Einstufige Ungleichung (Addition)

Löse $x + 5 > 12$ und stelle die Lösung dar.

Identifiziere die Operation: 5 wird zu $x$ addiert = Muss 5 subtrahieren

Subtrahiere 5 von beiden Seiten: $x + 5 - 5 > 12 - 5$ = $x > 7$

Stelle auf dem Zahlenstrahl dar: Offener Kreis bei 7, nach rechts schraffieren = Alle Zahlen größer als 7

Answer: $x > 7$ (offener Kreis bei 7, Pfeil nach rechts)

Einstufige Ungleichung (Multiplikation)

Löse $3x \leq 18$ und stelle die Lösung dar.

Identifiziere die Operation: $x$ wird mit 3 multipliziert = Muss durch 3 dividieren

Dividiere beide Seiten durch 3: $\frac{3x}{3} \leq \frac{18}{3}$ = $x \leq 6$

Prüfen: Muss das Zeichen umgedreht werden?: Division durch positive 3, kein Umdrehen nötig = Zeichen bleibt $\leq$

Stelle auf dem Zahlenstrahl dar: Geschlossener Kreis bei 6, nach links schraffieren = Alle Zahlen 6 oder kleiner

Answer: $x \leq 6$ (geschlossener Kreis bei 6, Pfeil nach links)

Ungleichung mit negativem Koeffizienten

Löse $-4x > 20$ und stelle die Lösung dar.

Identifiziere die Operation: $x$ wird mit $-4$ multipliziert = Muss durch $-4$ dividieren

Dividiere beide Seiten durch $-4$: $\frac{-4x}{-4} > \frac{20}{-4}$ = $x \text{ ? } -5$

Drehe das Ungleichheitszeichen UM!: Division durch negative Zahl dreht das Zeichen um = $x < -5$

Stelle auf dem Zahlenstrahl dar: Offener Kreis bei $-5$, nach links schraffieren = Alle Zahlen kleiner als $-5$

Answer: $x < -5$ (offener Kreis bei $-5$, Pfeil nach links)

Zweistufige Ungleichung

Löse $2x + 7 \geq 15$ und stelle die Lösung dar.

Subtrahiere 7 von beiden Seiten: $2x + 7 - 7 \geq 15 - 7$ = $2x \geq 8$

Dividiere beide Seiten durch 2: $\frac{2x}{2} \geq \frac{8}{2}$ = $x \geq 4$

Prüfen: Muss das Zeichen umgedreht werden?: Division durch positive 2, kein Umdrehen nötig = Zeichen bleibt $\geq$

Stelle auf dem Zahlenstrahl dar: Geschlossener Kreis bei 4, nach rechts schraffieren = Alle Zahlen 4 oder größer

Answer: $x \geq 4$ (geschlossener Kreis bei 4, Pfeil nach rechts)

Zweistufige mit negativem Koeffizienten

Löse $5 - 3x < 14$ und stelle die Lösung dar.

Subtrahiere 5 von beiden Seiten: $5 - 3x - 5 < 14 - 5$ = $-3x < 9$

Dividiere beide Seiten durch $-3$: $\frac{-3x}{-3} < \frac{9}{-3}$ = $x \text{ ? } -3$

Drehe das Ungleichheitszeichen UM!: Division durch $-3$ (negativ) dreht das Zeichen um = $x > -3$

Stelle auf dem Zahlenstrahl dar: Offener Kreis bei $-3$, nach rechts schraffieren = Alle Zahlen größer als $-3$

Answer: $x > -3$ (offener Kreis bei $-3$, Pfeil nach rechts)

Mistake: Vergessen, das Zeichen umzudrehen, wenn durch eine negative Zahl dividiert wird

Why: Der häufigste Fehler! Beim Dividieren (oder Multiplizieren) durch eine negative Zahl kehrt sich die Ungleichungsrichtung um.

Correct: $-2x > 8$ wird zu $x < -4$ (nicht $x > -4$). Das Zeichen MUSS umgedreht werden.

Mistake: Geschlossenen Kreis für strenge Ungleichungen ($<$ oder $>$) verwenden

Why: Strenge Ungleichungen ($<$, $>$) schließen den Grenzwert NICHT ein.

Correct: $x > 5$: Offener Kreis bei 5 (5 ist nicht enthalten). $x \geq 5$: Geschlossener Kreis bei 5 (5 ist enthalten).

Mistake: In die falsche Richtung schraffieren

Why: Schüler schraffieren manchmal basierend auf dem Zeichen, ohne die Position der Variable zu prüfen.

Correct: Teste immer einen Wert: Für $x > 3$, teste $x = 5$. Da $5 > 3$ wahr ist, schraffiere den Bereich, der 5 enthält.

Mistake: Das Zeichen umdrehen, wenn negative Zahlen subtrahiert werden

Why: Die Umdrehregel gilt NUR für Multiplikation und Division durch negative Zahlen, nicht für Addition/Subtraktion.

Correct: $x - (-5) > 2$ wird zu $x + 5 > 2$, dann $x > -3$. Kein Umdrehen bei Subtraktion nötig.

Budgetplanung

Bestimme, wie viele Artikel du kaufen kannst und dabei im Budget bleibst.

Konzertkarten kosten 25€ pro Stück, plus 15€ Servicegebühr. Wenn du 90€ hast, wie viele Karten kannst du kaufen? $25t + 15 \leq 90$

Geschwindigkeit und Entfernung

Berechne sichere Fahrgeschwindigkeiten, um pünktlich anzukommen.

Du musst mindestens 200 km in 4 Stunden fahren. Welche Durchschnittsgeschwindigkeit ist erforderlich? $4s \geq 200$, also $s \geq 50$ km/h.

Q: Wann drehe ich das Ungleichheitszeichen um?

A: Nur wenn du beide Seiten mit einer **negativen** Zahl multiplizierst oder dividierst. Addieren oder Subtrahieren (auch von negativen Zahlen) erfordert kein Umdrehen.

Q: Was ist der Unterschied zwischen < und \leq?

A: $<$ bedeutet streng kleiner als (nicht gleich), dargestellt mit einem offenen Kreis. $\leq$ bedeutet kleiner als ODER gleich, dargestellt mit einem geschlossenen Kreis.

Q: Wie überprüfe ich meine Antwort?

A: Wähle einen Wert aus deiner Lösungsmenge und setze ihn in die ursprüngliche Ungleichung ein. Wenn die Ungleichung wahr wird, ist deine Antwort wahrscheinlich richtig.