Quadratische Ergänzung

Meistere die Technik der quadratischen Ergänzung, um quadratische Gleichungen zu lösen und in Scheitelpunktform umzuschreiben.

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Definition

Die quadratische Ergänzung ist eine Technik, um einen quadratischen Ausdruck ax2+bx+cax^2 + bx + c in die Form a(x−h)2+ka(x - h)^2 + k umzuschreiben, die Scheitelpunktform genannt wird.
Die zentrale Erkenntnis: Wir addieren und subtrahieren denselben Wert, um ein vollständiges Quadrat zu erzeugen.
x2+bx+(b2)2=(x+b2)2x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2
Zum Beispiel:
x2+6x+9=(x+3)2x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
Hier ergibt (62)2=9\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9 das vollständige Quadrat.

Probier es gleich aus

Welcher Wert vervollständigt das Quadrat für x2+6xx^2 + 6x?

Lösungsbeispiele

Ergänze zum vollständigen Quadrat: x2+8xx^2 + 8x
1

Identifiziere den Koeffizienten von x

b=8b = 8 → Koeffizient ist 8
2

Nimm die Hälfte von b

82=4\frac{8}{2} = 4 → Die Hälfte ist 4
3

Quadriere das Ergebnis

42=164^2 = 16 → Wir müssen 16 addieren
4

Addiere und subtrahiere diesen Wert

x2+8x+16−16x^2 + 8x + 16 - 16 → Gleichgewicht erhalten
5

Faktorisiere das vollständige Quadrat

(x+4)2−16(x + 4)^2 - 16 → Vollständiges Quadrat

Häufige Fehler

Vergessen, auf beiden Seiten zu addieren, wenn man eine Gleichung löst

Warum es falsch ist: Bei der quadratischen Ergänzung in einer Gleichung muss alles, was auf einer Seite addiert wird, auch auf der anderen Seite addiert werden, um die Gleichheit zu erhalten.

Richtig: Nach dem Addieren von (b2)2\left(\frac{b}{2}\right)^2 auf der linken Seite, addiere denselben Wert auf der rechten.

Den Leitkoeffizienten nicht zuerst ausklammern

Warum es falsch ist: Wenn a≠1a \neq 1 in ax2+bx+cax^2 + bx + c, führt direktes Ergänzen zu falschen Ergebnissen.

Richtig: Klammere zuerst aa aus den x2x^2- und xx-Termen aus, dann ergänze zum Quadrat.

bb statt b2\frac{b}{2} verwenden, um das Quadrat zu ergänzen

Warum es falsch ist: Die Formel erfordert die Hälfte des Koeffizienten von xx, quadriert.

Richtig: Verwende immer (b2)2\left(\frac{b}{2}\right)^2, nicht b2b^2.

Vergessen zu multiplizieren beim Auflösen

Warum es falsch ist: Wenn aa ausgeklammert ist, wird der subtrahierte Wert in der Klammer mit aa multipliziert.

Richtig: Bei 2(x2+6x+9−9)2(x^2 + 6x + 9 - 9) wird −9-9 zu −18-18 beim Auflösen: 2(−9)=−182(-9) = -18.

Interaktive Visualisierung

Flächenmodell: quadratische Ergänzung

x² + bx ist ein Quadrat, dem eine Ecke fehlt. (b/2)² ergänzt es.

x2x^2
4x4x
4x4x
+16+16
xx
44
xx
44

Länge × Breite = Fläche

x2+8x=(x+4)2−16x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16

Addiere 16, um die Ecke zu füllen: Es entsteht ein vollständiges Quadrat.

Gleichungslöser

Löse nach xx:

x2+6x+2=0x^{2} + 6x + 2 = 0
1
x2+6x+2=0x^{2} + 6x + 2 = 0
22 von beiden Seiten subtrahierenNur die Terme mit der Variablen bleiben links

Tipps:

  • • Was du auf einer Seite machst, mache auch auf der anderen
  • • Operationen in umgekehrter Reihenfolge rückgängig machen
  • • Überprüfe deine Antwort durch Einsetzen

Folge mit, während wir die Gleichung Schritt für Schritt lösen.

Interaktiver Sandkasten

Interaktiver Grapher

-10-50510-10-50510xy

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Probiere diese Beispiele:

y = x^2 - 4x + 7

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

16 Aufgaben
Aufgabe 1 von 16
Einfach
Welcher Wert vervollständigt das Quadrat für x2+6xx^2 + 6x?

Warum es wichtig ist

Die quadratische Ergänzung ist eine der wichtigsten algebraischen Techniken, weil sie:
  • Jede quadratische Gleichung löst (auch wenn Faktorisieren nicht funktioniert)
  • Den Scheitelpunkt offenbart einer Parabel direkt aus der Gleichung
  • Die Mitternachtsformel herleitet (die aus der quadratischen Ergänzung stammt!)
  • Kreise transformiert von der allgemeinen in die Normalform in der Geometrie
Ohne diese Technik wären viele quadratische Gleichungen von Hand unlösbar!

Anwendungen im echten Leben

Wurfbewegung

Ingenieure nutzen die quadratische Ergänzung, um die maximale Höhe von Projektilen zu berechnen.

Beispiel:

Die Höhe eines Balls ist h=−16t2+64t+5h = -16t^2 + 64t + 5 Fuß. Quadratische Ergänzung: h=−16(t−2)2+69h = -16(t - 2)^2 + 69. Maximale Höhe ist 69 Fuß bei t=2t = 2 Sekunden.

1Probiere es selbst

Die Höhe einer Rakete ist gegeben durch h=−5t2+30t+10h = -5t^2 + 30t + 10 Meter.

Was ist die maximale Höhe?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Ergänze zum vollständigen Quadrat, um den Scheitelpunkt zu finden:

Architektur und Design

Architekten nutzen die quadratische Ergänzung, um parabolische Bögen zu entwerfen und ihre höchsten Punkte zu bestimmen.

Beispiel:

Ein Brückenbogen folgt y=−0,01x2+2xy = -0,01x^2 + 2x. Umgewandelt in Scheitelpunktform: y=−0,01(x−100)2+100y = -0,01(x - 100)^2 + 100. Der Bogen erreicht 100 Meter Höhe in seiner Mitte.

2Probiere es selbst

Eine parabolische Antennenschüssel wird modelliert durch y=−0,25x2+4x+3y = -0,25x^2 + 4x + 3.

Bei welcher x-Koordinate ist die Schüssel am tiefsten?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Finde die x-Koordinate des Scheitelpunkts:

Wirtschaft und Gewinnoptimierung

Unternehmen nutzen quadratische Modelle, um optimale Preise für maximalen Gewinn zu finden.

Beispiel:

Der Gewinn eines Unternehmens ist P=−2x2+40x−150P = -2x^2 + 40x - 150 Euro, wobei xx der Preis ist. Scheitelpunktform: P=−2(x−10)2+50P = -2(x - 10)^2 + 50. Maximaler Gewinn von 50€ tritt bei Preis 10€ auf.

3Probiere es selbst

Der Umsatz wird modelliert durch R=−3x2+24xR = -3x^2 + 24x, wobei xx die verkauften Einheiten in Tausend sind.

Wie viele Einheiten maximieren den Umsatz?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Finde den Scheitelpunkt:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Die quadratische Ergänzung transformiert x2+bxx^2 + bx in (x+b2)2−(b2)2(x + \frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2
  • 2Der Schlüsselwert zum Addieren ist immer (b2)2\left(\frac{b}{2}\right)^2
  • 3Wenn a≠1a \neq 1, klammere zuerst aa aus den xx-Termen aus
  • 4Die Scheitelpunktform a(x−h)2+ka(x - h)^2 + k zeigt den Scheitelpunkt (h,k)(h, k) direkt
  • 5Diese Technik kann jede quadratische Gleichung lösen, auch wenn Faktorisieren scheitert

Häufig gestellte Fragen

Verwende die quadratische Ergänzung, wenn: (1) die Quadratische sich nicht schön mit ganzen Zahlen faktorisieren lässt, (2) du den Scheitelpunkt einer Parabel finden musst, oder (3) du die Mitternachtsformel herleitest. Faktorisieren ist schneller, wenn es funktioniert, aber die quadratische Ergänzung funktioniert immer.
Verwende die quadratische Ergänzung, wenn: (1) die Quadratische sich nicht schön mit ganzen Zahlen faktorisieren lässt, (2) du den Scheitelpunkt einer Parabel finden musst, oder (3) du die Mitternachtsformel herleitest. Faktorisieren ist schneller, wenn es funktioniert, aber die quadratische Ergänzung funktioniert immer.
Das Addieren und Subtrahieren desselben Wertes ist wie das Addieren von Null, was den Wert des Ausdrucks nicht verändert. So können wir ein vollständiges Quadrat erzeugen, ohne den Wert des Ausdrucks zu ändern.
Die Mitternachtsformel wird durch quadratische Ergänzung der allgemeinen Form ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 hergeleitet. Die Formel x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} kommt direkt aus diesem Prozess!

Glossar

Quadratische Ergänzung
Eine Methode, um einen quadratischen Ausdruck als vollständiges Quadrat plus oder minus einer Konstante umzuschreiben
Vollständiges Quadrat
Ein Trinom, das als (x+a)2(x + a)^2 oder (x−a)2(x - a)^2 faktorisiert werden kann, wie x2+6x+9=(x+3)2x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
Scheitelpunktform
Die Form a(x−h)2+ka(x - h)^2 + k, wobei (h,k)(h, k) der Scheitelpunkt der Parabel ist
Normalform
Die Form ax2+bx+cax^2 + bx + c für einen quadratischen Ausdruck

Formelkarte

Formel der quadratischen Ergänzung

x2+bx=(x+b2)2−(b2)2x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2

Die zentrale Transformation für die quadratische Ergänzung

Wert zum Ergänzen

(b2)2\left(\frac{b}{2}\right)^2

Der Wert, den du addierst und subtrahierst, um ein vollständiges Quadrat zu erzeugen

Scheitelpunktform

y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + k

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei Punkt (h, k)

Muster für vollständige Quadrate

(x+a)2=x2+2ax+a2(x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2

Das Ausmultiplizieren eines quadrierten Binoms ergibt ein vollständiges Quadrat

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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