Die Mitternachtsformel

Lerne, jede quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel zu lösen.

Mittelstufe25 MinLektion
Arbeitsblatt zum Drucken

Definition

Die Mitternachtsformel (auch abc-Formel genannt) löst jede Gleichung der Form ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0:
x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Dabei gilt:
  • aa, bb und cc sind die Koeffizienten der Gleichung
  • a≠0a \neq 0 (sonst ist es keine quadratische Gleichung)
  • Das ±\pm-Symbol bedeutet, dass es meist zwei Lösungen gibt
Der Ausdruck unter der Wurzel, b2−4acb^2 - 4ac, heißt Diskriminante.

Probier es gleich aus

In der Gleichung x2+5x+6=0x^2 + 5x + 6 = 0, welche Werte haben aa, bb und cc?

Lösungsbeispiele

Löse x2+6x+5=0x^2 + 6x + 5 = 0 mit der Mitternachtsformel.
1

Identifiziere a, b und c

Vergleich mit ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0: a=1a = 1, b=6b = 6, c=5c = 5
2

Berechne die Diskriminante

b2−4ac=62−4(1)(5)=36−20=16b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16 → D=16D = 16
3

Wende die Formel an

x=−6±162(1)=−6±42x = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-6 \pm 4}{2} → x=−6±42x = \frac{-6 \pm 4}{2}
4

Finde beide Lösungen

x1=−6+42=−22=−1x_1 = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 x2=−6−42=−102=−5x_2 = \frac{-6 - 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5 → x=−1x = -1 oder x=−5x = -5

Häufige Fehler

Vergessen, b zu negieren, wenn es bereits negativ ist

Warum es falsch ist: Wenn b=−7b = -7, dann ist −b=−(−7)=7-b = -(-7) = 7, nicht −7-7. Die Formel sagt −b-b, also negierst du, was auch immer b ist.

Richtig: Schreibe immer zuerst −b-b, dann setze ein: wenn b=−7b = -7, schreibe −(−7)=7-(-7) = 7

Falsches Berechnen von b2b^2 bei negativem b

Warum es falsch ist: Schüler schreiben manchmal −72=−49-7^2 = -49 statt (−7)2=49(-7)^2 = 49

Richtig: Der gesamte Koeffizient wird quadriert: (−7)2=(−7)×(−7)=49(-7)^2 = (-7) \times (-7) = 49

Nur einen Teil des Zählers durch 2a dividieren

Warum es falsch ist: Schreiben von −b2a±b2−4ac\frac{-b}{2a} \pm \sqrt{b^2-4ac} statt −b±b2−4ac2a\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Richtig: Der gesamte Zähler (−b±...)(-b \pm \sqrt{...}) wird durch 2a2a dividiert

Bei einer Lösung aufhören

Warum es falsch ist: Das ±\pm bedeutet plus ODER minus, was zwei mögliche Lösungen ergibt

Richtig: Berechne immer beide: x1=−b+D2ax_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} und x2=−b−D2ax_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}

Interaktive Visualisierung

Quadratischer Funktions-Explorer

y = x² + 6x + 5

Steuert Breite und Richtung

Verschiebt die Parabel

Y-Achsenabschnitt

xy

Scheitelpunkt

(-3, -4)

Symmetrieachse

x = -3

Nullstellen (x-Achsenabschnitte)

x = -1, x = -5

Y-Achsenabschnitt

(0, 5)

Richtung

Öffnet nach oben

Diskriminante

b² - 4ac = 16

Wertetabelle

x-3-2-10123
y-4-305122132
ScheitelpunktNullstellenY-AchsenabschnittSymmetrieachse

Gleichungslöser

Löse nach xx:

x2+6x+5=0x^{2} + 6x + 5 = 0
1
x2+6x+5=0x^{2} + 6x + 5 = 0
a, b und c ablesenEine quadratische Gleichung löst man aus der allgemeinen Form

Tipps:

  • • Was du auf einer Seite machst, mache auch auf der anderen
  • • Operationen in umgekehrter Reihenfolge rückgängig machen
  • • Überprüfe deine Antwort durch Einsetzen

Folge mit, während wir die Gleichung Schritt für Schritt lösen.

Interaktiver Sandkasten

Interaktiver Grapher

-10-50510-10-50510xy

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Probiere diese Beispiele:

y = x^2 + 6x + 5

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

15 Aufgaben
Aufgabe 1 von 15
Einfach
In der Gleichung x2+5x+6=0x^2 + 5x + 6 = 0, welche Werte haben aa, bb und cc?

Warum es wichtig ist

Die Mitternachtsformel ist eines der mächtigsten Werkzeuge der Algebra, weil:
  • Universell: Sie funktioniert für JEDE quadratische Gleichung, auch wenn Faktorisieren nicht klappt
  • Vorhersagbar: Immer die gleichen Schritte befolgen
  • Praktische Anwendungen: Physik (Wurfbewegung), Ingenieurwesen (Parabolstrukturen), Wirtschaft (Gewinnoptimierung)
Während Faktorisieren schneller ist, wenn es funktioniert, haben viele reale Probleme "unschöne" Zahlen, die sich nicht faktorisieren lassen. Die Mitternachtsformel meistert sie alle!

Anwendungen im echten Leben

Wurfbewegung

Wenn du einen Ball wirfst, folgt seine Höhe einer quadratischen Gleichung. Die Formel hilft, den Auftreffzeitpunkt zu finden.

Beispiel:

Ein nach oben geworfener Ball hat die Höhe h=−5t2+20t+1h = -5t^2 + 20t + 1 Meter nach tt Sekunden. Um zu finden, wann er auf dem Boden aufkommt (h=0h = 0), löse −5t2+20t+1=0-5t^2 + 20t + 1 = 0 mit der Formel.

1Probiere es selbst

Die Höhe einer Rakete wird durch h=−4t2+32th = -4t^2 + 32t Meter beschrieben.

Wann kehrt die Rakete zum Boden zurück?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Setze h=0h = 0 und identifiziere die Koeffizienten:

Geschäftliche Gewinnoptimierung

Unternehmen nutzen quadratische Gleichungen zur Gewinnmodellierung und zum Finden von Gewinnschwellen.

Beispiel:

Der Gewinn eines Unternehmens beträgt G=−2x2+100x−800G = -2x^2 + 100x - 800 Euro, wobei xx die verkauften Einheiten sind. Um die Gewinnschwellen zu finden (wo G=0G = 0), verwende die Mitternachtsformel.

2Probiere es selbst

Der wöchentliche Gewinn eines Geschäfts beträgt G=−x2+50x−400G = -x^2 + 50x - 400 Euro für xx verkaufte Artikel.

Bei welchen Verkaufszahlen erreicht das Geschäft die Gewinnschwelle?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Löse −x2+50x−400=0-x^2 + 50x - 400 = 0:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Die Mitternachtsformel lautet x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
  • 2Sie funktioniert für jede Gleichung der Form ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0
  • 3Die Diskriminante D=b2−4acD = b^2 - 4ac zeigt, wie viele Lösungen existieren
  • 4Wenn D>0D > 0: zwei verschiedene reelle Lösungen; wenn D=0D = 0: eine doppelte Lösung; wenn D<0D < 0: keine reellen Lösungen
  • 5Überprüfe deine Antworten immer durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung

Häufig gestellte Fragen

Verwende die Mitternachtsformel, wenn: (1) die Gleichung sich nicht leicht faktorisieren lässt, (2) die Koeffizienten groß oder Dezimalzahlen sind, oder (3) du eine zuverlässige Methode willst, die immer funktioniert. Faktorisieren ist schneller, wenn es klappt, aber die Formel ist universeller.
Verwende die Mitternachtsformel, wenn: (1) die Gleichung sich nicht leicht faktorisieren lässt, (2) die Koeffizienten groß oder Dezimalzahlen sind, oder (3) du eine zuverlässige Methode willst, die immer funktioniert. Faktorisieren ist schneller, wenn es klappt, aber die Formel ist universeller.
Wenn b2−4ac=0b^2 - 4ac = 0, hat die Gleichung genau eine Lösung (genannt doppelte Nullstelle). Grafisch berührt die Parabel die x-Achse nur an einem Punkt.
Das ±\pm kommt vom Wurzelziehen. Da sowohl 52=255^2 = 25 als auch (−5)2=25(-5)^2 = 25, könnte die Wurzel aus 25 entweder +5 oder -5 sein. Das ergibt zwei mögliche Werte für x.

Glossar

Quadratische Gleichung
Eine Gleichung der Form ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 wobei a≠0a \neq 0
Diskriminante
Der Ausdruck b2−4acb^2 - 4ac, der die Anzahl und Art der Lösungen bestimmt
Koeffizient
Der Zahlenfaktor eines Terms (z.B. in 3x23x^2 ist der Koeffizient 3)
Nullstelle/Lösung
Ein Wert von xx, der die Gleichung wahr macht (wo die Parabel die x-Achse schneidet)

Formelkarte

Mitternachtsformel

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Löst jede Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$

Diskriminante

D=b2−4acD = b^2 - 4ac

Bestimmt Anzahl und Art der Lösungen

Zwei Lösungen

D>0D > 0

Diskriminante positiv: zwei verschiedene reelle Nullstellen

Eine Lösung

D=0D = 0

Diskriminante null: eine doppelte Nullstelle

Keine reellen Lösungen

D<0D < 0

Diskriminante negativ: keine reellen Nullstellen

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

Mehr zu diesem Thema

Quadratische Gleichungen durch Wurzelziehen lösen

Mittelstufe25 Min

Einführung in quadratische Gleichungen

Fortgeschritten25 Min

Scheitelpunktform

Mittelstufe25 Min

Quadratische Ergänzung

Fortgeschritten30 Min