Differenz von Quadraten

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welcher Ausdruck ist eine Differenz von Quadraten?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
ist eine Differenz von Quadraten, weil und beide Quadratzahlen sind mit einem Minuszeichen dazwischen. Die Summe kann nicht faktorisiert werden, ist keine Quadratzahl und hat keine Quadrate.
2.
Faktorisiere: . Schreibe deine Antwort in der Form , wobei eine Zahl ist.
Lösung: (x+3)(x-3)
unter Verwendung der Formel mit und .
3.
Faktorisiere Schritt für Schritt.
Lösung: (x+7)(x-7)
1. Ist eine Quadratzahl? ja
2. Was ist die Wurzel aus 49? 7
3. Was ist ? (x+7)(x-7)
4.
Was ist die faktorisierte Form von ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
. Da , verwenden wir in der Formel.
5.
Faktorisiere Schritt für Schritt.
Lösung: (a+6)(a-6)
1. Was ist die Wurzel aus ? a
2. Was ist die Wurzel aus 36? 6
3. Schreibe die faktorisierte Form mit : (a+6)(a-6)
6.
Faktorisiere:
Lösung: (2x+5)(2x-5)
. Hier ist und .
7.
Welcher der folgenden Ausdrücke kann NICHT als Differenz von Quadraten faktorisiert werden?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
ist eine SUMME von Quadraten, keine Differenz. Die Summe von Quadraten kann über den reellen Zahlen nicht faktorisiert werden. Die anderen sind alle Differenzen: , , .
8.
Faktorisiere Schritt für Schritt.
Lösung: (4m+9)(4m-9)
1. Schreibe als Quadratzahl: 4m
2. Schreibe als Quadratzahl: 9
3. Wende die Formel an: (4m+9)(4m-9)
9.
Faktorisiere:
Lösung: (7+y)(7-y)
. Die Reihenfolge ist umgekehrt, weil die Konstante (49) zuerst kommt.
10.
Faktorisiere Schritt für Schritt.
Lösung: (5a+2b)(5a-2b)
1. Schreibe als 5a
2. Schreibe als 2b
3. Wende die Formel an: (5a+2b)(5a-2b)
11.
Benutze Kopfrechnen: Was ist ?
1. a)2500
2. b)2401
3. c)2509
4. d)2491
Lösung: 2491
12.
Faktorisiere vollständig:
Lösung: (x^2+4)(x+2)(x-2)
. Nun ist eine weitere Differenz von Quadraten: . Die Summe kann nicht faktorisiert werden. Endantwort:
13.
Faktorisiere vollständig:
Lösung: (9+x^2)(3+x)(3-x)
1. Schreibe als Differenz von Quadraten: 9^2 - (x^2)^2
2. Wende die Formel an, um zwei Faktoren zu erhalten: (9+x^2)(9-x^2)
3. Kann weiter faktorisiert werden? ja
4. Faktorisiere : (3+x)(3-x)
5. Schreibe die vollständige Faktorisierung: (9+x^2)(3+x)(3-x)
14.
Faktorisiere vollständig. Wie viele Faktoren hat es?
1. a)Kann nicht faktorisiert werden
2. b)3 Faktoren
3. c)4 Faktoren
4. d)2 Faktoren
Lösung: 4 Faktoren
(Differenz von Quadraten). Jetzt jeden Kubus mit Summe/Differenz von Kuben faktorisieren: und . Die vollständige Faktorisierung ist , was 4 irreduzible Polynomfaktoren ergibt.
15.
Benutze Kopfrechnen: Berechne
Lösung: 9996
16.
Faktorisiere:
Lösung: (6x^2+7y)(6x^2-7y)
1. Schreibe als Quadrat: 6x^2
2. Schreibe als Quadrat: 7y
3. Wende die Formel für die Differenz von Quadraten an: (6x^2+7y)(6x^2-7y)
17.
Faktorisiere:
Lösung: (x+1)(x-1)
18.
Ein quadratischer Garten hat eine Seitenlänge von Metern. Ein kleinerer quadratischer Weg darin hat eine Seitenlänge von Metern. Finde die Fläche des Gartens ohne den Weg.
Lösung: 20x
1. Schreibe den Ausdruck für die Flächendifferenz: (x+5)^2 - (x-5)^2
2. Bestimme und für die Differenz von Quadraten: a=x+5, b=x-5
3. Berechne : 2x
4. Berechne : 10
5. Multipliziere für die Endantwort: 20x