Summe und Differenz von Kuben

Lerne, Ausdrücke der Form a³ + b³ und a³ - b³ mit speziellen Formeln zu faktorisieren.

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Definition

Die Summe von Kuben und Differenz von Kuben sind spezielle Faktorisierungsmuster für Ausdrücke, bei denen zwei perfekte Kuben addiert oder subtrahiert werden.

Formel für die Summe von Kuben

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Formel für die Differenz von Kuben

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
Merkhilfe: GEIP
  • Gleiches Vorzeichen (wie das Original)
  • Entgegengesetztes Vorzeichen
  • Immer Positiv
In (a±b)(a2∓ab+b2)(a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2):
  • Erster Faktor: gleiches Vorzeichen wie das Original
  • Mittlerer Term des Trinoms: entgegengesetztes Vorzeichen
  • Letzter Term des Trinoms: immer positiv

Probier es gleich aus

Welche der folgenden Zahlen ist ein perfekter Kubus?

Lösungsbeispiele

Faktorisiere x3+8x^3 + 8
1

Identifiziere die perfekten Kuben

x3=(x)3x^3 = (x)^3 und 8=238 = 2^3 → a=xa = x, b=2b = 2
2

Wende die Formel für die Kubensumme an

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) → (x+2)(x2−2x+4)(x + 2)(x^2 - 2x + 4)
3

Überprüfe durch Ausmultiplizieren (optional)

(x+2)(x2−2x+4)=x3−2x2+4x+2x2−4x+8(x + 2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 - 2x^2 + 4x + 2x^2 - 4x + 8 → x3+8x^3 + 8 \checkmark

Häufige Fehler

Verwechseln des Vorzeichenmusters im Trinom

Warum es falsch ist: Schüler vergessen oft, ob der mittlere Term positiv oder negativ ist.

Richtig: Verwende GEIP: Gleich, Entgegengesetzt, Immer Positiv. Der mittlere Term hat das ENTGEGENGESETZTE Vorzeichen zum Binomfaktor.

Denken, dass a2−ab+b2a^2 - ab + b^2 weiter faktorisiert werden kann

Warum es falsch ist: Dieses Trinom sieht aus, als könnte es faktorisiert werden, aber es kann über den reellen Zahlen nicht faktorisiert werden.

Richtig: Die Trinome a2−ab+b2a^2 - ab + b^2 und a2+ab+b2a^2 + ab + b^2 sind beide prim (können nicht weiter faktorisiert werden).

Kuben nicht korrekt identifizieren

Warum es falsch ist: Schüler erkennen möglicherweise Zahlen wie 2727, 6464 oder 125125 nicht als perfekte Kuben.

Richtig: Merke dir die ersten zehn Kuben: 1,8,27,64,125,216,343,512,729,10001, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000.

Den GGT nicht zuerst ausklammern

Warum es falsch ist: Direkt zu den Kubenformeln springen, ohne auf gemeinsame Faktoren zu prüfen.

Richtig: Prüfe immer auf einen GGT, bevor du spezielle Faktorisierungsformeln anwendest.

Interaktive Visualisierung

Zusammengesetzter Körper

Volumen

  • Würfel: V = s³ = 27 Einheiten³
  • − Würfel (Loch): V = s³ = 8 Einheiten³

Gesamtvolumen: 19 Einheiten³

Das Volumen eines zusammengesetzten Körpers ist die Summe der Volumen seiner Teile. Ein Loch wird abgezogen.

Oberfläche

  • Würfel: 54 − 4 (Öffnungen) = 50 Einheiten²
  • + Würfel (Innenwand): 24 − 4 (Öffnungen) = 20 Einheiten²

Gesamtoberfläche: 70 Einheiten²

Zur Oberfläche zählt nur, was außen liegt: Wo sich zwei Teile berühren, ist diese Fläche verdeckt und fällt bei beiden Teilen weg. Ein Loch nimmt seine Öffnungen weg und bringt seine Innenwand dazu.

Funktionsgraph

-4-3-2-10123-20-100102030xy(-2 | 0)

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

x^3 + 8(x + 2)(x^2 - 2x + 4)
  • Nullstelle: (-2 | 0)
  • Nullstelle: (-2 | 0)

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

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Übungsaufgaben

18 Aufgaben
Aufgabe 1 von 18
Einfach
Welche der folgenden Zahlen ist ein perfekter Kubus?

Warum es wichtig ist

Summe und Differenz von Kuben erscheinen in der gesamten höheren Mathematik:
  • Vereinfachen algebraischer Ausdrücke: Viele komplexe Ausdrücke können mit diesen Formeln faktorisiert werden
  • Lösen kubischer Gleichungen: Das Erkennen von Kubenmustern hilft bei Gleichungen wie x3=27x^3 = 27
  • Analysis: Diese Muster erscheinen beim Vereinfachen von Grenzwerten und Ableitungen
  • Physik und Ingenieurwesen: Volumenberechnungen beinhalten oft kubische Ausdrücke
Das Beherrschen dieser Formeln gibt dir mächtige Werkzeuge zum Vereinfachen von Ausdrücken, die sonst sehr schwer zu faktorisieren wären.

Anwendungen im echten Leben

Volumenberechnungen

Bei der Berechnung der Differenz zwischen zwei kubischen Behältern vereinfachen Summen- und Differenzformeln für Kuben die Algebra.

Beispiel:

Ein großer Würfel hat die Seitenlänge x+2x + 2 und ein kleiner Würfel hat die Seitenlänge xx. Die Volumendifferenz ist (x+2)3−x3(x+2)^3 - x^3.

1Probiere es selbst

Ein Bildhauer entfernt einen Würfel mit 3 cm Seitenlänge aus einem Würfel mit 5 cm Seitenlänge.

Faktorisiere den Ausdruck für das verbleibende Volumen: 53−335^3 - 3^3

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Verwende die Kubendifferenzformel mit a=5a = 5 und b=3b = 3:

Ingenieurwesen und Physik

Kubische Beziehungen erscheinen in Formeln für Leistung, Energie und Strömungsmechanik.

Beispiel:

Die kinetische Energie des Windes ist proportional zur dritten Potenz der Windgeschwindigkeit. Der Vergleich zweier Windgeschwindigkeiten beinhaltet Kubenausdrücke.

2Probiere es selbst

Die Windleistung bei Geschwindigkeit vv ist proportional zu v3v^3. Wie viel mehr Leistung hat ein Wind mit 10 m/s im Vergleich zu einem Wind mit 4 m/s?

Vereinfache 103−4310^3 - 4^3 durch Faktorisieren

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Wende die Kubendifferenz an:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Summe von Kuben: a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
  • 2Differenz von Kuben: a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
  • 3Verwende GEIP zum Merken der Vorzeichen: Gleich, Entgegengesetzt, Immer Positiv
  • 4Perfekte Kuben zum Auswendiglernen: 1,8,27,64,125,216,343,512,729,10001, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000
  • 5Der Trinomfaktor (a2±ab+b2a^2 \pm ab + b^2) kann über den reellen Zahlen nicht weiter faktorisiert werden
  • 6Klammere immer den GGT aus, bevor du Kubenformeln anwendest

Häufig gestellte Fragen

Die Diskriminante von a2−ab+b2a^2 - ab + b^2 ist b2−4(1)(b2)=−3b2<0b^2 - 4(1)(b^2) = -3b^2 < 0. Da sie negativ ist, gibt es keine reellen Nullstellen, also kann es über den reellen Zahlen nicht faktorisiert werden.
Die Diskriminante von a2−ab+b2a^2 - ab + b^2 ist b2−4(1)(b2)=−3b2<0b^2 - 4(1)(b^2) = -3b^2 < 0. Da sie negativ ist, gibt es keine reellen Nullstellen, also kann es über den reellen Zahlen nicht faktorisiert werden.
Prüfe, ob du eine ganze Zahl findest, die hoch 3 die Zahl ergibt. Zum Beispiel ist 64=4364 = 4^3, weil 4×4×4=644 \times 4 \times 4 = 64. Merke dir die häufigen Kuben: 1,8,27,64,125,216,343,512,729,10001, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000.
Differenz von Quadraten: a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) ergibt zwei Binome. Differenz von Kuben: a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) ergibt ein Binom und ein Trinom.

Glossar

Perfekter Kubus
Eine Zahl, die als n3n^3 geschrieben werden kann, wobei nn eine ganze Zahl ist (z.B. 8=238 = 2^3, 27=3327 = 3^3)
Summe von Kuben
Ein Ausdruck der Form a3+b3a^3 + b^3, der als (a+b)(a2−ab+b2)(a + b)(a^2 - ab + b^2) faktorisiert wird
Differenz von Kuben
Ein Ausdruck der Form a3−b3a^3 - b^3, der als (a−b)(a2+ab+b2)(a - b)(a^2 + ab + b^2) faktorisiert wird
GEIP
Merkhilfe: Gleich, Entgegengesetzt, Immer Positiv - beschreibt die Vorzeichen in Kubenfaktorisierungsformeln

Formelkarte

Summe von Kuben

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Faktorisiere die Summe zweier Kuben in Binom und Trinom

Differenz von Kuben

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Faktorisiere die Differenz zweier Kuben in Binom und Trinom

GEIP-Muster

(a±b)(a2∓ab+b2)(a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)

Gleich, Entgegengesetzt, Immer Positiv - Vorzeichenmuster

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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