Einfache quadratische Gleichung

Löse $x^2 + 6x + 5 = 0$ mit der Mitternachtsformel.

Identifiziere a, b und c: Vergleich mit $ax^2 + bx + c = 0$: $a = 1$, $b = 6$, $c = 5$ = $a=1, b=6, c=5$

Berechne die Diskriminante: $b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16$ = $D = 16$

Wende die Formel an: $x = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-6 \pm 4}{2}$ = $x = \frac{-6 \pm 4}{2}$

Finde beide Lösungen: $x_1 = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ $x_2 = \frac{-6 - 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5$ = $x = -1$ oder $x = -5$

Answer: $x = -1$ oder $x = -5$

Gleichung mit Koeffizient ungleich 1

Löse $2x^2 - 7x + 3 = 0$ mit der Mitternachtsformel.

Identifiziere a, b und c: $a = 2$, $b = -7$, $c = 3$ Achtung: $b$ ist negativ! = $a=2, b=-7, c=3$

Berechne die Diskriminante: $b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25$ = $D = 25$

Wende die Formel an: $x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2(2)} = \frac{7 \pm 5}{4}$ = $x = \frac{7 \pm 5}{4}$

Finde beide Lösungen: $x_1 = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$ $x_2 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ = $x = 3$ oder $x = \frac{1}{2}$

Answer: $x = 3$ oder $x = \frac{1}{2}$

Gleichung mit irrationalen Lösungen

Löse $x^2 - 4x - 1 = 0$ mit der Mitternachtsformel.

Identifiziere a, b und c: $a = 1$, $b = -4$, $c = -1$ = $a=1, b=-4, c=-1$

Berechne die Diskriminante: $b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-1) = 16 + 4 = 20$ = $D = 20$

Wende die Formel an: $x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{20}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2}$ = $x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2}$

Vereinfache die Wurzel: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ $x = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$ = $x = 2 + \sqrt{5}$ oder $x = 2 - \sqrt{5}$

Answer: $x = 2 + \sqrt{5} \approx 4{,}24$ oder $x = 2 - \sqrt{5} \approx -0{,}24$

Die Diskriminante verstehen

Wie viele Lösungen hat $x^2 + 2x + 5 = 0$?

Identifiziere a, b und c: $a = 1$, $b = 2$, $c = 5$ = $a=1, b=2, c=5$

Berechne die Diskriminante: $b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16$ = $D = -16$

Interpretiere die Diskriminante: Da $D < 0$, bräuchten wir $\sqrt{-16}$, was keine reelle Zahl ist = Keine reellen Lösungen

Schlussfolgerung: Wenn die Diskriminante negativ ist, schneidet die Parabel die x-Achse nicht = Null reelle Lösungen

Answer: Diese Gleichung hat keine reellen Lösungen, weil die Diskriminante negativ ist ($D = -16$).

Mistake: Vergessen, b zu negieren, wenn es bereits negativ ist

Why: Wenn $b = -7$, dann ist $-b = -(-7) = 7$, nicht $-7$. Die Formel sagt $-b$, also negierst du, was auch immer b ist.

Correct: Schreibe immer zuerst $-b$, dann setze ein: wenn $b = -7$, schreibe $-(-7) = 7$

Mistake: Falsches Berechnen von $b^2$ bei negativem b

Why: Schüler schreiben manchmal $-7^2 = -49$ statt $(-7)^2 = 49$

Correct: Der gesamte Koeffizient wird quadriert: $(-7)^2 = (-7) \times (-7) = 49$

Mistake: Nur einen Teil des Zählers durch 2a dividieren

Why: Schreiben von $\frac{-b}{2a} \pm \sqrt{b^2-4ac}$ statt $\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Correct: Der gesamte Zähler $(-b \pm \sqrt{...})$ wird durch $2a$ dividiert

Mistake: Bei einer Lösung aufhören

Why: Das $\pm$ bedeutet plus ODER minus, was zwei mögliche Lösungen ergibt

Correct: Berechne immer beide: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ und $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$

Wurfbewegung

Wenn du einen Ball wirfst, folgt seine Höhe einer quadratischen Gleichung. Die Formel hilft, den Auftreffzeitpunkt zu finden.

Ein nach oben geworfener Ball hat die Höhe $h = -5t^2 + 20t + 1$ Meter nach $t$ Sekunden. Um zu finden, wann er auf dem Boden aufkommt ($h = 0$), löse $-5t^2 + 20t + 1 = 0$ mit der Formel.

Geschäftliche Gewinnoptimierung

Unternehmen nutzen quadratische Gleichungen zur Gewinnmodellierung und zum Finden von Gewinnschwellen.

Der Gewinn eines Unternehmens beträgt $G = -2x^2 + 100x - 800$ Euro, wobei $x$ die verkauften Einheiten sind. Um die Gewinnschwellen zu finden (wo $G = 0$), verwende die Mitternachtsformel.

Q: Wann sollte ich die Mitternachtsformel statt Faktorisieren verwenden?

A: Verwende die Mitternachtsformel, wenn: (1) die Gleichung sich nicht leicht faktorisieren lässt, (2) die Koeffizienten groß oder Dezimalzahlen sind, oder (3) du eine zuverlässige Methode willst, die immer funktioniert. Faktorisieren ist schneller, wenn es klappt, aber die Formel ist universeller.

Q: Was bedeutet es, wenn die Diskriminante null ist?

A: Wenn $b^2 - 4ac = 0$, hat die Gleichung genau eine Lösung (genannt doppelte Nullstelle). Grafisch berührt die Parabel die x-Achse nur an einem Punkt.

Q: Warum gibt es ein Plus-Minus-Zeichen in der Formel?

A: Das $\pm$ kommt vom Wurzelziehen. Da sowohl $5^2 = 25$ als auch $(-5)^2 = 25$, könnte die Wurzel aus 25 entweder +5 oder -5 sein. Das ergibt zwei mögliche Werte für x.