Grundlegende quadratische Ergänzung

Ergänze zum vollständigen Quadrat: $x^2 + 8x$

Identifiziere den Koeffizienten von x: $b = 8$ = Koeffizient ist 8

Nimm die Hälfte von b: $\frac{8}{2} = 4$ = Die Hälfte ist 4

Quadriere das Ergebnis: $4^2 = 16$ = Wir müssen 16 addieren

Addiere und subtrahiere diesen Wert: $x^2 + 8x + 16 - 16$ = Gleichgewicht erhalten

Faktorisiere das vollständige Quadrat: $(x + 4)^2 - 16$ = Vollständiges Quadrat

Answer: $x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16$

Lösen durch quadratische Ergänzung

Löse $x^2 + 6x + 2 = 0$ durch quadratische Ergänzung

Bringe die Konstante nach rechts: $x^2 + 6x = -2$ = Variable Terme isoliert

Finde den Wert zum Ergänzen: $\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9$ = Wir müssen 9 addieren

Addiere auf beiden Seiten: $x^2 + 6x + 9 = -2 + 9$ = $(x + 3)^2 = 7$

Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten: $x + 3 = \pm\sqrt{7}$ = Zwei Lösungen

Löse nach x auf: $x = -3 \pm \sqrt{7}$ = Endergebnis

Answer: $x = -3 + \sqrt{7}$ oder $x = -3 - \sqrt{7}$

Umwandlung in Scheitelpunktform

Schreibe $y = x^2 - 4x + 7$ in Scheitelpunktform und bestimme den Scheitelpunkt

Gruppiere die x-Terme: $y = (x^2 - 4x) + 7$ = Gruppiert

Ergänze zum vollständigen Quadrat: $\left(\frac{-4}{2}\right)^2 = 4$ = Addiere und subtrahiere 4

Addiere und subtrahiere, dann gruppiere um: $y = (x^2 - 4x + 4) + 7 - 4$ = Gleichgewicht erhalten

Faktorisiere und vereinfache: $y = (x - 2)^2 + 3$ = Scheitelpunktform

Bestimme den Scheitelpunkt: Scheitelpunktform: $y = (x - h)^2 + k$ = Scheitelpunkt ist $(2, 3)$

Answer: $y = (x - 2)^2 + 3$, Scheitelpunkt bei $(2, 3)$

Wenn der Leitkoeffizient nicht 1 ist

Quadratische Ergänzung: $2x^2 + 12x + 5$

Klammere den Leitkoeffizienten bei den x-Termen aus: $2(x^2 + 6x) + 5$ = 2 ausgeklammert

Ergänze zum vollständigen Quadrat in der Klammer: $\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9$ = 9 wird benötigt

Addiere und subtrahiere 9 in der Klammer: $2(x^2 + 6x + 9 - 9) + 5$ = 9 addiert, 9 subtrahiert

Verteile die -9 und vereinfache: $2(x^2 + 6x + 9) - 18 + 5$ = Beachte: $2 \times (-9) = -18$

Faktorisiere und fasse die Konstanten zusammen: $2(x + 3)^2 - 13$ = Endgültige Scheitelpunktform

Answer: $2x^2 + 12x + 5 = 2(x + 3)^2 - 13$

Mistake: Vergessen, auf beiden Seiten zu addieren, wenn man eine Gleichung löst

Why: Bei der quadratischen Ergänzung in einer Gleichung muss alles, was auf einer Seite addiert wird, auch auf der anderen Seite addiert werden, um die Gleichheit zu erhalten.

Correct: Nach dem Addieren von $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ auf der linken Seite, addiere denselben Wert auf der rechten.

Mistake: Den Leitkoeffizienten nicht zuerst ausklammern

Why: Wenn $a \neq 1$ in $ax^2 + bx + c$, führt direktes Ergänzen zu falschen Ergebnissen.

Correct: Klammere zuerst $a$ aus den $x^2$- und $x$-Termen aus, dann ergänze zum Quadrat.

Mistake: $b$ statt $\frac{b}{2}$ verwenden, um das Quadrat zu ergänzen

Why: Die Formel erfordert die Hälfte des Koeffizienten von $x$, quadriert.

Correct: Verwende immer $\left(\frac{b}{2}\right)^2$, nicht $b^2$.

Mistake: Vergessen zu multiplizieren beim Auflösen

Why: Wenn $a$ ausgeklammert ist, wird der subtrahierte Wert in der Klammer mit $a$ multipliziert.

Correct: Bei $2(x^2 + 6x + 9 - 9)$ wird $-9$ zu $-18$ beim Auflösen: $2(-9) = -18$.

Wurfbewegung

Ingenieure nutzen die quadratische Ergänzung, um die maximale Höhe von Projektilen zu berechnen.

Die Höhe eines Balls ist $h = -16t^2 + 64t + 5$ Fuß. Quadratische Ergänzung: $h = -16(t - 2)^2 + 69$. Maximale Höhe ist 69 Fuß bei $t = 2$ Sekunden.

Architektur und Design

Architekten nutzen die quadratische Ergänzung, um parabolische Bögen zu entwerfen und ihre höchsten Punkte zu bestimmen.

Ein Brückenbogen folgt $y = -0,01x^2 + 2x$. Umgewandelt in Scheitelpunktform: $y = -0,01(x - 100)^2 + 100$. Der Bogen erreicht 100 Meter Höhe in seiner Mitte.

Wirtschaft und Gewinnoptimierung

Unternehmen nutzen quadratische Modelle, um optimale Preise für maximalen Gewinn zu finden.

Der Gewinn eines Unternehmens ist $P = -2x^2 + 40x - 150$ Euro, wobei $x$ der Preis ist. Scheitelpunktform: $P = -2(x - 10)^2 + 50$. Maximaler Gewinn von 50€ tritt bei Preis 10€ auf.

Q: Wann sollte ich die quadratische Ergänzung statt Faktorisieren verwenden?

A: Verwende die quadratische Ergänzung, wenn: (1) die Quadratische sich nicht schön mit ganzen Zahlen faktorisieren lässt, (2) du den Scheitelpunkt einer Parabel finden musst, oder (3) du die Mitternachtsformel herleitest. Faktorisieren ist schneller, wenn es funktioniert, aber die quadratische Ergänzung funktioniert immer.

Q: Warum addieren und subtrahieren wir denselben Wert?

A: Das Addieren und Subtrahieren desselben Wertes ist wie das Addieren von Null, was den Wert des Ausdrucks nicht verändert. So können wir ein vollständiges Quadrat erzeugen, ohne den Wert des Ausdrucks zu ändern.

Q: Wie hängt das mit der Mitternachtsformel zusammen?

A: Die Mitternachtsformel wird durch quadratische Ergänzung der allgemeinen Form $ax^2 + bx + c = 0$ hergeleitet. Die Formel $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ kommt direkt aus diesem Prozess!