Een golf die in een maximum begint

Een grafiek heeft een maximum van $5$ bij $x = 0$, een minimum van $1$ en periode $2\pi$. Stel de formule op.

Bepaal de middellijn D: $D = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2}$ = $D = 3$

Bepaal de amplitude A: $A = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2}$ = $A = 2$

Bepaal B uit de periode: $B = \frac{2\pi}{2\pi}$ = $B = 1$

Kies de vorm en C: De golf begint bij $x = 0$ in een maximum, dus cosinus met $C = 0$ = $C = 0$

Answer: $y = 2\cos(x) + 3$

Een cosinusformule uit een beschrijving

Een golf heeft een maximum van $4$ bij $x = \frac{\pi}{4}$, een minimum van $-2$ en periode $\pi$. Stel een cosinusformule op.

Bepaal de middellijn D: $D = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2}$ = $D = 1$

Bepaal de amplitude A: $A = \frac{4 - (-2)}{2} = \frac{6}{2}$ = $A = 3$

Bepaal B: $B = \frac{2\pi}{\pi}$ = $B = 2$

Bepaal C uit het maximum: De cosinus begint in een maximum, en het maximum ligt bij $x = \frac{\pi}{4}$ = $C = \frac{\pi}{4}$

Controleer een punt: Bij $x = \frac{\pi}{4}$: $3\cos(0) + 1 = 3 + 1$ = $4$, het maximum

Answer: $y = 3\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1$

Dezelfde golf als sinusformule

Schrijf de golf uit het vorige voorbeeld (max $4$ bij $x = \frac{\pi}{4}$, min $-2$, periode $\pi$) als sinusformule.

Houd A, B en D: Die hangen niet af van de vorm = $A = 3$, $B = 2$, $D = 1$

Bepaal een kwart periode: Een kwart van de periode: $\frac{1}{4} \cdot \pi$ = $\frac{\pi}{4}$

Zoek waar de golf stijgend door de middellijn gaat: De sinus bereikt zijn maximum een kwart periode na het begin: $\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$ = $C = 0$

Controleer een punt: Bij $x = \frac{\pi}{4}$: $3\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 1 = 3 + 1$ = $4$, het maximum

Answer: $y = 3\sin(2x) + 1$ tekent precies dezelfde golf als $y = 3\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1$

Hoogte in een reuzenrad

Een reuzenrad heeft een diameter van $40$ m en het midden ligt $22$ m boven de grond. Het draait één keer rond in $8$ minuten. Je stapt op $t = 0$ helemaal onderaan in. Stel een formule op voor je hoogte $h$ (in m) na $t$ minuten.

Bepaal de grootste en kleinste hoogte: Straal $= 20$ m: onder $22 - 20$, boven $22 + 20$ = min $= 2$ m, max $= 42$ m

Bepaal D en de amplitude: $D = \frac{42 + 2}{2}$, amplitude $= \frac{42 - 2}{2}$ = $D = 22$, amplitude $= 20$

Bepaal B: $B = \frac{2\pi}{8}$ = $B = \frac{\pi}{4}$

Kies de vorm: Op $t = 0$ zit je in het minimum. Een cosinus met negatieve $A$ begint in een minimum = $A = -20$, $C = 0$

Controleer: $t = 0$: $-20\cos(0) + 22 = 2$; $t = 4$: $-20\cos(\pi) + 22 = 42$ = Onderaan bij de start, bovenaan na een halve omwenteling

Answer: $h(t) = -20\cos\left(\frac{\pi}{4}t\right) + 22$, of dezelfde golf als $h(t) = 20\cos\left(\frac{\pi}{4}(t - 4)\right) + 22$

Getijdenmodel

In een haven is het water bij hoogwater om 2:00 uur $7$ m diep en bij het volgende laagwater om 8:00 uur $3$ m diep. Stel een model op voor de diepte $y$ na $x$ uur (vanaf middernacht) en bereken de diepte om 6:00 uur.

Bepaal de periode: Van hoog- naar laagwater is een halve periode: $8 - 2 = 6$ uur, dus de periode is $2 \cdot 6$ = periode $= 12$ uur

Bepaal A en D: $A = \frac{7 - 3}{2}$, $D = \frac{7 + 3}{2}$ = $A = 2$, $D = 5$

Bepaal B: $B = \frac{2\pi}{12}$ = $B = \frac{\pi}{6}$

Bepaal C: Neem de cosinus: het maximum ligt bij $x = 2$ = $C = 2$

Bereken de diepte om 6:00 uur: $y = 2\cos\left(\frac{\pi}{6}(6 - 2)\right) + 5 = 2\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + 5 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 5$ = $y = 4$ m

Answer: $y = 2\cos\left(\frac{\pi}{6}(x - 2)\right) + 5$; om 6:00 uur is het water $4$ m diep

Mistake: Het maximum als amplitude nemen (max $7$, min $3$, dus $A = 7$)

Why: De amplitude meet je vanaf de middellijn, niet vanaf de x-as. De golf komt maar $2$ eenheden boven zijn middellijn $y = 5$.

Correct: $A = \frac{\text{max} - \text{min}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = 2$, en de $5$ hoort bij $D$.

Mistake: De periode als B schrijven (periode $12$, dus $B = 12$)

Why: B is niet de periode. Een grotere B laat de golf sneller herhalen, dus de periode wordt korter.

Correct: $B = \frac{2\pi}{\text{periode}} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$.

Mistake: Het teken van C fout: een maximum bij $x = 2$ geschreven als $\cos(B(x + 2))$

Why: Binnen de haakjes heeft de verschuiving het omgekeerde teken. $(x + 2)$ schuift de golf naar links.

Correct: Een maximum bij $x = 2$ betekent $\cos(B(x - 2))$. Controle: bij $x = 2$ is wat tussen de haakjes staat $0$ en $\cos(0) = 1$.

Mistake: Sinus gebruiken en C bij het maximum zetten

Why: De sinus begint niet in een maximum. Bij $x = C$ ligt de sinusgolf op de middellijn en stijgt.

Correct: Neem bij de sinus het punt waar de golf stijgend door de middellijn gaat, een kwart periode voor het maximum. Of neem de cosinus en het maximum.

Uren daglicht

Sterrenkundigen en zonne-energietechnici beschrijven de daglengte met een cosinusgolf die zich elk jaar herhaalt.

In een noordelijke stad heeft de langste dag (dag $172$, rond 21 juni) $16$ uur daglicht en de kortste $8$. Een model is $y = 4\cos\left(\frac{2\pi}{365}(d - 172)\right) + 12$.

Reuzenraderen

Ontwerpers van attracties gebruiken de hoogteformule om te controleren hoe snel passagiers stijgen en hoe lang ze bovenin blijven.

Een rad met een diameter van $50$ m en het midden op $30$ m hoogte draait één keer rond in $12$ minuten. Bij instappen onderaan geldt $h(t) = -25\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 30$.

Een gewicht aan een veer

Ingenieurs beschrijven trillingen (vering van auto's, bruggen, sensoren) met dezelfde formules als een gewicht dat aan een veer op en neer beweegt.

Een gewicht beweegt tussen $4$ cm en $16$ cm boven een tafel op en neer en doet $2$ seconden over één volledige trilling.

Q: Moet ik sinus of cosinus gebruiken?

A: Allebei is goed. Neem wat $C$ het makkelijkst maakt: cosinus als je een maximum goed kunt aflezen, sinus als je ziet waar de golf stijgend door de middellijn gaat.

Q: Mijn antwoord is anders dan in het boek. Is het fout?

A: Niet per se. Controleer een maximum en een minimum in beide formules. Als ze bij dezelfde $x$ dezelfde waarden geven, tekenen ze dezelfde golf. Zo zijn $y = 3\sin(2x) + 1$ en $y = 3\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1$ dezelfde grafiek.

Q: Hoe vind ik de periode als ik maar een deel van de golf zie?

A: Meet de horizontale afstand tussen twee naburige maxima (een hele periode), of tussen een maximum en het volgende minimum (een halve periode) en verdubbel die.

Q: En als de opgave uren of dagen gebruikt in plaats van radialen?

A: De werkwijze verandert niet: $B = \frac{2\pi}{\text{periode}}$, met de periode in dezelfde eenheid als $x$. Getijden met periode $12$ uur hebben $B = \frac{\pi}{6}$, een jaarpatroon heeft $B = \frac{2\pi}{365}$.