Summe und Differenz von Kuben

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welche der folgenden Zahlen ist ein perfekter Kubus?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
. Die anderen Zahlen sind keine perfekten Kuben: , , hat keine ganzzahlige Kubikwurzel.
2.
Was ist ?
Lösung: 4
, weil .
3.
In der Kubensummenformel , welches Vorzeichen hat der mittlere Term des Trinoms?
1. a)Positiv (+)
2. b)Null
3. c)Es hängt von a und b ab
4. d)Negativ (-)
Lösung: Negativ (-)
In der Kubensumme ist der mittlere Term (negativ). Merke dir GEIP: Gleich, Entgegengesetzt, Immer Positiv. Der mittlere Term hat das entgegengesetzte Vorzeichen zum Binom.
4.
Faktorisiere
Lösung: (x + 2)(x^2 - 2x + 4)
1. Was ist (die Kubikwurzel von )? x
2. Was ist (die Kubikwurzel von )? 2
3. Was ist der Binomfaktor ? (x + 2)
4. Was ist ? x^2
5. Was ist ? 2x
6. Was ist ? 4
5.
Faktorisiere . Was ist der Binomfaktor?
Lösung: (y - 1)
. Der Binomfaktor ist .
6.
Faktorisiere
Lösung: (x - 3)(x^2 + 3x + 9)
1. Was ist (die Kubikwurzel von )? x
2. Was ist (die Kubikwurzel von )? 3
3. Was ist der Binomfaktor ? (x - 3)
4. Was ist der Trinomfaktor ? (x^2 + 3x + 9)
7.
Was ist faktorisiert?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
8.
Faktorisiere . Schreibe den Binomfaktor.
Lösung: (4 - y)
. Hier ist und .
9.
Faktorisiere
Lösung: 2(x + 2)(x^2 - 2x + 4)
1. Was ist der GGT von und ? 2
2. Klammere den GGT aus. Was steht in der Klammer? (x^3 + 8)
3. Faktorisiere jetzt mit der Kubensumme. Was ist ? 2
4. Was ist die vollständige Faktorisierung? 2(x + 2)(x^2 - 2x + 4)
10.
Kann das Trinom über den reellen Zahlen weiter faktorisiert werden?
1. a)Ja, als
2. b)Ja, als
3. c)Nein, es ist prim
4. d)Ja, als
Lösung: Nein, es ist prim
Die Diskriminante . Da sie negativ ist, hat das Trinom keine reellen Nullstellen und kann über den reellen Zahlen nicht faktorisiert werden.
11.
Faktorisiere
Lösung: (3a - 2b)(9a^2 + 6ab + 4b^2)
1. Was ist die Kubikwurzel von ? 3a
2. Was ist die Kubikwurzel von ? 2b
3. Was ist ? 9a^2
4. Was ist ? 6ab
5. Was ist ? 4b^2
12.
Faktorisiere . Schreibe den Trinomfaktor.
Lösung: (25x^2 - 20xy + 16y^2)
. Das Trinom hat , und .
13.
Faktorisiere vollständig.
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
. Aber ist eine Quadratdifferenz. Die vollständige Faktorisierung ist . Hinweis: Dies kann auch als faktorisiert werden, was ergibt.
14.
Faktorisiere vollständig.
Lösung: 3(x + 3y)(x^2 - 3xy + 9y^2)
1. Was ist der GGT von und ? 3
2. Was steht nach dem Ausklammern des GGT in der Klammer? (x^3 + 27y^3)
3. Was ist die Kubikwurzel von ? 3y
4. Was ist die vollständige Faktorisierung? 3(x + 3y)(x^2 - 3xy + 9y^2)
15.
Was ist ?
Lösung: 5
, weil .
16.
Faktorisiere
Lösung: (x + 5)(x^2 - 5x + 25)
1. Was ist die Kubikwurzel von ? 5
2. Was ist der Binomfaktor ? (x + 5)
3. Was ist ? 25
4. Was ist der vollständige Trinomfaktor? (x^2 - 5x + 25)
17.
Faktorisiere . Schreibe den Binomfaktor.
Lösung: (10 - 3x)
. Der Binomfaktor ist .
18.
Welcher Ausdruck ist äquivalent zu ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
ist die faktorisierte Form von (Kubensumme).