Exacte waarde van sin 75°

Bereken de exacte waarde van $\sin 75^\circ$.

Schrijf $75^\circ$ als som van bijzondere hoeken: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$ = $A = 45^\circ$, $B = 30^\circ$

Pas de somformule voor de sinus toe: $\sin 75^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$ = Twee producten van bekende waarden

Vul de exacte waarden in: $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$ = $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Controleer met de rekenmachine: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx \frac{2{,}4495 + 1{,}4142}{4} \approx 0{,}9659$ en $\sin 75^\circ \approx 0{,}9659$ = De waarden komen overeen

Answer: $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659$

Exacte waarde van cos 15° met een verschil

Bereken de exacte waarde van $\cos 15^\circ$.

Schrijf $15^\circ$ als verschil van bijzondere hoeken: $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$ = $A = 45^\circ$, $B = 30^\circ$

Pas de verschilformule voor de cosinus toe (het teken wordt $+$): $\cos 15^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ$ = Plusteken bij een verschil

Invullen en vereenvoudigen: $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ = $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Zie het verband: $\cos 15^\circ = \sin 75^\circ$ omdat $15^\circ + 75^\circ = 90^\circ$ (complementaire hoeken) = Dezelfde waarde als in voorbeeld 1

Answer: $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659$

Exacte waarde van tan 105°

Bereken de exacte waarde van $\tan 105^\circ$ en vereenvoudig die.

Schrijf $105^\circ$ als som: $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$, met $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ en $\tan 45^\circ = 1$ = $A = 60^\circ$, $B = 45^\circ$

Pas de somformule voor de tangens toe: $\tan 105^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ = De noemer $1 - \sqrt{3}$ is negatief

Wortel uit de noemer halen: teller en noemer vermenigvuldigen met $1 + \sqrt{3}$: $\frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2}$ = $-2 - \sqrt{3}$

Controleer het teken: $105^\circ$ ligt in het tweede kwadrant, waar de tangens negatief is; $-2 - \sqrt{3} \approx -3{,}7321$ = Negatief, zoals verwacht

Answer: $\tan 105^\circ = -2 - \sqrt{3} \approx -3{,}7321$

Hoeken uit verschillende kwadranten

$\sin A = \frac{3}{5}$ met $A$ in het tweede kwadrant, en $\cos B = \frac{5}{13}$ met $B$ in het eerste kwadrant. Bereken $\sin(A + B)$ en $\cos(A + B)$.

Bereken $\cos A$ met de Pythagorische identiteit: $\cos^2 A = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$, en de cosinus is negatief in het tweede kwadrant = $\cos A = -\frac{4}{5}$

Bereken $\sin B$: $\sin^2 B = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$, en de sinus is positief in het eerste kwadrant = $\sin B = \frac{12}{13}$

Pas de somformule voor de sinus toe: $\sin(A + B) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} + \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{12}{13} = \frac{15}{65} - \frac{48}{65}$ = $\sin(A + B) = -\frac{33}{65}$

Pas de somformule voor de cosinus toe: $\cos(A + B) = \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{5}{13} - \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} = -\frac{20}{65} - \frac{36}{65}$ = $\cos(A + B) = -\frac{56}{65}$

Controleer met de Pythagorische identiteit: $\left(\frac{33}{65}\right)^2 + \left(\frac{56}{65}\right)^2 = \frac{1089 + 3136}{4225} = 1$ = De uitkomsten passen bij elkaar

Answer: $\sin(A + B) = -\frac{33}{65}$ en $\cos(A + B) = -\frac{56}{65}$, dus $A + B$ ligt in het derde kwadrant

Een formule achterstevoren herkennen

Vereenvoudig $\sin 70^\circ \cos 20^\circ + \cos 70^\circ \sin 20^\circ$ en $\cos 80^\circ \cos 20^\circ + \sin 80^\circ \sin 20^\circ$ zonder rekenmachine.

Koppel de eerste uitdrukking aan een formule: $\sin A \cos B + \cos A \sin B$ met $A = 70^\circ$, $B = 20^\circ$ = Dat is $\sin(70^\circ + 20^\circ)$

Bereken: $\sin 90^\circ = 1$ = Eerste uitdrukking $= 1$

Koppel de tweede uitdrukking: $\cos A \cos B + \sin A \sin B$ (plusteken) is $\cos(A - B)$ = Dat is $\cos(80^\circ - 20^\circ)$

Bereken: $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ = Tweede uitdrukking $= \frac{1}{2}$

Answer: De eerste uitdrukking is $1$, de tweede is $\frac{1}{2}$

Mistake: Schrijven: $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$

Why: De sinus is geen lineaire functie, dus je mag hem niet over een som verdelen. Met $A = 30^\circ$ en $B = 60^\circ$: $\sin 90^\circ = 1$, maar $\sin 30^\circ + \sin 60^\circ \approx 1{,}366$, en dat is niet eens een mogelijke sinuswaarde.

Correct: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$. Verschuif de schuifjes in de grafiek: de rode kromme $\sin x + \sin b$ wijkt af van de andere twee.

Mistake: Het teken in de cosinusformule laten staan: $\cos(A + B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$

Why: De cosinus draait het teken om. Test met $A = B = 45^\circ$: $\cos 90^\circ = 0$, maar $\cos^2 45^\circ + \sin^2 45^\circ = 1$.

Correct: $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ en $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$.

Mistake: Elke ontbrekende waarde positief nemen, bijvoorbeeld $\cos A = \frac{4}{5}$ als $\sin A = \frac{3}{5}$ en $A$ in het tweede kwadrant ligt

Why: De Pythagorische identiteit geeft alleen de grootte. Het kwadrant bepaalt het teken, en een fout teken verandert de hele uitkomst.

Correct: Gebruik het kwadrant: in het tweede kwadrant is de cosinus negatief, dus $\cos A = -\frac{4}{5}$. Onthoud: eerste kwadrant alles positief, tweede alleen sinus, derde alleen tangens, vierde alleen cosinus.

Mistake: In de noemer van $\tan(A + B)$ de vorm $1 + \tan A \tan B$ gebruiken

Why: In de tangensformule houdt de teller het teken, maar draait de noemer het om, net als bij de cosinus.

Correct: $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ en $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$.

Twee golven samenvoegen

In de natuurkunde en elektronica beschrijft een som als $3\sin t + 4\cos t$ twee golven die over elkaar heen lopen. De somformule voor de sinus laat zien dat het één golf $R\sin(t + \varphi)$ is, en $R$ is de amplitude (hoe sterk de golf is).

$R\sin(t + \varphi) = R\cos\varphi \sin t + R\sin\varphi \cos t$. Vergelijken met $3\sin t + 4\cos t$ geeft $R\cos\varphi = 3$ en $R\sin\varphi = 4$.

Punten draaien in games en robotica

Een punt op afstand $r$ en met hoek $\alpha$ heeft coördinaten $x = r\cos\alpha$, $y = r\sin\alpha$. Draaien over $\beta$ geeft de hoek $\alpha + \beta$, en de somformules maken daar de draaiformules $x' = x\cos\beta - y\sin\beta$ en $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$ van.

$(1, 0)$ draaien over $90^\circ$: $x' = 1 \cdot 0 - 0 \cdot 1 = 0$ en $y' = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1$, dus het punt gaat naar $(0, 1)$.

De hoek tussen twee wegen

Een lijn met richtingscoëfficiënt $m$ maakt met de $x$-as een hoek $\theta$ met $\tan\theta = m$. De verschilformule voor de tangens geeft de hoek tussen twee lijnen rechtstreeks uit hun richtingscoëfficiënten, wat ontwerpers gebruiken voor kruispunten, hellingen en daklijnen.

Lijnen met richtingscoëfficiënten $1$ en $0$: $\tan(\alpha - \beta) = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$, dus ze snijden elkaar onder $45^\circ$.

Q: Waarom is er geen eenvoudige regel zoals $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$?

A: Omdat de sinus geen lineaire functie is. Een hoek verdubbelen verdubbelt de sinus niet: $\sin 30^\circ = 0{,}5$, maar $\sin 60^\circ \approx 0{,}866$, niet $1$. De somformule is de juiste vervanging van die foute regel.

Q: Wat is het verband tussen de somformules en de formules voor de dubbele hoek?

A: Neem $B = A$. Dan is $\sin(2A) = \sin A \cos A + \cos A \sin A = 2\sin A \cos A$ en $\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A$. De tangensformule geeft $\tan(2A) = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}$.

Q: Welk paar bijzondere hoeken moet ik gebruiken?

A: Elk paar dat de hoek oplevert werkt: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$, $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$ of $60^\circ - 45^\circ$, $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$, $165^\circ = 120^\circ + 45^\circ$ of $135^\circ + 30^\circ$. Verschillende paren geven dezelfde eindwaarde.

Q: Wanneer bestaat $\tan(A + B)$ niet?

A: Als $1 - \tan A \tan B = 0$, dus als $\tan A \tan B = 1$. Dan is $A + B$ gelijk aan $90^\circ$ (of $270^\circ$), waar de tangens niet bestaat. Voorbeeld: $\tan 30^\circ \tan 60^\circ = 1$ en $30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$.