Allgemeine Form linearer Gleichungen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welche Gleichung ist in allgemeiner Form?
1. a) $3y = 6x + 9$
2. b) $y = 3x + 5$
3. c) $2x + 4y = 12$
4. d) $x = 2y - 1$
Lösung: $2x + 4y = 12$
$2x + 4y = 12$ ist in allgemeiner Form $Ax + By = C$ mit $A = 2$ , $B = 4$ , $C = 12$ . Alle Koeffizienten sind ganze Zahlen und $A > 0$ .
2.
In der Gleichung $5x - 3y = 15$ , welchen Wert hat $B$ ?
1. a) $-3$
2. b) $5$
3. c) $15$
4. d) $3$
Lösung: $-3$
In der allgemeinen Form $Ax + By = C$ ist der Koeffizient von $y$ gleich $B$ . Hier bedeutet $5x - 3y = 15$ , dass $B = -3$ (einschließlich des Minuszeichens).
3.
Finde den y-Achsenabschnitt von $4x + 2y = 10$ . Gib nur die Zahl ein.
Lösung: 5
Setze $x = 0$ : $4(0) + 2y = 10 \Rightarrow 2y = 10 \Rightarrow y = 5$ . Der y-Achsenabschnitt ist $(0, 5)$ .
4.
Finde den x-Achsenabschnitt von $3x + 6y = 18$ . Gib nur die Zahl ein.
Lösung: 6
Setze $y = 0$ : $3x + 6(0) = 18 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6$ . Der x-Achsenabschnitt ist $(6, 0)$ .
5.
Wandle $y = 4x - 3$ in die allgemeine Form um.
1. a) $-4x + y = -3$
2. b) $y - 4x = 3$
3. c) $4x - y = 3$
4. d) $4x + y = 3$
Lösung: $4x - y = 3$
$y = 4x - 3 \Rightarrow -4x + y = -3$ . Mit $-1$ multiplizieren: $4x - y = 3$ . Das ist die allgemeine Form mit $A = 4 > 0$ .
6.
Wandle $y = -2x + 8$ in die allgemeine Form um und finde den Wert von C.
Lösung: 8
$y = -2x + 8 \Rightarrow 2x + y = 8$ . In der allgemeinen Form $Ax + By = C$ haben wir $C = 8$ .
7.
Wandle $6x + 3y = 24$ in die Steigungsform um.
Lösung: y = -2x + 8
1. Isoliere den y-Term, indem du 6x von beiden Seiten subtrahierst. Was erhältst du? 3y = -6x + 24
2. Teile beide Seiten durch 3, um nach y aufzulösen. Was ist die Steigungsform? y = -2x + 8
8.
Finde den x-Achsenabschnitt und den y-Achsenabschnitt von $5x - 2y = 20$ .
Lösung: (4, 0), (0, -10)
1. Um den x-Achsenabschnitt zu finden, setze y = 0. Was ist x? 4
2. Um den y-Achsenabschnitt zu finden, setze x = 0. Was ist y? -10
9.
Welche Gleichung ist NICHT in korrekter allgemeiner Form?
1. a) $3x + 2y = 7$
2. b) $x - 4y = 8$
3. c) $7x + y = 14$
4. d) $-2x + 5y = 10$
Lösung: $-2x + 5y = 10$
$-2x + 5y = 10$ hat $A = -2 < 0$ . Die korrekte allgemeine Form erfordert $A > 0$ . Es sollte $2x - 5y = -10$ sein.
10.
Was ist die Steigung der Geraden $8x + 4y = 16$ ? Gib als Bruch oder ganze Zahl ein.
Lösung: -2
$8x + 4y = 16 \Rightarrow 4y = -8x + 16 \Rightarrow y = -2x + 4$ . Die Steigung ist $m = -2$ .
11.
Schreibe $\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y = 4$ in allgemeiner Form mit ganzzahligen Koeffizienten.
Lösung: 3x + 2y = 24
1. Was ist das kgV von 2 und 3? 6
2. Multipliziere die gesamte Gleichung mit 6. Was ist das Ergebnis? 3x + 2y = 24
12.
Schreibe eine Gleichung in allgemeiner Form für die Gerade durch $(3, 2)$ und $(6, 8)$ .
Lösung: 2x - y = 4
1. Berechne die Steigung mit den zwei Punkten. 2
2. Schreibe in Punkt-Steigungs-Form mit Punkt (3, 2). y - 2 = 2(x - 3)
3. Multipliziere aus und bringe die Gleichung in die allgemeine Form. 2x - y = 4
13.
Wenn die Gerade $3x + ky = 15$ durch den Punkt $(2, 3)$ geht, was ist der Wert von $k$ ?
1. a) $4$
2. b) $2$
3. c) $5$
4. d) $3$
Lösung: $3$
Einsetzen von $(2, 3)$ : $3(2) + k(3) = 15 \Rightarrow 6 + 3k = 15 \Rightarrow 3k = 9 \Rightarrow k = 3$ .
14.
Eine Gerade in allgemeiner Form $Ax + By = 20$ hat x-Achsenabschnitt $(5, 0)$ und y-Achsenabschnitt $(0, 4)$ . Was ist der Wert von $A + B$ ?
Lösung: 9
Mit $(5, 0)$ : $A(5) + B(0) = 20 \Rightarrow A = 4$ . Mit $(0, 4)$ : $A(0) + B(4) = 20 \Rightarrow B = 5$ . Also $A + B = 9$ .
15.
Konzertkarten kosten 20 Euro für Erwachsene und 15 Euro für Kinder. Eine Gruppe gab 200 Euro für Karten aus. Schreibe eine Gleichung in allgemeiner Form und finde heraus, wie viele Erwachsenenkarten gekauft wurden, wenn es 4 Kinder waren. x ist die Anzahl der Erwachsenenkarten, y die Anzahl der Kinderkarten.
Lösung: 7
1. Schreibe die Kostengleichung in allgemeiner Form. 20x + 15y = 200
2. Setze y = 4 (Kinder) in die Gleichung ein. 20x + 60 = 200
3. Löse nach x (Erwachsenenkarten) auf. 7
16.
Schreibe eine Gleichung in allgemeiner Form für die Gerade mit Steigung $\frac{3}{4}$ , die durch $(8, 5)$ geht.
Lösung: 3x - 4y = 4
1. Schreibe in Punkt-Steigungs-Form. y - 5 = (3/4)(x - 8)
2. Multipliziere beide Seiten mit 4, um den Bruch zu eliminieren. 4y - 20 = 3x - 24
3. Bringe die Gleichung in die allgemeine Form, mit positivem A. 3x - 4y = 4
17.
Was stellt die Gleichung $3x = 12$ dar?
1. a)Ein Punkt bei $(4, 0)$
2. b)Eine vertikale Gerade bei $x = 4$
3. c)Eine Gerade mit Steigung 3
4. d)Eine horizontale Gerade bei $y = 4$
Lösung: Eine vertikale Gerade bei $x = 4$
$3x = 12 \Rightarrow x = 4$ ist eine vertikale Gerade, wo x immer 4 ist, unabhängig von y. Das ist die allgemeine Form mit $B = 0$ .
18.
Die Geraden $2x + 3y = 12$ und $4x + 6y = k$ sind dieselbe Gerade. Was ist $k$ ?
Lösung: 24
Die zweite Gleichung ist die erste mal 2: $2(2x + 3y) = 2(12) \Rightarrow 4x + 6y = 24$ . Also $k = 24$ .