Einführung in quadratische Gleichungen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welche der folgenden ist eine quadratische Gleichung?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
ist quadratisch, da die höchste Potenz von gleich 2 ist. Die erste ist linear (Grad 1), die dritte ist kubisch (Grad 3), und die vierte ist kein Polynom.
2.
In der Gleichung , was ist der Wert von ?
Lösung: 2
Wenn wir mit vergleichen, ist der Koeffizient von gleich 2, also .
3.
Für die Gleichung , was ist der Wert von ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Schreibe als . Der Koeffizient von ist , also . Ein häufiger Fehler ist, das Minuszeichen zu vergessen.
4.
In , was ist der Wert von ?
Lösung: -6
In ist der konstante Term , also . Vergiss nicht das Minuszeichen!
5.
Wenn in einer quadratischen Gleichung ist, in welche Richtung öffnet sich die Parabel?
1. a)Nach links
2. b)Nach rechts
3. c)Nach oben (∪)
4. d)Nach unten (∩)
Lösung: Nach oben (∪)
Da (positiv) ist, öffnet sich die Parabel nach oben. Wenn negativ wäre, würde sie sich nach unten öffnen.
6.
Schreibe in Normalform um und bestimme , und .
Lösung: a=1, b=-3, c=-10
1. Subtrahiere von beiden Seiten. Was erhältst du? 0 = x^2 - 3x - 10
2. Schreibe mit dem quadratischen Term zuerst: . Was ist ? 1
3. Was ist ? -3
4. Was ist ? -10
7.
Finde die x-Koordinate des Scheitelpunkts für .
Lösung: 3
Mit und : . Der Scheitelpunkt liegt bei .
8.
Finde den Scheitelpunkt von .
Lösung: (-2, -9)
1. Bestimme und . a=1, b=4
2. Berechne . -2
3. Finde durch Einsetzen von : . -9
4. Schreibe den Scheitelpunkt als geordnetes Paar. (-2, -9)
9.
Für stellt der Scheitelpunkt dar:
1. a)Einen Hochpunkt
2. b)Den y-Achsenabschnitt
3. c)Einen Tiefpunkt
4. d)Den x-Achsenabschnitt
Lösung: Einen Hochpunkt
Da , öffnet sich die Parabel nach unten (∩-Form), also ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt - ein Maximum.
10.
Wenn der Scheitelpunkt einer Parabel bei liegt und , ist 5 der Maximal- oder Minimalwert? (Schreibe 'maximum' oder 'minimum')
Lösung: Maximum
Wenn , öffnet sich die Parabel nach unten, was den Scheitelpunkt zum höchsten Punkt macht. Daher ist der Maximalwert.
11.
Für , finde die Symmetrieachse und den Scheitelpunkt.
Lösung: x=2, Scheitelpunkt (2, -2)
1. Was sind und ? a=2, b=-8
2. Finde die Symmetrieachse: 2
3. Berechne -2
4. Schreibe den Scheitelpunkt. (2, -2)
12.
Ein Ball wird nach oben geworfen. Seine Höhe ist . Wann erreicht er die maximale Höhe?
1. a) Sekunde
2. b) Sekunden
3. c) Sekunden
4. d) Sekunden
Lösung: Sekunden
Die maximale Höhe tritt am Scheitelpunkt auf. Sekunden.
13.
Der Gewinn eines Unternehmens ist Euro, wobei die verkauften Artikel ist. Finde die Anzahl der Artikel, um den Gewinn zu maximieren.
Lösung: 30
1. Ist dies ein Maximum- oder Minimumproblem? (Schau auf das Vorzeichen von ) maximum
2. Was ist ? 120
3. Berechne 30
14.
Für , was ist der Maximalwert der Funktion?
Lösung: 3
Scheitelpunkt x: . Maximalwert: .
15.
Schreibe in Normalform um, bestimme , , und finde den Scheitelpunkt.
Lösung: (-1, -16)
1. Subtrahiere 15 von beiden Seiten. Schreibe die Normalform. x^2 + 2x - 15 = 0
2. Was sind , und ? a=1, b=2, c=-15
3. Finde die x-Koordinate des Scheitelpunkts: -1
4. Finde die y-Koordinate: -16
5. Schreibe den Scheitelpunkt als geordnetes Paar. (-1, -16)