + (-4)$ = $D = -4$

De richting bepalen: $D < 0$, dus de grafiek schuift omlaag = $4$ eenheden omlaag

De nieuwe middellijn bepalen: De x-as $y = 0$ wordt $y = -4$ = Middellijn $y = -4$

Het nieuwe maximum en minimum bepalen: $-4 + 1 = -3$ en $-4 - 1 = -5$ = Maximum $-3$, minimum $-5$

Answer: De cosinusgolf schuift 4 eenheden omlaag. Hij houdt zijn vorm en schommelt tussen $-5$ en $-3$ rond de middellijn $y = -4$.

Een negatieve A met verschuiving

Bepaal voor $y = -2\cos(x) + 1$ het maximum en het minimum en waar ze liggen op $[0, 2\pi]$.

A en D bepalen: Vergelijk met $y = A\cos(x) + D$ = $A = -2$, $D = 1$

De amplitude gebruiken, niet A zelf: $|A| = |-2| = 2$ = Amplitude $2$

De grootste en kleinste waarde berekenen: $1 + 2 = 3$ en $1 - 2 = -1$ = Maximum $3$, minimum $-1$

Bepalen waar ze liggen: Bij $x = 0$: $-2\cos(0) + 1 = -1$. Bij $x = \pi$: $-2\cos(\pi) + 1 = 3$ = Minimum bij $x = 0$ en $x = 2\pi$, maximum bij $x = \pi$

Answer: Maximum $3$ bij $x = \pi$, minimum $-1$ bij $x = 0$ en $x = 2\pi$. De negatieve $A$ spiegelt de golf, maar de middellijn $y = 1$ en het bereik $[-1, 3]$ blijven hetzelfde.

A en D bepalen uit maximum en minimum

Een sinusgolf begint op zijn middellijn, stijgt eerst en schommelt tussen $9$ en $3$. Schrijf de vergelijking in de vorm $y = A\sin(x) + D$.

De middellijn bepalen: $D = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2}$ = $D = 6$

De amplitude bepalen: $|A| = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2}$ = $|A| = 3$

Het teken van A kiezen: De golf begint op de middellijn en stijgt, net als $\sin(x)$ = $A = 3$

De vergelijking opschrijven: Vul $A = 3$ en $D = 6$ in = $y = 3\sin(x) + 6$

Answer: $y = 3\sin(x) + 6$. Controle: $6 + 3 = 9$ en $6 - 3 = 3$.

Het getij in een haven modelleren

Het water in een haven is bij hoogwater $11$ m diep en bij laagwater $3$ m. Een volledige cyclus duurt $12$ uur, en op $t = 0$ staat het water op de gemiddelde diepte en stijgt het. Stel een model $d(t) = A\sin(Bt) + D$ op en bereken de diepte op $t = 3$ uur.

De middellijn (gemiddelde diepte) bepalen: $D = \frac{11 + 3}{2}$ = $D = 7$

De amplitude bepalen: $A = \frac{11 - 3}{2}$ (stijgt aan het begin, dus positief) = $A = 4$

B bepalen uit de periode: $B = \frac{2\pi}{12}$ = $B = \frac{\pi}{6}$

Het model opschrijven: Vul $A$, $B$ en $D$ in = $d(t) = 4\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 7$

Berekenen voor t = 3: $4\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 7 = 4 \cdot 1 + 7$ = $d(3) = 11$

Answer: $d(t) = 4\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 7$. Na 3 uur is het water $11$ m diep: het is hoogwater.

De meeste echte golven schommelen niet rond nul. Ze schommelen rond een typisch niveau, en dat niveau is de verticale verschuiving: - **Getijden**: het water in een haven stijgt en daalt rond een gemiddelde diepte, bijvoorbeeld tussen 1 m en 5 m rond een middellijn van 3 m. - **Reuzenraderen**: een gondel gaat op en neer rond de hoogte van het midden van het rad, en komt nooit onder het instapplatform. - **Temperatuur over een dag**: de temperatuur schommelt rond het daggemiddelde, bijvoorbeeld tussen 12°C en 24°C rond 18°C. - **Bloeddruk en hartslag**: de druk pulseert tussen ongeveer 80 en 120 rond een middellijn van 100. - **Daglengte**: de lengte van de dag varieert over het jaar rond ongeveer 12 uur. Met de formule $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ maak je van twee metingen een bruikbaar model, en aan het bereik zie je in één oogopslag of een model klopt.

Mistake: Het maximum van $y = -3\sin(x) + 1$ opschrijven als $1 + (-3) = -2$

Why: De golf komt een amplitude boven en onder de middellijn, en de amplitude is altijd positief. Het teken van $A$ spiegelt de golf alleen.

Correct: Maximum $= D + |A| = 1 + 3 = 4$, minimum $= D - |A| = 1 - 3 = -2$.

Mistake: $y = \sin(x) - 2$ lezen als een verschuiving van 2 omhoog

Why: In $y = A\sin(x) + D$ is de verschuiving $D$ met zijn teken. Hier is $D = -2$.

Correct: $y = \sin(x) - 2$ schuift de golf 2 eenheden **omlaag**, de middellijn is $y = -2$.

Mistake: Het maximum voor de amplitude aanzien: bij $y = 2\sin(x) + 5$ zou de amplitude 7 zijn

Why: De amplitude meet je vanaf de middellijn, niet vanaf de x-as. De verschuiving tilt de golf op, maar maakt hem niet hoger.

Correct: De amplitude is $|A| = 2$. Het maximum is $5 + 2 = 7$.

Mistake: Vergeten door 2 te delen: amplitude $= \text{max} - \text{min}$

Why: $\text{max} - \text{min}$ is de hele hoogte van het laagste tot het hoogste punt, dus twee amplitudes.

Correct: $|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$ en $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$. Bij maximum 9 en minimum 3: $|A| = 3$, $D = 6$.

Reuzenraderen

De hoogte van een gondel in een reuzenrad gaat op en neer als een cosinusgolf. De middellijn is de hoogte van het midden van het rad.

Een rad met een diameter van 40 m waarvan de laagste gondel 2 m boven de grond is, wordt beschreven door $h(t) = -20\cos\left(\frac{\pi}{10}t\right) + 22$ (t in minuten): amplitude 20, middellijn 22, bereik $[2, 42]$.

Getijden

Havenmeesters en zeilers beschrijven de waterstand met een sinus- of cosinusgolf waarvan de middellijn de gemiddelde waterstand is.

Als hoogwater 5{,}2 m is en laagwater 0{,}8 m, dan is de gemiddelde waterstand $\frac{5{,}2 + 0{,}8}{2} = 3$ m, dus het model heeft $D = 3$.

Temperatuur over een dag

Weerkundigen beschrijven de temperatuur over 24 uur met een cosinusgolf rond de gemiddelde dagtemperatuur.

Het model $T(t) = -6\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) + 18$, met t in uren na 3:00 uur, is om 3:00 uur het koudst en 12 uur later het warmst.

Bij $y = A\sin(x) + D$ en $y = A\cos(x) + D$ schuift de constante $D$ de golf omhoog ($D > 0$) of omlaag ($D < 0$)

De middellijn is de horizontale lijn $y = D$, precies halverwege het maximum en het minimum

Maximum $= D + |A|$ en minimum $= D - |A|$, altijd met de absolute waarde van $A$

Het bereik is $[D - |A|,\ D + |A|]$

Uit gegevens: $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ en $|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$

Een verticale verschuiving verandert de amplitude en de periode niet, alleen de positie van de hele golf

Q: Verandert de verticale verschuiving de periode of de amplitude?

A: Nee. $D$ schuift elk punt van de grafiek even ver omhoog of omlaag, dus de golf houdt zijn hoogte en zijn breedte. Alleen de middellijn, het maximum, het minimum en het bereik veranderen.

Q: Is de verticale verschuiving hetzelfde als de middellijn?

A: Ze komen uit hetzelfde getal. De verschuiving is de beweging (bijvoorbeeld 3 eenheden omhoog), en de middellijn is de lijn waar het midden van de golf terechtkomt ($y = 3$).

Q: Waarom schuift $\sin(x) + 2$ omhoog, maar $\sin(x + 2)$ niet?

A: Een getal dat buiten de functie wordt opgeteld, verandert de uitkomst, dus de grafiek beweegt verticaal. Een getal dat binnen bij $x$ wordt opgeteld, verandert de invoer, dus de grafiek beweegt opzij. Die zijwaartse beweging is de faseverschuiving, uitgelegd in de les Faseverschuiving.

Q: Kan een verschoven sinusgolf helemaal boven de x-as blijven?

A: Ja, als $D > |A|$. Dan is het minimum $D - |A|$ positief. Zo komt $y = 2\sin(x) + 5$ nooit onder $3$. Hoogtes in een reuzenrad en waterdieptes bij getijden gedragen zich zo.

Presentatie afsluiten

Verticale verschuiving

1 / 14

Goniometrie / Trigonometrische grafieken

Verticale verschuiving

Leer hoe de constante D in y = A sin(x) + D een sinus- of cosinusgolf omhoog of omlaag schuift, de middellijn vastlegt en het maximum, het minimum en het bereik bepaalt.

Gevorderd25 min

Gebruik pijltjestoetsen of spatiebalk om te navigeren