Quadratische Textaufgaben

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Ein Ball wird nach oben geworfen. Seine Höhe in Metern nach Sekunden ist . Wann trifft der Ball auf dem Boden auf?
1. a)Nach 5 Sekunden
2. b)Nach 10 Sekunden
3. c)Nach 4 Sekunden
4. d)Nach 2 Sekunden
Lösung: Nach 4 Sekunden
Setze : , also . Das ergibt (Start) oder (Landung).
2.
Das Produkt zweier aufeinanderfolgender positiver ganzer Zahlen ist 72. Welche sind die Zahlen?
1. a)8 und 9
2. b)9 und 10
3. c)6 und 12
4. d)7 und 8
Lösung: 8 und 9
ergibt . Faktorisierung: , also . Die Zahlen sind 8 und 9.
3.
Ein rechteckiger Garten hat eine Länge, die 3 Meter mehr als die Breite ist. Wenn die Fläche 40 Quadratmeter beträgt, wie groß ist die Breite (in Metern)?
Lösung: 5
wird zu . Faktorisierung: , also Meter (da die Breite positiv sein muss).
4.
Die Summe einer Zahl und ihres Quadrats ist 56. Was ist die positive Zahl?
Lösung: 7
faktorisiert zu . Da wir positiv brauchen, .
5.
Welche Art von quadratischer Textaufgabe ist das? 'Die Höhe einer Rakete ist . Finde die maximale Höhe.'
1. a)Optimierungsproblem
2. b)Problem mit aufeinanderfolgenden Zahlen
3. c)Flächenproblem
4. d)Zahlenproblem
Lösung: Optimierungsproblem
Das Finden von Maximum- oder Minimumwerten ist ein Optimierungsproblem. Verwende die Scheitelpunktformel , um zu finden, wann das Maximum auftritt.
6.
Ein Ball wird vom Boden aus mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 30 m/s nach oben geworfen. Seine Höhe ist . Finde die maximale Höhe.
Lösung: 45
1. Was ist der Wert von in der Gleichung? -5
2. Was ist der Wert von ? 30
3. Zu welcher Zeit tritt die maximale Höhe auf? Verwende 3
4. Berechne wenn : 45
7.
Ein Rechteck hat einen Umfang von 30 cm. Welche Breite (in cm) maximiert die Fläche?
Lösung: 7.5
Fläche = . Maximum bei cm. Ein Quadrat maximiert die Fläche für einen gegebenen Umfang.
8.
Die Höhe eines Balls ist . Zu welcher Zeit erreicht er die maximale Höhe?
1. a)1 Sekunde
2. b)2 Sekunden
3. c)4 Sekunden
4. d)3 Sekunden
Lösung: 2 Sekunden
Sekunden.
9.
Finde zwei aufeinanderfolgende gerade Zahlen, deren Produkt 168 ist.
Lösung: 12 and 14
1. Wenn die erste gerade Zahl ist, was ist die nächste aufeinanderfolgende gerade Zahl? n + 2
2. Schreibe die Gleichung: . Expandiere sie. n^2 + 2n = 168
3. Schreibe in Standardform um: . Faktorisiere. (n + 14)(n - 12) = 0
4. Was ist der positive Wert von ? 12
10.
Ein Bilderrahmen ist auf allen Seiten 2 cm breit. Das Bild darin ist 8 cm mal 6 cm. Wie groß ist die Gesamtfläche des Rahmens (einschließlich Bild) in Quadratzentimetern?
Lösung: 120
Gesamtabmessungen: Quadratzentimeter.
11.
Der Gewinn eines Unternehmens (in Euro) ist , wobei die verkauften Einheiten sind. Was ist der Break-Even-Punkt (wo )?
1. a)10 und 60 Einheiten
2. b)25 und 75 Einheiten
3. c)20 und 80 Einheiten
4. d)30 und 70 Einheiten
Lösung: 20 und 80 Einheiten
faktorisiert zu , ergibt oder Einheiten.
12.
Ein Ball wird von einem 20-Meter-Gebäude mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 15 m/s nach oben geworfen. Seine Höhe ist . Wann trifft er auf dem Boden auf?
Lösung: 4
1. Setze . Welche Gleichung erhältst du? -5t^2 + 15t + 20 = 0
2. Teile durch -5 zum Vereinfachen. Wie lautet die Gleichung? t^2 - 3t - 4 = 0
3. Faktorisiere die quadratische Gleichung. (t - 4)(t + 1) = 0
4. Was ist die positive Lösung für ? 4
13.
Die Höhe einer Rakete ist . Was ist ihre maximale Höhe in Metern?
Lösung: 125
Zeit bei Maximum: . Höhe: Meter.
14.
Ein Theater verlangt 25 Euro pro Ticket und verkauft 400 Tickets. Für jede Erhöhung um 5 Euro verkaufen sie 20 Tickets weniger. Welcher Preis maximiert den Umsatz?
Lösung: 75
1. Sei = Anzahl der 5-Euro-Erhöhungen. Drücke den Preis aus. 25 + 5n
2. Drücke die Anzahl der verkauften Tickets aus. 400 - 20n
3. Umsatz = Preis × Tickets. Expandiere . 10000 + 1500n - 100n^2
4. Finde bei maximalem Umsatz mit . 7.5
5. Berechne den optimalen Preis: . 62.5
15.
Ein Ball, der aus 10 m Höhe geworfen wird, folgt . Wann erreicht er 40 Meter?
1. a)Erreicht nie 40 m
2. b)Nur bei 1 Sekunde
3. c)Bei 2 und 3 Sekunden
4. d)Bei 1,5 und 4 Sekunden
Lösung: Bei 2 und 3 Sekunden
ergibt , oder . Faktorisierung: , also oder Sekunden.
16.
Zwei Zahlen unterscheiden sich um 5. Ihr Produkt ist 126. Finde die größere Zahl.
Lösung: 14
1. Sei die kleinere Zahl . Was ist die größere Zahl? x + 5
2. Schreibe die Gleichung für ihr Produkt. x(x + 5) = 126
3. Expandiere und bringe in Standardform. x^2 + 5x - 126 = 0
4. Faktorisiere die quadratische Gleichung. (x + 14)(x - 9) = 0
5. Wenn (den positiven Wert nehmen), was ist die größere Zahl? 14