In sinus en cosinus schrijven

Vereenvoudig $\dfrac{\tan x}{\sec x}$.

Schrijf tangens en secans in sinus en cosinus: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ en $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ = $\dfrac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x}}$

Delen door een breuk: vermenigvuldigen met het omgekeerde: $\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{1}$ = $\frac{\sin x \cos x}{\cos x}$

De gemeenschappelijke factor $\cos x$ wegdelen: $\frac{\sin x \cancel{\cos x}}{\cancel{\cos x}}$ = $\sin x$

Answer: $\dfrac{\tan x}{\sec x} = \sin x$

Buiten haakjes halen en een Pythagorische identiteit

Vereenvoudig $\cos^2 x \tan^2 x + \cos^2 x$.

Beide termen bevatten $\cos^2 x$: haal het buiten haakjes: $\cos^2 x \tan^2 x + \cos^2 x = \cos^2 x(\tan^2 x + 1)$ = $\cos^2 x(\tan^2 x + 1)$

Gebruik de Pythagorische identiteit $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$: $\cos^2 x \cdot \sec^2 x$ = $\cos^2 x \sec^2 x$

Gebruik de reciproke identiteit $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$: $\cos^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$ = $1$

Answer: $\cos^2 x \tan^2 x + \cos^2 x = 1$ (voor elke $x$ waarvoor $\tan x$ bestaat)

Verschil van twee kwadraten

Vereenvoudig $\dfrac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos x - \sin x}$.

Herken in de teller een verschil van twee kwadraten $a^2 - b^2$: $a = \cos x$, $b = \sin x$ = $\cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$

Schrijf de ontbonden teller boven de noemer: $\dfrac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{\cos x - \sin x}$ = De factor $\cos x - \sin x$ staat boven en onder

De gemeenschappelijke factor wegdelen: Mag, omdat het een factor van de hele teller is = $\cos x + \sin x$

Answer: $\dfrac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos x - \sin x} = \cos x + \sin x$ (waar $\cos x \neq \sin x$)

Breuken optellen met een gemeenschappelijke noemer

Vereenvoudig $\dfrac{1}{1 + \cos x} + \dfrac{1}{1 - \cos x}$.

Gebruik de gemeenschappelijke noemer $(1 + \cos x)(1 - \cos x)$: $\dfrac{(1 - \cos x) + (1 + \cos x)}{(1 + \cos x)(1 - \cos x)}$ = Eén breuk

Vereenvoudig de teller: $1 - \cos x + 1 + \cos x = 2$ = $\dfrac{2}{(1 + \cos x)(1 - \cos x)}$

Werk de noemer uit (verschil van twee kwadraten): $(1 + \cos x)(1 - \cos x) = 1 - \cos^2 x$ = $\dfrac{2}{1 - \cos^2 x}$

Gebruik de Pythagorische identiteit $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$: $\dfrac{2}{\sin^2 x}$ = $\dfrac{2}{\sin^2 x}$

Gebruik de reciproke identiteit $\frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x$: $2 \cdot \frac{1}{\sin^2 x}$ = $2\csc^2 x$

Answer: $\dfrac{1}{1 + \cos x} + \dfrac{1}{1 - \cos x} = 2\csc^2 x$

Een vereenvoudiging met een hoek controleren

Een klasgenoot beweert dat $\dfrac{\sin x + \tan x}{\tan x} = \cos x + 1$. Controleer het bij $x = 60°$ en bevestig het daarna met algebra.

Bereken het linkerlid bij $x = 60°$: $\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2} + 1$ = $1{,}5$

Bereken het rechterlid bij $x = 60°$: $\cos 60° + 1 = 0{,}5 + 1$ = $1{,}5$

Zelfde waarde, dus de bewering doorstaat de test. Eén hoek bewijst niets, dus nu algebra: splits de breuk: $\dfrac{\sin x}{\tan x} + \dfrac{\tan x}{\tan x} = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} + 1$ = $\cos x + 1$

Answer: De vereenvoudiging klopt: $\dfrac{\sin x + \tan x}{\tan x} = \cos x + 1$. Als de twee waarden bij $60°$ verschillend waren geweest, was ze zeker fout.

Mistake: Een term wegdelen in plaats van een factor: $\dfrac{\sin x + \cos x}{\sin x} = \cos x$

Why: Je mag alleen factoren van de HELE teller en de hele noemer wegdelen. Hier is $\sin x$ maar één term van de som $\sin x + \cos x$. Bij $x = 45°$ is het linkerlid $2$, terwijl $\cos 45° \approx 0{,}71$.

Correct: Splits de breuk: $\dfrac{\sin x}{\sin x} + \dfrac{\cos x}{\sin x} = 1 + \cot x$.

Mistake: De kwadraten vergeten: $1 - \sin x = \cos x$ schrijven

Why: De Pythagorische identiteit gaat over kwadraten: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Zonder kwadraten klopt ze niet: bij $x = 30°$ is $1 - \sin 30° = 0{,}5$ maar $\cos 30° \approx 0{,}87$.

Correct: Alleen $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$ is waar. Zie je $1 - \sin x$, denk dan eerder aan het verschil van twee kwadraten of aan een geconjugeerde.

Mistake: Breuken optellen door de noemers op te tellen: $\dfrac{1}{\sin x} + \dfrac{1}{\cos x} = \dfrac{2}{\sin x + \cos x}$

Why: Goniometrische breuken volgen dezelfde regels als gewone breuken, en $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ is niet $\frac{2}{5}$.

Correct: Gebruik de gemeenschappelijke noemer $\sin x \cos x$: $\dfrac{\cos x + \sin x}{\sin x \cos x}$.

Mistake: Vertrouwen op een controle met één bijzondere hoek zoals $45°$

Why: Bij $x = 45°$ geldt $\sin x = \cos x$, dus veel foute vereenvoudigingen (zoals $\sin x\tan x = \cos x$) geven daar toevallig hetzelfde getal.

Correct: Controleer met een of twee "gewone" hoeken, bijvoorbeeld $20°$ en $50°$. Een verschil bewijst een fout; gelijke waarden maken het resultaat alleen waarschijnlijk, het bewijs komt van de algebra.

Formules in de techniek

Ingenieurs krijgen formules voor krachten en spanningen vaak als lange goniometrische uitdrukkingen nadat ze meerdere delen hebben gecombineerd. Eerst vereenvoudigen maakt het rekenen makkelijk en voorkomt fouten.

De kracht op een schuine balk komt uit op $F = 50(1 - \cos^2\theta)\csc\theta$ newton. Omdat $(1 - \cos^2\theta)\csc\theta = \sin\theta$, is dat gewoon $F = 50\sin\theta$.

Snellere code in games en graphics

Game-engines rekenen miljoenen keren per seconde goniometrische uitdrukkingen uit. Elke functieaanroep die je met vereenvoudigen bespaart, maakt het programma sneller.

Een rotatieroutine berekent in elk beeld $\dfrac{\sin x}{\tan x}$. Omdat $\dfrac{\sin x}{\tan x} = \sin x \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x} = \cos x$, worden twee functieaanroepen en een deling één enkele aanroep.

Hellingen en oprijplaten in de bouw

Bouwers en landmeters werken met de hoogte van een helling over een horizontale afstand. Spreadsheetformules die in meerdere stappen zijn opgebouwd, verbergen vaak een simpele tangens.

Een spreadsheet berekent de hoogte van een helling als $h = d\sin x\sec x$, waarbij $d$ de horizontale afstand is. Omdat $\sin x \sec x = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$, is de formule eigenlijk $h = d\tan x$.

Q: Hoe weet ik dat een uitdrukking helemaal vereenvoudigd is?

A: Meestal als ze zo weinig mogelijk termen en zo weinig mogelijk verschillende functies heeft, zonder breuk in een breuk. Noemt de opdracht een doel ("in $\sin x$", "als één functie"), stop dan zodra je die vorm hebt.

Q: Moet ik altijd alles in sinus en cosinus schrijven?

A: Het is de veiligste algemene strategie, want dan blijven er maar twee functies over en kun je de Pythagorische identiteit $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ gebruiken. Soms is een kortere weg sneller, bijvoorbeeld direct $\sec^2 x - 1 = \tan^2 x$.

Q: Is een controle met de rekenmachine genoeg?

A: Het is een prima manier om fouten te vinden: geven de twee vormen bij dezelfde hoek verschillende waarden, dan klopt er iets niet. Maar gelijke waarden bij een of twee hoeken bewijzen de vereenvoudiging niet, dat doen de algebraïsche stappen.

Q: Waarom hebben sommige vereenvoudigde resultaten voorwaarden zoals "waar $\cos x \neq \sin x$"?

A: Een factor mag je alleen wegdelen waar hij niet nul is. Bij die hoeken bestaat de oorspronkelijke uitdrukking niet, terwijl de vereenvoudigde misschien wel bestaat, dus strikt genomen zijn ze overal gelijk behalve bij die hoeken.