Monom mal Binom

Multipliziere: $3x(2x + 5)$

Verteile das Monom auf jeden Term: $3x \times 2x + 3x \times 5$ = Distributivgesetz anwenden

Berechne das erste Produkt: $3x \times 2x = 6x^2$ = $6x^2$

Berechne das zweite Produkt: $3x \times 5 = 15x$ = $15x$

Fasse die Terme zusammen: $6x^2 + 15x$ = Endergebnis

Answer: $3x(2x + 5) = 6x^2 + 15x$

FOIL-Methode mit Binomen

Multipliziere: $(x + 3)(x + 4)$

FOIL anwenden - Erste Terme: $x \times x = x^2$ = $x^2$

Äußere Terme: $x \times 4 = 4x$ = $4x$

Innere Terme: $3 \times x = 3x$ = $3x$

Letzte Terme: $3 \times 4 = 12$ = $12$

Alle Terme zusammenfassen: $x^2 + 4x + 3x + 12$ = $x^2 + 7x + 12$

Answer: $(x + 3)(x + 4) = x^2 + 7x + 12$

Binome mit Subtraktion

Multipliziere: $(2x - 3)(x + 5)$

Erste Terme: $2x \times x = 2x^2$ = $2x^2$

Äußere Terme: $2x \times 5 = 10x$ = $10x$

Innere Terme: $-3 \times x = -3x$ = $-3x$

Letzte Terme: $-3 \times 5 = -15$ = $-15$

Gleichartige Terme zusammenfassen: $2x^2 + 10x - 3x - 15$ = $2x^2 + 7x - 15$

Answer: $(2x - 3)(x + 5) = 2x^2 + 7x - 15$

Ein Binom quadrieren

Erweitere: $(x + 4)^2$

Als Multiplikation umschreiben: $(x + 4)^2 = (x + 4)(x + 4)$ = Zwei identische Binome

Erste Terme: $x \times x = x^2$ = $x^2$

Äußere + Innere Terme: $x \times 4 + 4 \times x = 4x + 4x = 8x$ = $8x$

Letzte Terme: $4 \times 4 = 16$ = $16$

Alle Terme zusammenfassen: $x^2 + 8x + 16$ = Vollständiges Quadrat

Answer: $(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$

Binom mal Trinom

Multipliziere: $(x + 2)(x^2 - 3x + 1)$

Verteile x auf jeden Term: $x(x^2 - 3x + 1) = x^3 - 3x^2 + x$ = $x^3 - 3x^2 + x$

Verteile 2 auf jeden Term: $2(x^2 - 3x + 1) = 2x^2 - 6x + 2$ = $2x^2 - 6x + 2$

Beide Ergebnisse kombinieren: $x^3 - 3x^2 + x + 2x^2 - 6x + 2$ = Alle Terme aufgeschrieben

Gleichartige Terme gruppieren: $x^3 + (-3x^2 + 2x^2) + (x - 6x) + 2$ = Nach Grad ordnen

Vereinfachen: $x^3 - x^2 - 5x + 2$ = Endergebnis

Answer: $(x + 2)(x^2 - 3x + 1) = x^3 - x^2 - 5x + 2$

Mistake: Nur die ersten und letzten Terme multiplizieren: $(x + 3)(x + 4) = x^2 + 12$

Why: Jeder Term im ersten Polynom muss mit jedem Term im zweiten Polynom multipliziert werden.

Correct: FOIL anwenden: $x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12$

Mistake: Mittleren Term beim Quadrieren vergessen: $(x + 5)^2 = x^2 + 25$

Why: Das Quadrieren eines Binoms ergibt drei Terme, nicht zwei. Der mittlere Term ist $2ab$.

Correct: $(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$

Mistake: Vorzeichenfehler bei negativen Termen: $(-3)(5) = 15$

Why: Eine negative Zahl mal einer positiven Zahl ergibt eine negative Zahl.

Correct: $(-3)(5) = -15$

Mistake: Exponenten falsch addieren: $x \times x = 2x$

Why: Beim Multiplizieren von Variablen addieren wir die Exponenten: $x^1 \times x^1 = x^2$

Correct: $x \times x = x^2$

Fläche eines Gartens

Flächenberechnungen mit variablen Abmessungen erfordern Polynom-Multiplikation.

Ein rechteckiger Garten hat die Länge $(x + 5)$ Meter und die Breite $(x + 3)$ Meter. Die Fläche ist $(x + 5)(x + 3) = x^2 + 8x + 15$ Quadratmeter.

Geschäftsumsatz

Umsatzberechnungen beinhalten oft das Multiplizieren von Ausdrücken für Preis und Menge.

Wenn der Preis $(20 - x)$ Euro beträgt und die verkaufte Menge $(100 + 5x)$ Artikel ist, dann ist der Umsatz $(20 - x)(100 + 5x) = 2000 + 100x - 100x - 5x^2 = 2000 - 5x^2$ Euro.

Q: Funktioniert FOIL für alle Polynom-Multiplikationen?

A: FOIL funktioniert nur für das Multiplizieren von zwei Binomen. Für andere Fälle verwende das allgemeine Distributivgesetz.

Q: Warum ist $(x + 3)^2$ nicht gleich $x^2 + 9$?

A: Quadrieren bedeutet, mit sich selbst zu multiplizieren: $(x + 3)(x + 3)$. Mit FOIL ergibt sich $x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9$.

Q: Wann höre ich auf, Terme zusammenzufassen?

A: Fasse Terme mit gleicher Variable und gleichem Exponenten zusammen. Höre auf, wenn keine gleichartigen Terme mehr übrig sind.