Polynome multiplizieren

Lerne, wie man Polynome mit dem Distributivgesetz und der FOIL-Methode multipliziert.

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Definition

Polynome multiplizieren bedeutet, jeden Term eines Polynoms mit jedem Term des anderen Polynoms zu multiplizieren und dann gleichartige Terme zusammenzufassen.
Das Distributivgesetz besagt:
a(b+c)=ab+aca(b + c) = ab + ac
Für zwei Binome verwenden wir die FOIL-Methode:
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
FOIL steht für:
  • First (Erste Terme): a×ca \times c
  • Outer (Äußere Terme): a×da \times d
  • Inner (Innere Terme): b×cb \times c
  • Last (Letzte Terme): b×db \times d

Probier es gleich aus

Was ist 2x(x+3)2x(x + 3)?

Lösungsbeispiele

Multipliziere: 3x(2x+5)3x(2x + 5)
1

Verteile das Monom auf jeden Term

3x×2x+3x×53x \times 2x + 3x \times 5 → Distributivgesetz anwenden
2

Berechne das erste Produkt

3x×2x=6x23x \times 2x = 6x^2
3

Berechne das zweite Produkt

3x×5=15x3x \times 5 = 15x
4

Fasse die Terme zusammen

6x2+15x6x^2 + 15x → Endergebnis

Häufige Fehler

Nur die ersten und letzten Terme multiplizieren: (x+3)(x+4)=x2+12(x + 3)(x + 4) = x^2 + 12

Warum es falsch ist: Jeder Term im ersten Polynom muss mit jedem Term im zweiten Polynom multipliziert werden.

Richtig: FOIL anwenden: x2+4x+3x+12=x2+7x+12x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12

Mittleren Term beim Quadrieren vergessen: (x+5)2=x2+25(x + 5)^2 = x^2 + 25

Warum es falsch ist: Das Quadrieren eines Binoms ergibt drei Terme, nicht zwei. Der mittlere Term ist 2ab2ab.

Richtig: (x+5)2=x2+10x+25(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25

Vorzeichenfehler bei negativen Termen: (−3)(5)=15(-3)(5) = 15

Warum es falsch ist: Eine negative Zahl mal einer positiven Zahl ergibt eine negative Zahl.

Richtig: (−3)(5)=−15(-3)(5) = -15

Exponenten falsch addieren: x×x=2xx \times x = 2x

Warum es falsch ist: Beim Multiplizieren von Variablen addieren wir die Exponenten: x1×x1=x2x^1 \times x^1 = x^2

Richtig: x×x=x2x \times x = x^2

Interaktive Visualisierung

Flächenmodell: Binome multiplizieren

Das Rechteck ist (x + a) mal (x + b). Seine vier Teile sind die vier Produkte beim Ausmultiplizieren.

x2x^2
3x3x
4x4x
1212
xx
33
xx
44

Länge × Breite = Fläche

(x+3)(x+4)=x2+7x+12(x + 3)(x + 4) = x^2 + 7x + 12

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

16 Aufgaben
Aufgabe 1 von 16
Einfach
Was ist 2x(x+3)2x(x + 3)?

Warum es wichtig ist

Das Multiplizieren von Polynomen ist wichtig für:
  • Faktorisieren: Um zu faktorisieren, muss man verstehen, wie Faktoren multipliziert werden
  • Gleichungen lösen: Quadratische Gleichungen entstehen oft durch Polynom-Multiplikation
  • Flächenberechnungen: Berechnung der Fläche von Rechtecken mit variablen Seitenlängen
  • Modellierung: Physik, Ingenieurwesen und Wirtschaft nutzen Polynomprodukte
Diese Fähigkeit öffnet Türen zu fortgeschrittenen Algebra-Themen!

Anwendungen im echten Leben

Fläche eines Gartens

Flächenberechnungen mit variablen Abmessungen erfordern Polynom-Multiplikation.

Beispiel:

Ein rechteckiger Garten hat die Länge (x+5)(x + 5) Meter und die Breite (x+3)(x + 3) Meter. Die Fläche ist (x+5)(x+3)=x2+8x+15(x + 5)(x + 3) = x^2 + 8x + 15 Quadratmeter.

1Probiere es selbst

Ein Rahmen um ein Bild fügt jeder Seite 2 cm hinzu. Das Bild ist xx cm mal xx cm.

Wie groß ist die Gesamtfläche einschließlich des Rahmens?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Multipliziere (x+4)(x+4)(x + 4)(x + 4):

Geschäftsumsatz

Umsatzberechnungen beinhalten oft das Multiplizieren von Ausdrücken für Preis und Menge.

Beispiel:

Wenn der Preis (20−x)(20 - x) Euro beträgt und die verkaufte Menge (100+5x)(100 + 5x) Artikel ist, dann ist der Umsatz (20−x)(100+5x)=2000+100x−100x−5x2=2000−5x2(20 - x)(100 + 5x) = 2000 + 100x - 100x - 5x^2 = 2000 - 5x^2 Euro.

2Probiere es selbst

Ein Geschäft verkauft (50+x)(50 + x) Artikel zu je (10−x)(10 - x) Euro.

Schreibe den Umsatz als Polynom.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Multipliziere (50+x)(10−x)(50 + x)(10 - x):

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Verwende das Distributivgesetz, um jeden Term eines Polynoms mit jedem Term des anderen zu multiplizieren
  • 2Für zwei Binome verwende FOIL: First, Outer, Inner, Last
  • 3Fasse gleichartige Terme zusammen nach dem Multiplizieren
  • 4Beim Quadrieren eines Binoms: (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
  • 5Achte auf Vorzeichenfehler, besonders bei negativen Termen

Häufig gestellte Fragen

FOIL funktioniert nur für das Multiplizieren von zwei Binomen. Für andere Fälle verwende das allgemeine Distributivgesetz.
FOIL funktioniert nur für das Multiplizieren von zwei Binomen. Für andere Fälle verwende das allgemeine Distributivgesetz.
Quadrieren bedeutet, mit sich selbst zu multiplizieren: (x+3)(x+3)(x + 3)(x + 3). Mit FOIL ergibt sich x2+3x+3x+9=x2+6x+9x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9.
Fasse Terme mit gleicher Variable und gleichem Exponenten zusammen. Höre auf, wenn keine gleichartigen Terme mehr übrig sind.

Glossar

Polynom
Ein Ausdruck mit einem oder mehreren Termen aus Variablen und Koeffizienten (z.B. 3x2+2x−53x^2 + 2x - 5)
Binom
Ein Polynom mit genau zwei Termen (z.B. x+3x + 3)
Trinom
Ein Polynom mit genau drei Termen (z.B. x2+5x+6x^2 + 5x + 6)
FOIL
Eine Methode zum Multiplizieren von zwei Binomen: First, Outer, Inner, Last
Gleichartige Terme
Terme mit der gleichen Variable in der gleichen Potenz (z.B. 3x23x^2 und 5x25x^2)

Formelkarte

Distributivgesetz

a(b+c)=ab+aca(b + c) = ab + ac

Multipliziere den Term außen mit jedem Term innen

FOIL-Methode

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

First, Outer, Inner, Last für zwei Binome

Quadrat einer Summe

(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Muster für vollständiges Quadrat

Quadrat einer Differenz

(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Beachte das Minuszeichen beim mittleren Term

Differenz von Quadraten

(a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Die mittleren Terme heben sich auf

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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