Zwei Polynome addieren

Addiere: $(4x^2 + 3x - 5) + (2x^2 - 7x + 8)$

Identifiziere gleichartige Terme: $x^2$-Terme: $4x^2$ und $2x^2$ $x$-Terme: $3x$ und $-7x$ Konstanten: $-5$ und $8$ = Drei Gruppen gleichartiger Terme

Addiere die $x^2$-Terme: $4x^2 + 2x^2 = 6x^2$ = $6x^2$

Addiere die $x$-Terme: $3x + (-7x) = 3x - 7x = -4x$ = $-4x$

Addiere die Konstanten: $-5 + 8 = 3$ = $3$

Schreibe das Endergebnis: Kombiniere alle Ergebnisse in Standardform = $6x^2 - 4x + 3$

Answer: $6x^2 - 4x + 3$

Polynome subtrahieren

Subtrahiere: $(5x^2 - 2x + 4) - (3x^2 + 6x - 1)$

Verteile das Minuszeichen: Ändere jedes Vorzeichen im zweiten Polynom: $-(3x^2 + 6x - 1) = -3x^2 - 6x + 1$ = $5x^2 - 2x + 4 - 3x^2 - 6x + 1$

Gruppiere gleichartige Terme: $(5x^2 - 3x^2) + (-2x - 6x) + (4 + 1)$ = Nach Grad gruppiert

Kombiniere $x^2$-Terme: $5x^2 - 3x^2 = 2x^2$ = $2x^2$

Kombiniere $x$-Terme: $-2x - 6x = -8x$ = $-8x$

Kombiniere Konstanten: $4 + 1 = 5$ = $5$

Schreibe das Ergebnis: Alles zusammenfügen = $2x^2 - 8x + 5$

Answer: $2x^2 - 8x + 5$

Polynome mit fehlenden Termen

Vereinfache: $(x^3 - 4x + 2) + (3x^2 + 5x - 7)$

Identifiziere alle Terme nach Grad: Erstes Polynom: $x^3$ (Grad 3), $-4x$ (Grad 1), $2$ (Grad 0) Zweites Polynom: $3x^2$ (Grad 2), $5x$ (Grad 1), $-7$ (Grad 0) = Einige Grade haben nur einen Term

Behandle Terme ohne Partner: $x^3$ hat keinen gleichartigen Term – behalte ihn $3x^2$ hat keinen gleichartigen Term – behalte ihn = $x^3 + 3x^2$

Kombiniere $x$-Terme: $-4x + 5x = x$ = $x$

Kombiniere Konstanten: $2 + (-7) = 2 - 7 = -5$ = $-5$

Schreibe in Standardform: Nach absteigendem Grad ordnen = $x^3 + 3x^2 + x - 5$

Answer: $x^3 + 3x^2 + x - 5$

Subtrahieren mit negativem führenden Koeffizienten

Vereinfache: $(2x^2 - 5x + 3) - (-4x^2 + 2x - 6)$

Verteile das Minus auf das zweite Polynom: $-(-4x^2) = +4x^2$ $-(+2x) = -2x$ $-(-6) = +6$ = $2x^2 - 5x + 3 + 4x^2 - 2x + 6$

Kombiniere $x^2$-Terme: $2x^2 + 4x^2 = 6x^2$ = $6x^2$

Kombiniere $x$-Terme: $-5x - 2x = -7x$ = $-7x$

Kombiniere Konstanten: $3 + 6 = 9$ = $9$

Schreibe die Endantwort: Standardform: höchster Grad zuerst = $6x^2 - 7x + 9$

Answer: $6x^2 - 7x + 9$

Mistake: Vergessen, das Minuszeichen auf ALLE Terme beim Subtrahieren zu verteilen

Why: Beim Subtrahieren von $(3x^2 + 2x - 1)$ gilt das Minus für jeden Term in der Klammer.

Correct: $(5x^2) - (3x^2 + 2x - 1) = 5x^2 - 3x^2 - 2x + 1$, NICHT $5x^2 - 3x^2 + 2x - 1$

Mistake: Ungleichartige Terme zusammenzählen

Why: $3x^2 + 5x$ kann nicht vereinfacht werden, weil $x^2$ und $x$ verschiedene Potenzen sind.

Correct: Kombiniere nur Terme mit DERSELBEN Variable UND DEMSELBEN Exponenten. $3x^2 + 5x$ ist bereits vereinfacht.

Mistake: Koeffizienten mit Exponenten beim Kombinieren verwechseln

Why: Beim Addieren von $3x^2 + 5x^2$ addiert man die Koeffizienten (3 und 5), nicht die Exponenten.

Correct: $3x^2 + 5x^2 = 8x^2$ (NICHT $8x^4$). Der Exponent bleibt gleich!

Mistake: Terme ohne gleichartigen Partner vergessen

Why: Wenn es keinen passenden Term gibt, steht der Term allein in der Antwort.

Correct: $(x^3 + 2x) + (5x^2 - x) = x^3 + 5x^2 + x$. Das $x^3$ und $5x^2$ haben keine Partner.

Wirtschaft: Gewinnberechnungen

Unternehmen berechnen Gewinn durch Subtraktion der Kosten vom Erlös, wobei beides oft Polynomfunktionen sind.

Wenn der Erlös $E(x) = 50x - 0{,}5x^2$ und die Kosten $K(x) = 20x + 100$ sind, dann ist der Gewinn $G(x) = E(x) - K(x) = 50x - 0{,}5x^2 - 20x - 100 = -0{,}5x^2 + 30x - 100$

Physik: Bewegungsgleichungen kombinieren

Wenn sich Objekte in dieselbe Richtung bewegen, können ihre Positionsgleichungen addiert werden.

Wenn zwei Kräfte Verschiebungen $d_1 = 3t^2 + 2t$ und $d_2 = t^2 - 5t + 10$ erzeugen, ist die Gesamtverschiebung $d = d_1 + d_2 = 4t^2 - 3t + 10$

Architektur: Flächenberechnungen

Beim Kombinieren oder Entfernen von Abschnitten in Grundrissen addieren oder subtrahieren Architekten polynomiale Flächenausdrücke.

Ein Raum mit Fläche $A_1 = x^2 + 6x$ bekommt eine Nische mit Fläche $A_2 = 2x + 5$ hinzugefügt. Gesamtfläche: $A_1 + A_2 = x^2 + 8x + 5$

Q: Kann ich $3x^2$ und $5x$ addieren?

A: Nein! Das sind ungleichartige Terme, weil sie verschiedene Exponenten haben. $3x^2 + 5x$ ist bereits vollständig vereinfacht.

Q: Was passiert mit den Exponenten, wenn ich gleichartige Terme addiere?

A: Die Exponenten bleiben gleich! Beim Addieren von $3x^2 + 5x^2$ addiert man nur die Koeffizienten: $3 + 5 = 8$, also ist das Ergebnis $8x^2$.

Q: Warum muss ich das Minus verteilen beim Subtrahieren?

A: Ein Polynom zu subtrahieren bedeutet, jeden Term darin zu subtrahieren. Das Minuszeichen vor der Klammer gilt für alle Terme darin, also muss jedes Vorzeichen geändert werden.