Polynome addieren und subtrahieren

Lerne, wie man Polynome durch Zusammenfassen gleichartiger Terme addiert und subtrahiert.

Fortgeschritten25 MinLektion
Arbeitsblatt zum Drucken

Definition

Polynome addieren und subtrahieren bedeutet, gleichartige Terme zu kombinieren – Terme, die dieselbe Variable mit derselben Potenz haben.
Gleichartige Terme haben dieselbe Variable und denselben Exponenten:
  • 3x23x^2 und 5x25x^2 sind gleichartig (beide haben x2x^2)
  • 2x2x und −7x-7x sind gleichartig (beide haben x1x^1)
  • 44 und −9-9 sind gleichartig (beide sind Konstanten)
Ungleichartige Terme können nicht kombiniert werden:
  • 3x23x^2 und 5x5x sind NICHT gleichartig (verschiedene Potenzen)
  • 2x2x und 2y2y sind NICHT gleichartig (verschiedene Variablen)
Polynome addieren: Kombiniere gleichartige Terme durch Addition ihrer Koeffizienten.
(3x2+2x+1)+(5x2−4x+3)=(3x2+5x2)+(2x−4x)+(1+3)=8x2−2x+4\begin{align}(3x^2 + 2x + 1) + (5x^2 - 4x + 3) &= (3x^2 + 5x^2) + (2x - 4x) + (1 + 3) \\ &= 8x^2 - 2x + 4\end{align}
Polynome subtrahieren: Verteile das Minuszeichen, dann kombiniere gleichartige Terme.
(3x2+2x+1)−(5x2−4x+3)=3x2+2x+1−5x2+4x−3=−2x2+6x−2\begin{align}(3x^2 + 2x + 1) - (5x^2 - 4x + 3) &= 3x^2 + 2x + 1 - 5x^2 + 4x - 3 \\ &= -2x^2 + 6x - 2\end{align}

Probier es gleich aus

Welche Terme sind gleichartig?

Lösungsbeispiele

Addiere: (4x2+3x−5)+(2x2−7x+8)(4x^2 + 3x - 5) + (2x^2 - 7x + 8)
1

Identifiziere gleichartige Terme

x2x^2-Terme: 4x24x^2 und 2x22x^2 xx-Terme: 3x3x und −7x-7x Konstanten: −5-5 und 88 → Drei Gruppen gleichartiger Terme
2

Addiere die x2x^2-Terme

4x2+2x2=6x24x^2 + 2x^2 = 6x^2
3

Addiere die xx-Terme

3x+(−7x)=3x−7x=−4x3x + (-7x) = 3x - 7x = -4x
4

Addiere die Konstanten

−5+8=3-5 + 8 = 3
5

Schreibe das Endergebnis

Kombiniere alle Ergebnisse in Standardform → 6x2−4x+36x^2 - 4x + 3

Häufige Fehler

Vergessen, das Minuszeichen auf ALLE Terme beim Subtrahieren zu verteilen

Warum es falsch ist: Beim Subtrahieren von (3x2+2x−1)(3x^2 + 2x - 1) gilt das Minus für jeden Term in der Klammer.

Richtig: (5x2)−(3x2+2x−1)=5x2−3x2−2x+1(5x^2) - (3x^2 + 2x - 1) = 5x^2 - 3x^2 - 2x + 1, NICHT 5x2−3x2+2x−15x^2 - 3x^2 + 2x - 1

Ungleichartige Terme zusammenzählen

Warum es falsch ist: 3x2+5x3x^2 + 5x kann nicht vereinfacht werden, weil x2x^2 und xx verschiedene Potenzen sind.

Richtig: Kombiniere nur Terme mit DERSELBEN Variable UND DEMSELBEN Exponenten. 3x2+5x3x^2 + 5x ist bereits vereinfacht.

Koeffizienten mit Exponenten beim Kombinieren verwechseln

Warum es falsch ist: Beim Addieren von 3x2+5x23x^2 + 5x^2 addiert man die Koeffizienten (3 und 5), nicht die Exponenten.

Richtig: 3x2+5x2=8x23x^2 + 5x^2 = 8x^2 (NICHT 8x48x^4). Der Exponent bleibt gleich!

Terme ohne gleichartigen Partner vergessen

Warum es falsch ist: Wenn es keinen passenden Term gibt, steht der Term allein in der Antwort.

Richtig: (x3+2x)+(5x2−x)=x3+5x2+x(x^3 + 2x) + (5x^2 - x) = x^3 + 5x^2 + x. Das x3x^3 und 5x25x^2 haben keine Partner.

Interaktive Visualisierung

Algebra-Kacheln: gleichartige Terme zusammenfassen

Jede Kachel ist ein Term: große Quadrate sind x², lange Streifen sind x, kleine Quadrate sind 1. Rote Kacheln sind negativ.

4x24x^2
3x3x
−5-5
2x22x^2
−7x-7x
88

4x2+3x−5+2x2−7x+84x^2 + 3x - 5 + 2x^2 - 7x + 8

Jeder Term wird zu Kacheln: Der Koeffizient sagt, wie viele.

=x2= x^2=x= x=1= 1negativ

Funktionsgraph

-3-2-10123-10010203040xy

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

p(x)q(x)p(x) + q(x)

Wertetabelle

x-2-1012
p(x)5-4-5217
q(x)3017832
p(x) + q(x)35133519

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

16 Aufgaben
Aufgabe 1 von 16
Einfach
Welche Terme sind gleichartig?

Warum es wichtig ist

Polynom-Operationen sind fundamentale Bausteine in der Algebra und darüber hinaus:
  • Physik: Bewegungsgleichungen wie s=ut+12at2s = ut + \frac{1}{2}at^2 zu kombinieren erfordert Polynom-Arithmetik
  • Ingenieurwesen: Flächen- und Volumenberechnungen beinhalten oft das Addieren von Polynomausdrücken
  • Wirtschaft: Gewinnfunktionen kombinieren Erlös- und Kostenpolynome: G(x)=E(x)−K(x)G(x) = E(x) - K(x)
  • Informatik: Polynomielle Algorithmen und Komplexitätsanalyse nutzen diese Operationen
Das Beherrschen von Polynom-Addition und -Subtraktion bereitet dich auf Faktorisierung, Gleichungslösen und Analysis vor!

Anwendungen im echten Leben

Wirtschaft: Gewinnberechnungen

Unternehmen berechnen Gewinn durch Subtraktion der Kosten vom Erlös, wobei beides oft Polynomfunktionen sind.

Beispiel:

Wenn der Erlös E(x)=50x−0,5x2E(x) = 50x - 0{,}5x^2 und die Kosten K(x)=20x+100K(x) = 20x + 100 sind, dann ist der Gewinn G(x)=E(x)−K(x)=50x−0,5x2−20x−100=−0,5x2+30x−100G(x) = E(x) - K(x) = 50x - 0{,}5x^2 - 20x - 100 = -0{,}5x^2 + 30x - 100

1Probiere es selbst

Ein Unternehmen hat Erlös E(x)=100x−2x2E(x) = 100x - 2x^2 und Kosten K(x)=30x+500K(x) = 30x + 500 für die Produktion von xx Einheiten.

Wie lautet das Gewinnpolynom G(x)=E(x)−K(x)G(x) = E(x) - K(x)?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Subtrahiere: (100x−2x2)−(30x+500)(100x - 2x^2) - (30x + 500)

Physik: Bewegungsgleichungen kombinieren

Wenn sich Objekte in dieselbe Richtung bewegen, können ihre Positionsgleichungen addiert werden.

Beispiel:

Wenn zwei Kräfte Verschiebungen d1=3t2+2td_1 = 3t^2 + 2t und d2=t2−5t+10d_2 = t^2 - 5t + 10 erzeugen, ist die Gesamtverschiebung d=d1+d2=4t2−3t+10d = d_1 + d_2 = 4t^2 - 3t + 10

2Probiere es selbst

Zwei Bewegungskomponenten werden durch s1=5t2+3ts_1 = 5t^2 + 3t und s2=2t2−8t+4s_2 = 2t^2 - 8t + 4 beschrieben.

Finde die Gesamtbewegung s=s1+s2s = s_1 + s_2.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Addiere: (5t2+3t)+(2t2−8t+4)(5t^2 + 3t) + (2t^2 - 8t + 4)

Architektur: Flächenberechnungen

Beim Kombinieren oder Entfernen von Abschnitten in Grundrissen addieren oder subtrahieren Architekten polynomiale Flächenausdrücke.

Beispiel:

Ein Raum mit Fläche A1=x2+6xA_1 = x^2 + 6x bekommt eine Nische mit Fläche A2=2x+5A_2 = 2x + 5 hinzugefügt. Gesamtfläche: A1+A2=x2+8x+5A_1 + A_2 = x^2 + 8x + 5

3Probiere es selbst

Ein rechteckiges Grundstück hat die Fläche A=x2+10x+24A = x^2 + 10x + 24. Ein Schuppen mit Fläche S=2x+8S = 2x + 8 wird darauf gebaut.

Wie groß ist die verbleibende nutzbare Fläche?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Subtrahiere: (x2+10x+24)−(2x+8)(x^2 + 10x + 24) - (2x + 8)

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Gleichartige Terme haben dieselbe Variable mit derselben Potenz
  • 2Um Polynome zu addieren, kombiniere die Koeffizienten gleichartiger Terme
  • 3Um Polynome zu subtrahieren, verteile das Minuszeichen auf jeden Term, dann kombiniere gleichartige Terme
  • 4Terme ohne passenden gleichartigen Term bleiben unverändert im Ergebnis
  • 5Schreibe deine Endantwort immer in Standardform (höchster Grad zuerst)

Häufig gestellte Fragen

Nein! Das sind ungleichartige Terme, weil sie verschiedene Exponenten haben. 3x2+5x3x^2 + 5x ist bereits vollständig vereinfacht.
Nein! Das sind ungleichartige Terme, weil sie verschiedene Exponenten haben. 3x2+5x3x^2 + 5x ist bereits vollständig vereinfacht.
Die Exponenten bleiben gleich! Beim Addieren von 3x2+5x23x^2 + 5x^2 addiert man nur die Koeffizienten: 3+5=83 + 5 = 8, also ist das Ergebnis 8x28x^2.
Ein Polynom zu subtrahieren bedeutet, jeden Term darin zu subtrahieren. Das Minuszeichen vor der Klammer gilt für alle Terme darin, also muss jedes Vorzeichen geändert werden.

Glossar

Polynom
Ein Ausdruck mit einem oder mehreren Termen, wobei jeder Term eine Variable mit einer nicht-negativen ganzzahligen Potenz hat
Gleichartige Terme
Terme, die exakt dieselbe Variable mit derselben Potenz haben (z.B. 3x23x^2 und −5x2-5x^2)
Koeffizient
Der numerische Faktor vor einer Variablen (z.B. in 7x27x^2 ist der Koeffizient 7)
Standardform
Ein Polynom, geschrieben mit Termen geordnet vom höchsten zum niedrigsten Grad
Grad
Der höchste Exponent in einem Polynom; für einen Term ist es der Exponent der Variable
Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

Mehr zu diesem Thema

Einführung in Polynome

Mittelstufe25 Min

FOIL-Methode

Mittelstufe25 Min

Polynome klassifizieren

Mittelstufe20 Min

Polynome multiplizieren

Mittelstufe25 Min