Polynome addieren und subtrahieren
Lerne, wie man Polynome durch Zusammenfassen gleichartiger Terme addiert und subtrahiert.
Definition
- und sind gleichartig (beide haben )
- und sind gleichartig (beide haben )
- und sind gleichartig (beide sind Konstanten)
- und sind NICHT gleichartig (verschiedene Potenzen)
- und sind NICHT gleichartig (verschiedene Variablen)
Probier es gleich aus
Lösungsbeispiele
Addiere:
Identifiziere gleichartige Terme
-Terme: und -Terme: und Konstanten: und → Drei Gruppen gleichartiger Terme
Addiere die -Terme
→
Addiere die -Terme
→
Addiere die Konstanten
→
Schreibe das Endergebnis
Kombiniere alle Ergebnisse in Standardform →
Antwort:
Häufige Fehler
Vergessen, das Minuszeichen auf ALLE Terme beim Subtrahieren zu verteilen
Warum es falsch ist: Beim Subtrahieren von gilt das Minus für jeden Term in der Klammer.
Richtig: , NICHT
Ungleichartige Terme zusammenzählen
Warum es falsch ist: kann nicht vereinfacht werden, weil und verschiedene Potenzen sind.
Richtig: Kombiniere nur Terme mit DERSELBEN Variable UND DEMSELBEN Exponenten. ist bereits vereinfacht.
Koeffizienten mit Exponenten beim Kombinieren verwechseln
Warum es falsch ist: Beim Addieren von addiert man die Koeffizienten (3 und 5), nicht die Exponenten.
Richtig: (NICHT ). Der Exponent bleibt gleich!
Terme ohne gleichartigen Partner vergessen
Warum es falsch ist: Wenn es keinen passenden Term gibt, steht der Term allein in der Antwort.
Richtig: . Das und haben keine Partner.
Interaktive Visualisierung
Waage
Lösung: x = 4
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Übungsaufgaben
16 AufgabenWelche Terme sind gleichartig?
Warum es wichtig ist
- Physik: Bewegungsgleichungen wie zu kombinieren erfordert Polynom-Arithmetik
- Ingenieurwesen: Flächen- und Volumenberechnungen beinhalten oft das Addieren von Polynomausdrücken
- Wirtschaft: Gewinnfunktionen kombinieren Erlös- und Kostenpolynome:
- Informatik: Polynomielle Algorithmen und Komplexitätsanalyse nutzen diese Operationen
Anwendungen im echten Leben
Wirtschaft: Gewinnberechnungen
Unternehmen berechnen Gewinn durch Subtraktion der Kosten vom Erlös, wobei beides oft Polynomfunktionen sind.
Beispiel:
Wenn der Erlös und die Kosten sind, dann ist der Gewinn
Ein Unternehmen hat Erlös und Kosten für die Produktion von Einheiten.
Wie lautet das Gewinnpolynom ?
Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck
Subtrahiere:
Physik: Bewegungsgleichungen kombinieren
Wenn sich Objekte in dieselbe Richtung bewegen, können ihre Positionsgleichungen addiert werden.
Beispiel:
Wenn zwei Kräfte Verschiebungen und erzeugen, ist die Gesamtverschiebung
Zwei Bewegungskomponenten werden durch und beschrieben.
Finde die Gesamtbewegung .
Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck
Addiere:
Architektur: Flächenberechnungen
Beim Kombinieren oder Entfernen von Abschnitten in Grundrissen addieren oder subtrahieren Architekten polynomiale Flächenausdrücke.
Beispiel:
Ein Raum mit Fläche bekommt eine Nische mit Fläche hinzugefügt. Gesamtfläche:
Ein rechteckiges Grundstück hat die Fläche . Ein Schuppen mit Fläche wird darauf gebaut.
Wie groß ist die verbleibende nutzbare Fläche?
Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck
Subtrahiere:
Wichtige Erkenntnisse
- 1Gleichartige Terme haben dieselbe Variable mit derselben Potenz
- 2Um Polynome zu addieren, kombiniere die Koeffizienten gleichartiger Terme
- 3Um Polynome zu subtrahieren, verteile das Minuszeichen auf jeden Term, dann kombiniere gleichartige Terme
- 4Terme ohne passenden gleichartigen Term bleiben unverändert im Ergebnis
- 5Schreibe deine Endantwort immer in Standardform (höchster Grad zuerst)
Häufig gestellte Fragen
Glossar
- Polynom
- Ein Ausdruck mit einem oder mehreren Termen, wobei jeder Term eine Variable mit einer nicht-negativen ganzzahligen Potenz hat
- Gleichartige Terme
- Terme, die exakt dieselbe Variable mit derselben Potenz haben (z.B. und )
- Koeffizient
- Der numerische Faktor vor einer Variablen (z.B. in ist der Koeffizient 7)
- Standardform
- Ein Polynom, geschrieben mit Termen geordnet vom höchsten zum niedrigsten Grad
- Grad
- Der höchste Exponent in einem Polynom; für einen Term ist es der Exponent der Variable