Synthetische Division

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welchen Wert von verwendest du bei der synthetischen Division durch ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Für ist der Divisor bereits in der Form , also . Wir verwenden den positiven Wert, weil wir schauen, was den Divisor null macht: bedeutet .
2.
Welchen Wert von verwendest du bei der Division durch ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
, also . Denke daran: Welcher Wert von macht den Divisor null? bedeutet .
3.
Welche Koeffizienten würdest du für in der synthetischen Division schreiben? (Schreibe als: a, b, c, d)
Lösung: 1, 0, -4, 7
. Die Koeffizienten sind . Wir müssen für den fehlenden -Term einfügen.
4.
Wenn das ursprüngliche Polynom Grad 4 hat, welchen Grad hat der Quotient nach Division durch ?
1. a)Grad 5
2. b)Grad 4
3. c)Grad 3
4. d)Grad 2
Lösung: Grad 3
Die Division eines Polynoms vom Grad durch einen linearen Faktor ergibt immer einen Quotienten vom Grad . Also ergibt Grad 4 geteilt durch Grad 1 Grad 3.
5.
Verwende synthetische Division: . Wie lautet der Quotient?
Lösung: x + 3
Mit und Koeffizienten : Quotient: , Rest:
6.
Dividiere durch mit synthetischer Division.
Lösung: x^2 + x - 2
1. Welchen Wert von verwendest du für ? 3
2. Nach dem Übertragen von und Multiplizieren mit , was addierst du zu ? 1
3. Nach dem Multiplizieren von mit und Addieren zu , was erhältst du? -2
4. Was ist der Rest? 0
7.
Finde den Rest, wenn durch dividiert wird.
Lösung: 17
Mit synthetischer Division und : Rest = . Auch: .
8.
Ist ein Faktor von ?
1. a)Ja, Rest ist 0
2. b)Nein, Rest ist -6
3. c)Nein, Rest ist 1
4. d)Nein, Rest ist 6
Lösung: Ja, Rest ist 0
Mit : Ergebnis: . Der Rest ist , also IST ein Faktor.
9.
Dividiere durch mit synthetischer Division.
Lösung: x^3 + x^2 + x + 1
1. Was sind die Koeffizienten einschließlich Nullen für fehlende Terme? 1, 0, 0, 0, -1
2. Mit , was ist (zweite Spalte)? 1
3. Was ist (dritte Spalte)? 1
4. Was ist der Rest? 0
10.
Dividiere durch . Was ist der Rest?
Lösung: 7
Quotient: , Rest:
11.
Für welchen Divisor kannst du synthetische Division NICHT direkt verwenden?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
hat Koeffizient für , nicht . Synthetische Division funktioniert nur direkt für , wo der Koeffizient von gleich ist. Für brauchst du lange Division oder musst zuerst die ausklammern.
12.
Verwende synthetische Division um zu berechnen, wobei .
Lösung: 23
1. Welchen Wert von verwendest du um zu finden? 4
2. Nach der ersten Multiplikation und Addition: 1
3. Nach der zweiten: 6
4. Was ist der Rest (der gleich ist)? 23
13.
Finde den Quotienten:
Lösung: x^3 - x^2 - x - 11
Mit : Quotient: , Rest:
14.
Finde alle Werte von , sodass ein Faktor von ist.
Lösung: 2
1. Damit ein Faktor ist, was muss der Rest sein? 0
2. Nach dem Restsatz, was muss sein? 0
3. Setze ein: . Vereinfache um zu finden. 2
15.
Wenn die synthetische Division von durch Rest ergibt und die Division durch auch Rest ergibt, was kannst du schließen?
1. a) hat keine Nullstellen
2. b) ist gleich
3. c)
4. d) ist ein Faktor von
Lösung: ist ein Faktor von
Wenn ein Faktor ist und ein Faktor ist, dann ist auch ihr Produkt ein Faktor von . Das bedeutet hat Nullstellen bei und .
16.
Faktorisiere vollständig, indem du zuerst synthetische Division verwendest um eine Nullstelle zu finden.
Lösung: (x - 1)(x - 2)(x - 3)
1. Teste : Was ist ? 0
2. Da , welchen linearen Faktor kennst du? (x - 1)
3. Nach Division durch , welche quadratische Form erhältst du? x^2 - 5x + 6
4. Faktorisiere . (x - 2)(x - 3)
17.
Wenn Rest und Quotient hat, finde .
Lösung: -9
. Also und , was ergibt.
18.
Verwende synthetische Division zweimal um durch und dann durch zu dividieren.
Lösung: x^2 - 2x - 3
1. Dividiere zuerst durch . Was ist der Quotient? x^3 - 4x^2 + x + 6
2. Was ist der Rest nach Division durch ? 0
3. Dividiere jetzt durch . Was ist der Quotient? x^2 - 2x - 3
4. Was ist der Rest nach dieser zweiten Division? 0